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第十章 静电场中的导体和电介质
一、 填空 1. 根据物质的导电性，可将物质分为 、 和 。 2. 从 物质 的 电结 构 来看 ， 金属 导 体具 有 带负 电 的 和 带正 电 的 。 3. 导 体处 于静 电平 衡时 ，导 体内 部各 点 的场 强为 ， 这称 为导 体的 条件。静电平衡下的导体是 ，导体的表面是 。 4. 导体处于静电平衡状态时，导体内处处 （填“有”或“无” ）净余电荷， 电荷只能分布在导体的 上。 5. 对于孤立导体而言，表面上 的分布与表面曲率有关，表面曲率越大， 电荷面密度越 ，反之越 。 6. 空腔导体内部电场不受腔外电场的影响，接地导体空腔外部的电场不受腔内 电荷的影响，这种隔离作用称为 。 7. 孤立导体的 是指使导体升高单位电势所需的电荷，反映了导体 的性质。 8. 根据分子中正、 负电荷中心的分布， 可将电介质分为 分子和 分 子。将两类电介质放入电场中将分别发生 极化和 极化。 二、 简答 1. 2. 3. 4. 5. 6. 简述导体静电平衡的条件及特点。 简述静电屏蔽。 简述处于静电平衡的空腔导体，空腔内场强处处为零。 简述孤立导体的电容的计算公式及物理意义。 分别推导两个电容器串联和并联后的总电容的计算公式。 电介质的极化现象和导体的静电感应现象两者有什么区别？
并联： q = q1 + q2 ， U = U1 = U 2 ， C =
q q1 q2 = + = C1 + C2 。 U U U
6. 答：导体静电感应时会在导体表面出现感应电荷，电解质极化时在介质表面 出现极化电荷，是两种不同的电荷，静电平衡时导体内部场强为零，电解质极化 时内部场强不为零。 三、 计算 1. 证明：如图所示，设四个面上的电荷面密度分别为 σ 1 、 σ 2 、 σ 3 、 � σ 4 ，在 A 板内取一点 P1 ,设 en 是向右的单位法向矢量， 四个无限大
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带电平面在 P1 的合场强为：
E=
σ1 � σ2 � σ � σ � en − e n − 3 en − 4 e n . 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0
①
� 静电平衡时， E =0,故 σ 1 − σ 2 − σ 3 − σ 4 = 0. 再在 B 板内任取一点 P2，类似地有：
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5. 在上题中,若 q=4×10-10 C，R 1=2cm ，R 2=3cm，求: (1) 导体球壳的电势; (2) 离球心 r=1cm 处的电势; (3) 把点电荷移到离球心 1cm 处，求导体球壳的电势. 6. 半径为 R 的导体球带有电荷 q，球外有一个内、外径分别为 R1 和 R 2 的同 心导体球壳，壳上带有电荷 Q. (1) 求两球的电势 U1 和 U2 ; (2) 求两球的电势差△U2; (3) 用一导线把球和球壳连在一起后，U1、U 2 和△U 分别是多少? (4) 在情形(1)(2) 中若外球接地， U1 、U 2 和△U 分别是多少? (5) 外球离地很远，内球接地，情况如何? 7. 如图所示， 平行板电容器极板面积为 S， 相距为 d， 其间有一厚为 t 的金属 片，略去边缘效应. (1) 求电容 C; (2) 金属片的位置对电容有无影响? 8. 如图所示， 面积为 1.0m 2 的金属箔 11 张平行排列， 相邻两箔间的距离都是 5.0mm ，奇数箔联在一起作 为电容器的一个极,偶数箔联在一起作为电容器的另一个极，求电容 C. 9. 如图所示 ,平行板电容器两极板 A、 B 相距 0.5mm ，放在金属盒 K 内，盒的上下两壁与 A、 B 分别相距 0.25mm ，不计边缘效应，电容器电 容变为原来的几倍? 若将电容器的一极板与金 属盒相连，此时的电容又为原来的几倍? 10. 有一些相同的电容器,每个电容都是 2.0Μf， 耐压都是 200V，现用它们连 成耐压 1000V， （1） C1 = 0.40µF ;（2） C2 = 1.2µF 的电容器， 各需电容器多少个？ 怎样连接？ 11. 两个电容器 C1 和 C 2 ，标定值为 C1 ：200pF/500V; C2 :300pF /900V.将它们 串联后，加上 1000V 电压，是否会被击穿？ 12. 如图所示 C1 = 20µF , C2 = 5µF , 先用 U=1000V 的电源给 C1 充电，然后将 K 拨向另一侧使 C1 与 C2 相连，求： (1) C1 和 C2 所带的电荷量； (2) C1 和 C2 两端的电压。 13. 无限长的圆柱导体，半径为 R ，放在介电常数 为 ε r 的无限大均匀介质中。
m2.
q A = −q B = σ 2 S = ε 0 ES = 3.2 × 10 −10 µC.
