2019学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷 2020.1（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．已知二次函数322-+-=x x y ，那么下列关于该函数的判断正确的是 （A ）该函数图像有最高点)3,0(-； （B ）该函数图像有最低点)3,0(-； （C ）该函数图像在x 轴的下方； （D ）该函数图像在对称轴左侧是下降的． 2．如图，EF CD AB ////，2=AC ，5=AE ，5.1=BD ，那么下列结论正确的是（A ）415=DF ； （B ）415=EF ； （C ）415=CD ； （D ）415=BF ．3．已知点P 是线段AB 上的点，且AB BP AP ⋅=2，那么AB AP :的值是（A ）215-； （B ）253-； （C ）215+； （D ）253+． 4．在ABC Rt ∆中，︒=∠90B ，3=BC ，5=AC ，那么下列结论正确的是（A ）43sin =A ； （B ）54cos =A ；（C ）45cot =A ； （D ）34tan =A ． 5．跳伞运动员小在200米的空中测得地面上的着落点A 的俯角为︒60，那么此时小离 着落点A 的距离是（A ）200米； （B ）400米； （C ）33200米； （D ）33400米．6．下列命题中，假命题是（A ）凡有角为︒30的直角三角形都相似；（B ）凡有角为︒45的等腰三角形都相似； （C ）凡有角为︒60的直角三角形都相似； （D ）凡有角为︒90的等腰三角形都相似．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：=︒⋅︒-︒45tan 30cot 60sin 2__▲___．8．已知线段4=a 厘米、9=c 厘米，那么线段a 、c 的比例中项=b __▲___厘米． 9．如果两个相似三角形的对应高比是2:3，那么它们的相似比是__▲___．A B C DEF（第2题图）10．四边形ABCD 和四边形D C B A ''''是相似图形，点A 、B 、C 、D 分别与点A '、B '、C '、D '对应，已知3=BC ，4.2=CD ，2=''C B ，那么D C ''的长是__▲___． 11．已知二次函数2)2(2+=x y ，如果2->x ，那么y 随x 的增大而__▲___．12．同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是__▲___米． 13．一山坡的坡度3:1=i ，小刚从山坡脚下点P 处上坡走了1050米到达点N 处，那么他上升的高度是_▲_米．14．在ABC ∆中，点E D 、分别在边AC AB 、上，6=AB ，4=AC ，5=BC ，2=AD ，3=AE ，那么DE 的长是__▲___．15．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=AC ，1=BC ，正方形DEFG 接于ABC ∆， 点F G 、分别在边BC AC 、上，点E D 、在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是 __▲___． 16． 如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，AC AD ⊥，C BAD ∠=∠，2=BD ，6=CD ，那么C tan 的值是__▲___．17．我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图，ABC ∆是“中垂三角形”，其中ABC ∆的中线CE BD 、互相垂直于点G ，如果9=BD ，12=CE ，那么 E D 、两点间的距离是__▲___．18．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，4=AD ，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形D C B A '''，点A 的对应点A '在对角线AC 上，点C 、D 分别与点C '、D '对应，D A ''与边BC 交于点E ，那么BE 的长是__▲___．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19．（本题满分10分）已知：5:3:2::=c b a ．（1）求代数式cb a cb a -++-323的值；（2）如果243=+-c b a ，求a 、b 、c 的值．20．