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九年级上册数学知识要点

第21章 一元二次方程考点1.一元二次方程的判断标准: (1)方程是整式方程(2)只有一个未知数——(一元)(3)未知数的最高次数是2——(二次) 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 练习:1、下面关于x 的方程中:①ax 2+bx+c=0;②3x 2-2x=1;③x+3=1x;④x 2-y=0;④(x+1)2= x 2-1.一元二次方程的个数是 .2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程,则k 的取值范围是_________.3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k是一元二次方程,则k 的取值范围是_________.、若方程(m-1)x |m|+1-2x=4是一元二次方程,则m=______.2.一元二次方程一般形式及有关概念一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成一元二次方程的一般形式20 (0)ax bx c a ++=≠ 2ax 是二次项,a 为二次项系数,bx 是一次项,b 为一次项系数,c 为常数项。

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 练习:1、将一元二次方程3(1)5(2)x x x -=+化成一般形式为_____________,其中二次项系数a =________,一次项系数b=__________,常数项c=__________3.完全平方式a 2+2ab+b 2 a 2-2ab+b 2 练习:1、说明代数式2241x x --总大于224x x --2、已知1a a+求1a a-的值.3、若x 2+mx+9是一个完全平方式,则m= ,若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 的值是 。

若942++kx x 是完全平方式,则k = 。

4.整体运算思路:把一个代数式看成一个整体来求值,然后代入去求另一个代数式的值。

练习:1、已知x 2+3x+5的值为11,则代数式3x 2+9x+12的值为2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________5.方程的解 练习:1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1,则k=_ __.2、求以12x 1x 3=-=-,为两根的关于x 的一元二次方程 。

6.方程的解法⑴ 方 法:①接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法;⑤十字相乘法;⑵关键点:降次 aac b b x 242-±-=练习:1、直接开方解法方程(x-6)2 -3=0 21(3)22x -=2、用配方法解方程2210x x +-= 2430x x -+=3、用公式法解方程03722=+-x x 210x x --=4、用因式分解法解方程3(2)24x x x -=- 22(24)(5)x x -=+5、用十字相乘法解方程2900x x --= 22100x x +-=7.一元二次方程根的判别式:2b 4ac ∆=- 练习:1、关于x 的一元二次方程012)2(2=-+++m x m x . 求证:方程有两个不相等的实数根2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 。

3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根,则m 的取值范围是8.韦达定理1212,b c x x x x a a+=-=(a ≠0, Δ=b 2-4ac ≥0)使用的前提:(1)不是一般式的要先化成一般式;(2)定理成立的条件0∆≥ 练习:1、已知方程25x mx 6=0+-的一个根为x=3,求它的另一个根及m 的值。

2、已知22x 4x 30+-=的两根是x 1 ,x 2 ,利用根于系数的关系求下列各式的值1211x x + 2212x x + 12(1)(1)x x ++ 212()x x - 3、已知关于x 的一元二次方程x 2-(m+2)x+14m 2-2=0.(1)当m 为何值时,这个方程有两个的实数根.(2)如果这个方程的两个实数根x 1,x 2满足x 12+x 22=18,求m 的值.9.一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题(单循环问题)4、贺卡问题(双循环问题)5、围栏问题6、几何图形(道路、做水箱)7、增长率、折旧、降价率问题8、利润问题(注意减少库存、让顾客受惠等字样) 9、数字问题 10、折扣问题第22章 二次函数考点 1、二次函数的定义定义: y=ax2+ bx + c ( a 、 b 、 c 是常数, a ≠ 0 ) 定义要点:①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习:1、y=-x ²,y=2x ²-2/x ,y=100-5 x ²,y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数?2、二次函数的图像及性质表达式、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、最值、 练习:1、已知二次函数(1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M 的坐标。

(2)设抛物线与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点,求C ,A ,B 的坐标。

(3)x 为何值时,y 随的增大而减少,x 为何值时,y 有最大(小)值,这个最大(小)值是多少?(4)x 为何值时,y<0?x 为何值时,y>0?2、直线y =ax +c 与抛物线y =ax 2+bx +c 在同一坐标系内大致的图象是……m m -223212-+=x x y()考点3、求抛物线解析式的三种方法1、一般式:已知抛物线上的三点,通常设解析式y=ax2+bx+c(a≠0)2,顶点式:已知抛物线顶点坐标(h, k),通常设抛物线解析式y=a(x-h)2+k(a ≠0)3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)练习:1、根据下列条件,求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点;(2)、图象的顶点(2,3),且经过点(3,1) ;(3)、图象经过(0,0), (12,0) ,且最高点的纵坐标是3 。

