纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一•高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答•从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目•分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理•下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究，以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路，力争在这部分内容不失分•从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球•1球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题•1.1 球与正方体如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1，设正方体的棱长为a，E,F,H,G为棱的中点，0为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内a切圆，则0J = r ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆，2则Go| =R =乎a ；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACAG和其外接圆，则73AO =R -a・通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面2图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题(1)正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合; 数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r =a.(2)正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r = -、3a.(3)正方体的棱切球，如图3.位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a,球的半径为r,这时有2r —、2a._l c例1 棱长为1的正方体ABCD-AB I G。

!的8个顶点都在球0的表面上，E，F分别是棱AA，DD!的中点，则直线EF被球0截得的线段长为（）A . —2B. 1 C . 1 - D . ■ 22 2思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面AA,DD1截面所得圆面的半径AD172R =― =——，得知直线EF被球0截得的线段就是球的截面圆的直径.2 2【解析】由题意可知，球为正方体的外接琰于面厂丄截面所得圆面的半径应二啤二芈「EFu面_毘°必• M线盯被卩」矗得的线段为球的截面圆船直径■ ■点评；本题琴查球与正育体傅'的问题，：I用球的戡面性质，转化成洵求球的截面鬲直径一1.2球与长方体例2自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求MA2 MB2 MC2的值.思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联.【解析】収心⑷=J/C为从一个顶点出发的三条槎•將三棱辑M - ABC补咸一个长方体，则另外四个顶点莎在球面上，故长方体是球的內接长方如则长方体的对甬线长是球刖直径・点评匕此题突出构造法的演用，姬渗透利吊今割补形的方法解决立体几何中体积计算…例3 （全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）•A. 16二B. 20 二C. 24 二D. 32…思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及咼4可以求出长方体的底面边长为2,可得长方体的长、宽、咼分别为2, 2, 4,长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径【解析】正四棱柱也是长方体"由长方体的西只16^ 4可以•出长方体的底面边长为2,因此，长方体的长、宽、高分别为占右4,因为长方体內接于球，所以可勺体对角线正好为球的直径•长方体体对角线长为2厉，故球閑表面积为2% .故选C.点评*本题考査球与长肓障“接粹的间题，于打快右体的性质.转化成为求其体对角线，2球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1正四面体与球的切接问题（1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h ；球的半径为R，这时有4R = h （可以利用体积桥证明）（2）正四面体的外接球，如图5.位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h;球的半径为R，这时有4R =3h = ：：；6a ；（可用正四面体高h减去内切球的半径得到）A（3）正四面体的棱切球，如图 6.位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h ;球的半径为R，这时有.6 a.3O* • D*8 /EC例4设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比.思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的.【解析】如图，正四面» ABCD的中心JcA A?—）的中50 ,则第一个域半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面肚kg到庐:加距离.OO = r t OA= A s 正四面体的一今面的面积严'-依题意得它第二］S〔R+巧,又4 严」7心二：贰存亠气r.一R + F = 4尸即尺=和*4 ;加心内切球的表面积_丄®: _ 1內切球的体积_亍"_ 1所以外接球的表面积匸硏p外接球約体积匚二」Tut点评：正四面体与球的接切问题，可通过线面羌系证出，內切球和外接球的两个球心是重合的，拘正四面体高的四等分点即定有內切球的半径r=-h仏为正四面体的高），且外接球的半径422其它棱锥与球的切接问题球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解 •二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R •这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥 的体积和为正三棱锥的体积 • 球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等 进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧 定球心位置.例5正三棱锥的高为1，底面边长为2、. 6，正三棱锥内有一个球与其四个面相切•求球的表 面积与体积. 思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法2^3可得：Vg S g pA SBC Sc ，得到 ^^3^-2 •【解析】如圏 球0是正三棱^P-ABC 的内切时.O 到兀三棱雄四个面的距离都是球的半径说.尸H 是正三棱維的高，即PRT. E 是EC 边屮点，H^L AE±,XiBC 的边^276,= P£ = 736可以得到= S” = S 曲PE = 3v'2 - 亠吐=f (2屈；=“点■ '由等陳积法「3运 "d 应+2/+P 心弗+2运二 ^X 6^X 1 = 1X 3A /2X J?X 3 + -X 6J3X ^得：R=爭=來7、33 3X3 + 3/.吴二丄駅：二丄丁(麝—2)： =8(5-昭同・T .…q =；卅=33点评：球心是袂走球的位直关键呆 本題利用球心钊正三棱锥n 个面的距离相等且为球半径&来求出乩 以球心的位置特点来抓球的基本重.这是解决球有关间题常用的方法.例6 （福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球 的半径•而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法•三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型【解析】此题用一般解法.需要作出棱锥的熹，然后再设出球屮宀利用直角三角形计算球的半径-而作为填 空题，拢们更想使用校为便捷的芳法，所以三条侧棱两两垂意，便我们很快联想到扶方体的f 甫，马上 构造长方体，且测棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，PUAC=BC=CD = V3f 那么三棱锥的夕卜 接球的直径即为正方体的悴对角线，故所求想咖只是沐.（如图1）点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这 是解决几何体与球切接问题常用的方法.例7【2012年新课标高考卷】已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC = 2 ；则此棱锥的体积为（）2A. 6 晶逅込B.C.D.6 32思路分析：ABC 的外接圆是球面的一个小圆， 由已知可得其半径， 从而得到点O 到面ABC的距离•由SC 为球O 的直径=点S 到面ABC 的距离即可求得棱锥的体积【解析】的外接圆半径为匸二总，点0刮面一匹二的距屢d = JF 二7=虽_ 乂次球0的直径二3 3点$到面肿c 的距离九二爼!「此棱锥的蚀％勺；显鸟盘心加显＞＜业＞＜还=£「选w3 3 34 3 6点评：本题难度不大，主要是利用转化与化归怎想，将棱锥高应用球的几何性质计算得到-3球与球相切问题，则其外接球的表面积对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解^例8已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为__________ . ________思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5\B=6 CD=4.设AB中点为E、CD中点为F,连结EF.在厶ABF中可得BF = . 21，在△ EBF中可得EF二2 3.由于对称性可得第五个球的球心0在EF上，连结OA 0D设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF建立r的方程•【解析】如图：设四个球的球O分别対忌弘C、必则虫AB=e* CIM-设AB中点为E、CD中点为F,连结EF■在AABF中求得沪J5L 在AEEF中求得EF=2占，由于对称性可得第五个球的球心0在EF丄，连结W QD.设第五个球的半径为口则0耳畑皿r吃，于是OE=J&+3）' —3:=J；」：+6尸,。