松江区2014年中考一模数学试卷(满分150分，考试时间100分钟)一、选择题∶1．在Rt △ABC 中，=C ∠90°，如果=A α∠，BC a =，那么AC 等于（ ）A ．tan a α；B ．cot a α；C ．sin a α； D ．cos aα． 2．如果抛物线()232y mx m x m =+--+经过原点，那么m 的值等于（ ）A ．0；B ．1；C ．2；D ．3.3．如图，已知在平行四边形ABCD 中，向量BD 在向量AB 、BC 方向上的分向量分别是（ ）A ．AB 、BC ； B ．AB 、BC -；C ．AB -、BC ；D ．AB -、BC -．4．抛物线()221y x =--+经过平移后与抛物线()212y x =-+-重合，那么平移的方向可以是（ ）A ．向左平移3个单位后再向下平移3个单位；B ．向左平移3个单位后再向上平移3个单位；C ．向右平移3个单位后再向下平移3个单位；D ．向右平移3个单位后再向上平移3个单位． 5．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果1AD =，2BD =，那么由下列条件能判断DE ∥BC的是（ ）A ．12DE BC =；B ．13DE BC =； C ．12AE AC =；D ．13AE AC =． 6．如图，已知AB 、CD 分别表示两幢相距30m 的大楼，小明在大楼AB 的底部B 点处观察，当仰角增大到30度时，恰好能够通过大楼CD 的玻璃幕墙看到大楼AB 的顶部点A 的像，那么大楼的AB 高度为（ ）A ．103米；B ．203米；C ．303米；D ．60米．二、填空题∶7．函数()()52y x x =+-图像的开口方向是 ．8．在Rt △ABC 中, =C ∠90°，如果=A ∠45，12AB =，那么BC = ． 9．已知线段3a cm =，4b cm =，那么线段a 、b 的比例中项等于 cm ． 10．如果两个相似三角形周长的比是2∶3，那么它们面积的比是 ． 11．如图，在△ABC 与△ADE 中，AB AEBC ED=，要使△ABC 与△ADE 相似，还需要添加一个条件，这个条件可以是 ．12．已知点G 是△ABC 的重心，5AB AC ==，8BC =，那么AG = ．13．已知向量a 与单位向量e 方向相反，且3a =，那么a = ．（用向量e 的式子表示） 14．如果在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（3,4），射线与x 轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 ．15．已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为 ． （备用数据∶31590.6tan cot ==，37530.6sin cos ==）16．如果二次函数224y x kx k =++-图像的对称轴是直线3x =,那么k = ．17．如图，小李投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式2113822y x x =-+-，那么千秋运动过程中最高点离地面的距离为 米．18．如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△ABC 中, 6AB =，7BC =,5AC =,△11A B C 是△ABC 以点C 为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C 为转似中心的另一个转似三角形△22A B C （点2A 、2B 分别与A 、B 对应）的边22A B 的长为 ．三、解答题∶ 19．（本题满分10分）如图，已知在直角坐标平面中，点A 在第二象限内，点B 和点C 在x 轴上，原点O 为边BC 的中点，4BC =，AO AB =，3tan AOB ∠=，求图像经过A 、B 、C三点的二次函数解析式．第11题 第17题 第18题第19题20．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，DE ∥BC ，23AD DB =，如果AB a =，BC b =． （1）求EA （用向量a ，b 的式子表示）；（2）求作向量12a b -（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．21．已知，如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且EF ∥BD ，AE 、AF 分别交BD 于点G 和点H ，12BD =，8EF =．求：（1）DFAB的值； （2）线段GH 的长．22．如图，已知某船向正东方向航行，在点A 处测得某岛C 在其北偏东60°方向上，前进8海里到达点B 处，测得岛C 在其北偏东30方向上，已知岛C 周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．第20题第21题第22题23．已知∶如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，=BCD ∠90°，对角线AC 、BD 相交于点E ，且AC ⊥BD ． （1）求证：2CD BC AD =⋅；（2）点F 是边BC 上一点，连接AF ，与BD 相交于点G ，如果BAF DBF ∠=∠．求证：22AG BG AD BD =．24．