（本题满分10分）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 自变量x 的值和它对应的函数值y 如下表所示：（2）设该二次函数图像与x 轴的左交点为B ，它的顶点为A ，该图像上点C 的横坐标为4，求ABC ∆的面积．（第18题图） AB C D （第16题图） A B C D （第15题图） A B C D E F G （第17题图） ABC DE G21．（本题满分10分）如图，一艘游轮在离开码头A 处后，沿南偏西︒60方向行驶到达B 处，此时从B 处发现灯塔C 在游轮的东北方向，已知灯塔C 在码头A 的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C 的距离（精确到1米）． 参考数据：414.12≈，732.13≈，449.26≈．22．（本题满分10分）如图，在ABC ∆中，BE AD 、是ABC ∆的角平分线，CE BE =，2=AB ，3=AC ．（1）设AB a =，BC =b，求向量BE （用向量a 、b 表示）；（2）将ABC ∆沿直线AD 翻折后，点B 与边AC 上的点F 重合，联结DF ，求CEB CDF S S ∆∆:的值． 23．（本题满分12分）如图，在ACB ∆中，点D 、E 、F 、G 分别在边AB 、AC 、BC 上，AD AB 3=，AE CE 2=，CG FG BF ==，DG 与EF 交于点H ．（1）求证： AB HG AC FH ⋅=⋅；（2）联结DF 、EG ，求证：GEF FDG A ∠+∠=∠．24．（本题满分12分）A B C D E F G H （第23题图） ABCDE（第22题图）如图，将抛物线4342+-=x y 平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，4tan =B ，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结AC 、DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线4342+-=x y 沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF ∆和ABC ∆相似时，请直接写出平移后所得抛物线的表达式．25．（本题满分14分）如图，在ABC ∆中，5==AC AB ，6=BC ，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点A 、B 重合），点G 在边AB 的延长线上，A CDE ∠=∠，ABC GBE ∠=∠，DE 与边BC 交于点F ．（1）求A cos 的值；（2）当ACD A ∠=∠2时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，BE AD :的值是否会发生变化？如果不变化，请求BE AD :的值；如果变化，请说明理由．4342+x DB AC G F E（第25题图） B A C （备用图）2019学年第一学期徐汇区初三年级数学学科 期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．D ； 3．A ； 4．B ； 5．D ； 6．B ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．0； 8．6； 9．2:3； 10．58； 11．增大； 12．28； 13．50； 14．25； 15．752； 16．21； 17．5； 18．825．三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19. 解：（1）由题意，设k c k b k a 5,3,2===．∴1533225323323=-⨯+⨯+-⨯=-++-kk k k k k c b a c b a ．（2）由题意和（1），得 245323=+-⨯k k k ； 解得 3=k ；∴632=⨯=a ，933=⨯=b ，1535=⨯=c ． 20．解：（1）该二次函数图像的开口方向向上；对称轴是直线2=x ；顶点坐标是)1,2(-；m 的值是3．（2）由题意，得)1,2(-A 、)0,1(B 、)3,4(C ；∵20,18,2222===AC BC AB ； ∴222AC BC AB =+；∴︒=∠90ABC ； ∴323221=⨯⨯=∆ABC S ． 21．解：过点B 作AC BD ⊥，垂足为D ．由题意，得︒=∠30DAB ，︒=∠45DBC ；又DBC BCD ∠=︒=︒-︒=∠454590；∴DC DB =； 设x DC DB ==，则200+=x DA ． 在BDA Rt ∆中，︒=∠90BDA ，∴DB DA DAB =∠cot ，即xx 20030cot +=︒； ∴2003+=x x ，解得)13(100+=x ；∴3863.386)414.1449.2(100)26(1002≈=+⨯≈+==x BC ．