2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6)。

求a、b、c。

4、a,b,c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:(1)a的符号:上正下负(2)b的符号:左同右异(3)C的符号:上正下负原点零(4)b2-4ac的符号:由抛物线与x轴的交点个数确定(5)a+b+c的符号:因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时,对应的y值决定。

(6)a-b+c的符号:因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时,对应的y值决定。

(7)4a+2b+c的符号:因为x=2时,y=4a+2b+c,所以4a+2b+c的符号由x=2时,对应的y值决定。

(8)4a-2b+c的符号:因为x=-2时,y=4a-2b+c,所以4a-2b+c的符号由x=-1时,对应的y值决定。

以此类推.练习:1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则a、b、c的符号为() A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<02、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则a 、b 、c 的符号为( ) A 、a>0,b>0,c=0 B 、a<0,b>0,c=0 C 、a<0,b<0,c<0 D 、a>0,b<0,c=03、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则a 、b 、c 、 △的符号为( ) A 、a>0,b=0,c>0,△>0 B 、a<0,b>0,c<0,△=0 C 、a>0,b=0,c<0,△>0 D 、a<0,b=0,c<0,△<0要点:熟练掌握a ,b , c ,△与抛物线图象的关系(上正、下负)(左同、右异)4.抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限, 判断a 、b 、c 的符号情况:a 0,b 0,c 0.5.抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限,则a 、b 、c 满足 的条件是:a 0,b 0,c 0.6.二次函数y=ax2+bx+c 中,如果a>0,b<0,c<0,那么这个二次函数 图象的顶点必在第 象限要点:先根据题目的要求画出函数的草图,再根据图象以及性质确定结果(数形结合的思想)7.已知二次函数的图像如图所示,下列结论。

⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个要点:寻求思路时,要着重观察抛物线的开口方向,对称轴,顶点的位置,抛物线与x 轴、y 轴的交点的位置,注意运用数形结合的思想。

考点5、抛物线的平移左加右减,上加下减;左右平移看自变量,上下平移看常数项。

练习:⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象; 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。

⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。

引申:y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2(3)由二次函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+64125(2--=x y=x4125(2--=x y6二次函数与一元二次方程的关系 、一元二次方程根的情况与b ²-4ac 的关系我们知道:代数式b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.2、二次函数y=ax ²+bx +c 的图象和x 轴交点的横坐标,便是对应的一元二次方程ax ²+bx +c=0的解。

3、二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: (1)有两个交点– 4ac > 0 (2)有一个交点– 4ac= 0 (3)没有交点– 4ac< 0若抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有交点– 4ac ≥0 练习:(1)如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=____,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有____个交点.(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=____.(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x 轴的交点坐标是____.(4)已知函数y =x 2-(2m +4)x +m 2-10与x 轴的两个交点间的距离为22,则m =___________.(5)若函数y =kx 2+2(k +1)x +k -1与x 轴只有一个交点,求k 的值.7二次函数的综合运用 已知抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 解:Θ抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 ∴ a=1或-1又Θ顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5, ∴ 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为:(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可. 练习:1.直线y =3 x -1与y =x -k 的交点在第四象限,则k 的范围是………………( )()有两个不相等的实数根方程时当00,0422≠=++>-a c bx ax ac b ():00,0422有两个相等的实数根方程时当≠=++=-a c bx ax ac b ()没有实数根方程时当00,0422≠=++<-a c bx ax ac b(A )k <31 (B )31<k <1 (C )k >1 (D )k >1或k<1 2、若a+b+c=0,a 0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式. 分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移5个单位,再向上平移4个单位即得原抛物线3、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象抛物线G 经过(-5,0),(0,25),(1,6)三点,直线l 的解析式为y =2 x -3.(1)求抛物线G 的函数解析式; (2)求证抛物线G 与直线l 无公共点;(3)若与l 平行的直线y =2 x +m 与抛物线G 只有一个公共点P ,求P 点的坐标. 【分析】(1)略;(2)要证抛物线G 与直线l 无公共点,就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解; (3)直线y =2 x +m 与抛物线G 只有一个公共点,就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解,求出这组解,就得P 点的坐标.第23章 旋转考点1.旋转:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角. 旋转三要素:旋转中心、旋转方向、旋转角度 练习:1、如图,D 是等腰Rt △ABC 内一点,BC 是斜边,如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置,回答下列问题:(1)旋转中心为 ,旋转角度为 度(2)△AD D ′的形状是 。

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