已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22y x bx c =++的图像经过点()3,0A -和点()0,6B ． （1）求此二次函数的解析式； （2）将这个二次函数的图像向右平移5个单位后的顶点设为C ，直线BC 与x 轴相交于点D ，求s i n A B D ∠；（3）在第（2）小题的条件下，连接OC ，试探究直线AB 与OC 的位置关系，并说明理由．第23题25．如图，已知在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，10AB =，43tanA =，点D 是斜边AB 上的动点，连接CD ，作DE ⊥CD ，交射线CB 于点E ，设AD x =． （1）当点D 是边AB 的中点时，求线段DE 的长； （2）当△BED 是等腰三角形时，求x 的值； （3）如果DEy DB =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．第25题松江区参考答案及评分标准一、选择题：1．B ； 2．C ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．B ． 二、填空题： 7．向下；8．26；9．32；10．4︰9； 11．∠B =∠E 等；12．2；13．e 3-； 14．53； 15．37°； 16．-3； 17．2； 18．542． 三、解答题：19．解：∵点B 和点C 在x 轴上，点O 是BC 的中点，BC =4，∴点B 的坐标为（-2,0）、点C 的坐标为（2,0）．…………………………………（2分） 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ．∵AO =AB ，∴OH =1．………………………………………………………………（1分） ∵tan ∠AOB =3，∴AH =3．…………………………………………………………（1分） ∴点A 的坐标为（-1,3）．…………………………………………………………（1分）设所求的二次函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+-=.240,240,3c b a c b a c b a ………………………………………………………（1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=.4,0,1c b a …………………………………………………………………………（3分）∴所求的二次函数解析式为42+-=x y ．………………………………………（1分） 20．解：（1）∵DE //BC ，23AD DB =，∴52=AC AE ．…（1分） ∵AB a =，BC b =，∴b a AC +=．……（2分）∴b a EA 5252--=．………………………（2分）（2）作图……………………………………（4分）∴b a MN -=21．…………………………（1分）21．解：（1）∵EF ∥BD ，∴BD EFCD CF =．………………………………………………（1分） ∵BD =12，EF =8，∴32=CD CF ．……………………………………………………（1分）A B CDEMN∴31=CD DF ．…………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ．……………………………………（1分） ∴31=AB DF ．…………………………………………………………………………（1分） （2）∵DF ∥AB ，∴31==AB DF AH FH ．………………………………………………（1分）∴43=AF AH ．…………………………………………………………………………（1分） ∵EF ∥BD ，∴43==AF AH EF GH ．…………………………………………………（1分）∴438=GH ．…………………………………………………………………………（1分）∴GH =6．……………………………………………………………………………（1分） 22．解：无触礁危险．………………………………………………………………………（1分）理由如下：由题意，得∠BAC =30°，∠ABC =120°，………………………………………（2分） ∴∠ACB =30°，即∠BAC =∠ACB ．………………………………………………（2分） ∴BC =AB =8． ………………………………………………………………………（1分） 作CD ⊥AB ，垂足为点D ．又∵∠CBD =60°，∠ADC =90°，∴∠BCD =30°．……………………………（1分）∴BD =4，34=CD ．………………………………………………………………（2分） 而634>，∴无触礁危险．………………………………………………………（1分） 23．证明：（1）∵AD //BC ，∠BCD =90º，∴∠ADC =∠BCD =90º．……………………（1分）又∵AC ⊥BD ，∴∠ACD +∠ACB =∠CBD +∠ACB =90º．…………………………（1分） ∴∠ACD =∠CBD ．…………………………………………………………………（1分） ∴△ACD ∽△DBC ．…………………………………………………………………（2分）∴BCCDCD AD =，即2CD BC AD =⋅．………………………………………………（1分） （2）∵AD //BC ，∴∠ADB =∠DBF ．∵∠BAF =∠DBF ，∴∠ADB =∠BAF ．……………………………………………（1分） ∵∠ABG =∠DBA ，∴△ABG ∽△DBA ．…………………………………………（1分） ∴BDAB AD AG =．………………………………………………………………………（1分） ∴2222BDAB AD AG =． 