答：此时游轮与灯塔C 的距离约为386米．22．解：（1）∵CE BE =，∴EBC C ∠=∠；∵BE 平分ABC ∠，∴EBC ABE ∠=∠；∴C ABE ∠=∠；又CAB BAE ∠=∠，∴ABE ∆∽ACB ∆；∴ACABAB AE =； 即322=AE ；得34=AE ；∴94=AC AE ；∴AC AE 94= ；又=AC +AB b a BC+=；∴=BE +BA b a b a a AE9495)(94+-=++-=．（2）由题意，可得EBC ABC AFD ∠=∠=∠2，2==AB AF ； 又C EBC AEB ∠+∠=∠，EBC ABE C ∠=∠=∠， ∴AFD EBC AEB ∠=∠=∠2； ∴BE DF //；∴CDF ∆∽CBE ∆；∴259)351()(22===∆∆CE CF S S CBE CDF ．23．证明：（1）∵AD AB 3=，AE CE 2=，CG FG BF ==，∴31,31,31,31====BC CG BC BF AC AE AB AD ； ∴BC BF AC AE BC CG AB AD ==,； ∴AC DG //，AB EF //；∴C HGF ∠=∠，B HFG ∠=∠； ∴HFG ∆∽ABC ∆； ∴ABFH AC HG =；即AB HG AC FH ⋅=⋅． （2）∵AB EF //，AC DG //，∴1==FB GF HD GH ，1==GFCGFH HE ；∴FHHE HD GH =；∴DF EG //； ∴HGE FDG ∠=∠；又HEG HGE FHG ∠+∠=∠，∴HEG FDG FHG ∠+∠=∠； ∵HFG ∆∽ABC ∆，∴A FHG ∠=∠； ∴GEF FDG A ∠+∠=∠．24．解：（1）由题意，设新抛物线的表达式为4342++-=bx x y ．∵抛物线4342+-=x y 的顶点为C ，∴)4,0(C ，4=OC ；在BOC Rt ∆中，︒=∠90BOC ，∴4tan ==OB OCB ，得1=OB ；∴)0,1(B ； 由题意，得0434=++-b ，解得38-=b ；∴新抛物线的表达式为438342+--=x x y ；∴)316,1(-D ．（2）由题意，可得)0,3(-A ；过点D 作OC DM ⊥，垂足为M ．∴)316,0(M ； ∴4,3,34,1====CO AO CM DM ；∴43==CO AO CM DM ；又︒=∠=∠90AOC DMC ，∴DMC ∆∽AOC ∆，∴ACO DCM ∠=∠；∵CE 平分DCA ∠，∴ACE DCE ∠=∠；∴︒=∠+∠180)(2DCE DCM ；∴AOC MCE ∠=︒=∠90； ∴AO CE //；∴点E 与点C 关于直线1-=x 对称；∴)4,2(-E ． （3）有两种情况满足要求，平移后所得抛物线的表达式为：4)32(342++-=x y 或4)121(342+--=x y ．25．解：（1）过点B A 、分别作BC AH ⊥、AC BG ⊥，垂足分别为G H 、．在AHC Rt ∆中，︒=∠90AHC ，53cos ==∠AC CH ACB ；在BGC Rt ∆中，︒=∠90BGC ，53cos ==∠BC CG GCB ；得518=CG ；∴575185=-=AG ；在ABG Rt ∆中，︒=∠90AGB ，∴257cos ==AB AG A ． （2）以点D 为圆心DA 长为半径作弧交AC 于点M ，过点D 作AC DN ⊥于N ．∴可设x DA DM ==；∴ACD A AMD ∠=∠=∠2， 又MCD MDC AMD ∠+∠=∠； ∴MDC MCD ∠=∠；∴x DM CM ==；则x AM -=5； 在AND Rt ∆中，︒=∠90AND ，∵257cos ==AD AN A ， 即25725=-x x ；解得 39125=x ；即39125=AD ． （3）点D 在边AB 上运动过程中，BE AD :的值不变，65:=BE AD ． 联结CE ．∵AC AB =，∴ACB ABC ∠=∠；∴︒=∠+∠1802ABC A ； 又︒=∠+∠+∠180GBE ABC CBE ，ABC GBE ∠=∠， ∴︒=∠+∠1802ABC CBE ；∴CBE A ∠=∠；∵CDE A CBE ∠=∠=∠，DFC BFE ∠=∠；∴BFE ∆∽DFC ∆； ∴DCF BEF ∠=∠，CFEFDF BF =； 又EFC BFD ∠=∠，∴BFD ∆∽EFC ∆；∴ECF BDF ∠=∠． 又BEF BDF EBG ∠+∠=∠，ECF DCF DCE ∠+∠=∠， ∴ACB ABC GBE DCE ∠=∠=∠=∠； ∴DCF ACB DCF DCE ∠-∠=∠-∠； 即ACD BCE ∠=∠；∴ACD ∆∽CBE ∆； ∴65==BC AC BE AD ．。