3. 解：设各板表面的电荷面密度由左至右依次为： σ 1 、 σ 2 、 σ 3 、
σ 4 、 σ 5 、 σ 6 ，即有 σ 2 =- σ 3 ， σ 4 =- σ 5 ，由于 B 、C 接
地，故两板外侧的电荷面密度 σ 1 = σ 6 =0 因 U AB = U AC ,故有 E Ⅱ l AC =EⅢ l AB . = 式中： E Ⅱ
d2=3mm ，极板面积 S=50cm 2，两板间电压 U=200V; (1) 计算每层电介质的能量密度; (2) 计算每层介质的总能量; (3) 用下列两种方法计算电容器的总能量: a)用两层介质中的能量之和计算; b)用电容器贮能公式计算. 22. 圆柱形电容器由一长直导线和套在它外面的共轴导体圆筒构成 . 设导线半径 为 a,圆筒内半径为 b.试证明: 这电容器所储存的能量有一半是在半径 r = ab 的圆 柱体内.
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柱面上沿轴线单位长度上的电荷为 λ0 ，求空间的电场分布以及介质面上的极化 电荷面密度。 14. 一平行板电容器极板面积为 S， 间距 为 d，中间充满均匀电介质，已知充 电后一板自由电荷为 Q，整块介质的总 电偶极矩为 p，求电容器中的电场强度。 15. 一 空 气 平 行 板 电 容 器 ， 板 面 积 S=0.2m2 ,d=1.0cm,充电后断开电源， 其电 势 差 U0=3×103V；当均匀电介质充满两板间后，电势差降至 1.0×103 V，试计算： (1) 原电容 C0 ; (2) 每块导体板上的电荷量 Q ; (3) 放入介质后的电容 C； (3) 两板间的原电场强度 E0 ； (4) 放入介质后的电场强度 E; (5) 电介质每一面上的极化电荷 Q′; (6) 电介质的相对介常数 ε r . 16. 一平行板电容器两极板面积为 S,相距为 d,电势差为 U ,其中放有一层厚 度为 t 的电介质,介质的相对介电常数为 ε r .介质两边都是空气.略去边缘效应,试 求: (1) 介质中的电位移矢量 D , 场强 E 和极化 强度 P ; (2) 极板上所带的电荷 Q (3) 极板和介质间隙中的场强 E0 ; (4) 电容器的电容 C. 17. 如图所示,一平面板电容器两极板的面积都是 S,相距为 d.今在其间平行的
S 插入厚度为 l ,面积为 2 ,相对介质常数为 ε 1 .的均匀电介质.设两极板分别带电 Q
和 − Q .试求: (1) 电容器的电容 C ; (2) 两极板电势差 U ;
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(3) 介质上,下两个表面的极化电荷面密度 σ ′ . 18. 圆柱形电容器由半径为 R1 的圆柱形导线和与它同轴的导体圆筒构成.圆 筒内半径为 R 2 ,长为 L ,其间充满相对介质电常数为 ε r 的电介质.设沿轴线单位长 度上圆柱形导体所带电荷为 λ0 ，圆筒的所带电荷为 − λ 0 ，略去边缘效应,试求: (1) 介质中的电位移矢量 D ,场强 E 和极化强度 P ; (2) 电容器两极板间的电势差 U ; (3) 介质表面的极化电荷面密度 δ ′ 。 19. 如图所示,一平行板电容器极板间距为 d,其间充满面积分别为 S1 、 S 2 ,相对介 质常数分别为 ε r 1 , ε r 2 的电介质，略去边缘效应， 求 电容 C. 20. 球形电容器由半径为 R1 的导体球和与它同心 的导体球壳构成，壳的内径为
解：如图所示，设 A、B 两块板的 4 个表面的电荷面密度分别为 σ 1 、 σ 2 、 σ 3 、
σ 4 ，两板间的电场强度为： E= U = 10 5 V m . d
由于 B 的右极板接地，所以 σ 4 = σ 1 = 0.
σ 2 = −σ 3 = ε 0 E = 8.9 ×10 −7 C
A 和 B 板上的电荷量为：
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第十章 静电场中的导体和电介质 参考答案
一、 填空 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 导体、电介质、半导体。 自由电子，晶体点阵。 零，静电平衡，等势体，等势面。 无，表面。 电荷，大，小。 静电屏蔽。 电容，容纳电荷。 无极，有极，位移，取向。
三、 计算 1．试证明对于两个无限大的平行平面带电导体板： (1) 相向的两面( 如图 )上电荷面密度总是大、小相等而符号相 反； (2) 相背的两面上，电荷面密度总是大、小相等而符号相同。 2. 两平行导体分别带有等量的正、负电荷，两板的电势差为 160V,两板面积都是 3.6cm 2,距离 1.6mm. 略去边缘效应,求两板间 的电场强度和各板上所带的电荷(设其中一极板接地). 3. 三块平行金属板 A, B 和 C,面积都是 200cm2 ,A、B 相 距 4.0mm ， A、 C 相距 2.0mm ， B、 C 两板都接地。 如果使 A 板带正电荷 3.0×10-7 C， 略去边缘效应，则 B 板和 C 板上感应电荷各是多少?以地的电势为零，A 板的电 势是多少?设 A 板的厚度可忽略. 4. 点电荷 q 处在中性导体球壳的中心,壳的内外径分别为 R 1 和 R 2，求场强和 电势的分布，并画出 E-r 和 U-r 曲线.