又由于△ABG ∽△DBA ，∴BDABAB BG =．…………………………………………（1分） ∴BD BG AB ⋅=2．…………………………………………………………………（1分）∴BD BG BD BD BG BD AB AD AG =⋅==22222．………………………………………………（1分） 另证：∵AD //BC ，∠ADB =∠DBF ．∵∠BAF =∠DBF ，∴∠ADB =∠BAF ．……………………………………………（1分） ∵∠ABG =∠DBA ，∴△ABG ∽△DBA ．…………………………………………（1分）∴222AD AG AD AG S S DBA ABG =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆．………………………………………………………（2分） 而BD BG S S DBA ABG =∆∆，∴22AG BG AD BD =．…………………………………………………（2分） 24．解：（1）由题意，得⎩⎨⎧=+--=.6,3180c c b ………………………………………………（1分）解得⎩⎨⎧=-=.6,4c b ………………………………………………………………………（1分）∴此二次函数的解析式为6422+--=x x y ．……………………………………（1分） （2）函数6422+--=x x y 图像的顶点坐标为（-1,8），∴点C 的坐标为（4,8）． …………………………………………………………………………………（1分） 设直线BC 的表达式为y =kx +b ．得⎩⎨⎧+==.48,6b k b 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.6,21b k ∴直线BC 的表达式为621+=x y ．………………………………………………（1分） ∴它与x 轴的交点D 的坐标为（-12,0）．…………………………………………（1分） 作AH ⊥BD ，垂足为点H ．∵∠ADH =∠BDO ，∠AHD =∠BOD ，∴△ADH ∽△BDO ．∴BDBOAD AH =． 而AD =9，BO =6，BD =56，∴AH =559．……………………………………（1分）∵AB =53，∴53sin ==∠AB AH ABD ． …………………………………………（1分）（3）平行．…………………………………………………………………………（1分） 理由如下：∵BD =56，BC =52，DA =9，AO =3，∴3=BC BD ，3=AODO．……………（2分）∴AO DO BC BD =．………………………………………………………………………（1分） ∴AB ∥OC ．另证：过点C 作CP ⊥y 轴，垂足为点P ．由题意，得CP =4，PO =8，AO =3，BO =6，∴21tan ==∠PO CP COP ，21tan ==∠BO AO ABO ． ……………………………………………………………………………………（2分） ∴ABO COP ∠=∠tan tan ．∴锐角∠COP =∠ABO ．……………………………………………………………（1分） ∴AB ∥OC ．25．解：（1）在△ABC 中，∵∠ACB =90°，AB =10，34tan =A ，∴BC =8，AC =6．…（1分）∵点D 是斜边AB 的中点，∴CD =AD =BD =5．…………………………………（1分） ∴∠DCB =∠DBC ． ∵∠EDC =∠ACB =90°，∴△EDC ∽△ACB ． ∴BCAC CD DE =，即865=DE ．………………………………………………………（1分） ∴415=DE ．…………………………………………………………………………（1分）（2）（i ）当点E 在边BC 上时．∵△BED 是等腰三角形，∠BED 是钝角，∴EB =ED ．…………………………（1分） ∴∠EBD =∠EDB ． ∵∠EDC =∠ACB =90°，∴∠CDA =∠A ．∴CD =AC ．…………………………………………………………………………（1分） 作CH ⊥AB ，垂足为点H ，那么AD =2AH ． ∴53=AC AH ．∴518=AH ． ∴536=AD ，即536=x ．…………………………………………………………（1分）（ii ）当点E 在边CB 的延长线上时．∵△BED 是等腰三角形，∠DBE 是钝角，∴BD =BE ．…………………………（1分） ∴∠BED =∠BDE ． ∵∠EDC =90°，∴∠BED +∠BCD =∠BDE +∠BDC =90°． ∴∠BCD =∠BDC ．∴BD =BC =8．………………………………………………………………………（1分） ∴x =2．………………………………………………………………………………（1分） （3）作DF ⊥BC ，垂足为点F ．∵DF ∥AC ，∴BA BD BC BF AC DF ==，得)10(53x DF -=，)10(54x BF -=． ∴x x CF 54)10(548=--=，365362+-=x x CD ．…………………………（1分）又∵△DEF ∽△CDF ．∴CFCDDF DE =，即365364)10(32+--=⋅=x x x x CF CD DF DE ．∴y =xx x x x DB DE-+--=109001802520)10(32． ……………………………………（1分） 整理，得900180252032+-=x x xy ．…………………………………………（1分） 定义域为100<<x ．………………………………………………………………（1分）。