S
l
L1L2
2 0
N12
N
2 2
S
2
l2
M2
M L1L2
一般情况： M k L1L2 k 称为“耦合系数”
0 k 1
例4、有一无限长直导线，与一边长分别为 b 和 l 的矩形线圈在同一平面内，求它们的互感系数。
解：
B 0I
2 r
dΦ BdS 0I ldr 2 r
I r
Φ ab 0Il dr 0Il ln a b
j E
四、 麦克斯韦方程组（微分形式）
哈密顿算符
ex x e y y ez z
S D dS q
L
E dl
S
B t
dS
S B dS
L H dl I
0
S
D t
dS
D
0
B
E
t
B0
H
j
0
D t
I
B μ0 I
I 2
2πr
Oa
r
B L
0 I 4a
解：
B I
2 r
dΦ BdS Bldr
Φ R2 I ldr Il ln R2
R1 2 r
2 R1
L Φ l ln R2 I 2 R1
rl
2、互感
K
R
（1） 互感现象
G
1
B1 I1
2
B2 I2
一个载流回路中电流变化，引起邻近另一回路中 产生感生电动势的现象 — 互感现象。
互感电动势
D t
(2) 位移电流
I位 S j位 dS
I I(t)
D
dS
S t
~
4. 位I移位 电流S与传Dt导 d电S流的关t系S
Dd
S
D
t
I传
q t
( S) (D S ) D
t
t
t
I位
★
5.
全结电论流：传导I电全流中I断传处有I位位 移电I流，两S 者D相t 等 d并S构成闭合电路。
I
L
S
t
S2
D(t )
D L S1
t
B
B I I(t)
~
三、麦克斯韦方程组（积分形式）
S
L
D dS q
E dl S
B
dS
t
S
L
B
H
dS 0
dl I
S
D t
dS
辅助方程：D 0 r E ;
B 0r H ;
洛仑兹力方程：
F
q
(
E
v
B
)
（1） （2） （3） （4）
1861年，麦克斯韦提出了感生电场的假设
变化的磁场在周围空间要激发电场， 称为感生电场。感生电流的产生就是这一电 场作用于导体中的自由电荷的结果。
B 增加 I
周围空间都有激发电场， 导线圈只起探测器作用。
E
电场线闭合
sE dS 0
正向磁通
B
增加
L dΦ 0 dt
0
正向磁通
B
减少
L dΦ 0 dt
6. 安培环路定理的推广
H dl
L
I全
I
D
d S
S t
矛盾得到解决。
全电流安培环路定理
7. 位移电流的性质
(1) I位 并非电荷定向运动产生，其本质是电位移通量的变化率，
即指随时间变化的电场：
I位 S j位 dS
D
dS
S t
(2) 低频时， I位 不产生焦尔热(无热效应)。
ln
R2 R1
L 0l ln R2 2 R1
解：法2 H B L Wm
dS= ldr HB
0I I 22r
R1 r R2
0 （其 他 ）
d
B dS
0I
l
dr
2 r
I l
R2 0 I l dr 0 Il ln R2
R1 2r
2 R1
L 0 l ln R2
I 2 R1
D
Ψ
r2 R2
Q
Id
dΨ dt
r2 R2
dQ dt
Q Q
Ic
R P*r
Ic
Id
dΨ dt
r2 R2
dQ dt
H dl
l
Ic Id
Id
r 2 dQ H (2π r) R2 dt
计算得 H r dQ 2π R2 dt
B
0r
2π R2
dQ dt
代入数据计算得 Id 1.1A B 1.11105T
§10 -1 位移电流 安培环路定理的推广
一、位移电流
安培环路定理 :
L H d l I
1. 问题的提出
L
H
d l
I
j
S1
d
S
L H d l S2 0d S 0
电流密度
L
矛盾 ？！
S2
D(t )
S1
产生矛盾的要害：
I I(t)
~
传导电流在电容器内中断了。
但电容器中有随时间变化的电场： D D(t )
L n2V
L n2V 增大 V
提高 L 的途径
提高 n
实用
放入 值高的介质
求 L 的步骤：
1、设线圈中通L Ψm / I
例2、有一电缆，由两个“无限长”的同轴圆桶状导体
组成，其间充满磁导率为 的磁介质，电流 I 从内桶
流进，外桶流出。设内、外桶半径分别为 R1 和 R2 ， 求长为 l 的一段电缆的自感系数。
0
0
B2 d
B1 B2
利用高斯定理
B d S 0 S
B1S B2 S 0
B1 B2
一、位移电流
安培环路定理 :
L H d l I
1. 问题的提出
L
H
d l
I
j
S1
d
S
L H d l S2 0d S 0
电流密度
L
矛盾 ？！
S2
D(t )
S1
产生矛盾的要害：
I I(t)
其充电,使电路上的传导电流 Ic dQ dt 2.5A,
若略去边缘效应, 求（1）两极板间的位移电流;（2）两
极板间离开轴线的距离为 r 2.0cm 的点 P 处的磁
感应强度 .
解 如图作一半径
Q Q
为 r平行于极板的圆形
回路，通过此圆面积的 电位移通量为
Ic
R P*r
Ic
Ψ D(π r 2 )
五、 磁场的能量
以RL电路为例：
自感电动势：
L
L
di dt
回路方程： L di Ri
i
dt
idt Lidi Ri2dt
R L
K
t
idt
I
Lidi
t Ri 2dt
0
0
0
t
idt
t Ri2dt 1 LI 2
0
0
2
t
idt
电源所作的功
0
t Ri2dt 消耗在电阻上的焦耳热 0
自感系数 描述线圈电磁惯性的大小
L越大回路中电流越难改变。
例1、长为 l 的螺线管，横断面为 S ，线圈总匝数
为 N ，管中磁介质的磁导率为 ，求自感系数。
解： Ψm LI
BN I
l
Ψ NBS N 2 IS
l
L Ψ N 2 S N 2 lS
Il
l2
l
线圈体积： V lS
n N l
(3) I位 的磁效应与 I传 的等效，即：随时间变化的电场在周围
激发磁场 。
D(t )
H (t )
二、电磁场
电荷 激 发
电场
运动
变化 变化
电流 激 发
磁场
★ 随时间变化的电场激发时变磁场; ★ 随时间变化的磁场激发时变电场;
在空间形成电磁场，以电磁波的形式传播。
D t
B
H t
E涡
例1 有一圆形平行平板电容器, R 3.0cm.现对
SBt
dS
dS
(2)
L
S t
B 增加
+
I
E
二、描述磁场性质的方程
1. 高斯定理
稳总2恒磁.磁稳总环场场恒磁路：：磁场定H场：理L：HHB1S1Bd1lBHd1S2I ;,B0涡2 ,;旋磁涡H场旋：磁dl场SL：HBI2 dSdSBl2D0dSSdS(D3t（0)4d）S
1 LI 2 2
电源力反抗自感电动势做 的功转化为磁场的能量
Wm
1 2
LI 2
长直螺线管为例： L n2V
I B
n
Wm
1 2
LI
2
1 2
n2V
B
n
2
1 2
B2
V
磁场的能量密度：
wm
Wm V
1 2
B2
BH
wm
1 2
B2
1 2
BH
1 2
H 2
例6、一根长直电缆，由半径为 R1 和 R2 的两同 轴圆筒组成，稳恒电流 I 经内层流进外层流出。 试计算长为 l 的一段电缆内的磁场能量。
§10-2 麦克斯韦方程组
一、描述电场性质的方程
1. 高斯定理
静电场：
S
D1
dS
q
;
涡旋电场：
SD2
dS
0
总电场： D D1 D2 ,