当我们把 1,3，2,5 写成
1
2
3
5
后发现 1×5+2×3 正好等于一次项的系数 11。
由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式 ax2 bx c 进行因式分解。
a1x c1 a2x c2
我们知道， a1a2 x2 a1c2 x a2c1x c1c2
a1a2 x2 a1c2 a2c1 x c1c2
例 4 把 x2 2x 15 分解因式。
解：因为-15=(-3)×5，并且(-3)+5=2，所以
通过例 1︿4 可以看出，把 x2 px q 分解因式时：
如果常数项 q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数 p 的
符号相同。
如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次
积 ， 并 且 a+b 等 于 一 次 项 的 系 数 p ， 那 么 它 就 可 以 分 解 因 式 ， 即
x2 px q x2 a b x ab x a x b。运用这个公式，可以把某些二次项系数
为 1 的二次三项式分解因式。
例 1 把 x2 3x 2 分解因式。
分析：这里，常数项 2 是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而 2=1×2=(-1)(-2)， 要使它们的代数和等于 3，只需取 1,2 即可。
考点分析
第（ 1 ）课时 共（ 1 ）课时
授课时段
学生活动
教师活 动
分解因式之十字相乘法
我们知道 x 2 x 3 x2 5x 6 ，反过来，就得到二次三项式 x2 5x 6 的因式
分解形式，即 x2 5x 6 x 2 x 3 ，其中常数项 6 分解成 2,3 两个因数的积，而且
把 2 y2 分解成-y 与-2y 的积，(-y)+(-2y)=-3y,正好等于一次项的系数。
我们知道， x 23x 5 3x2 11x 10 。反过来就得到 3x2 11x 10 的因式分解
的形式，即 3x2 11x 10 x 23x 5 。
我们发现，二次项的系数 3 分解成 1,3 两个因数的积；常数项 10 分解成 2,5 两个因数的积；
1 -5
2y -4y
教师活 动
课后作业
学生成长 记录
本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ ____________________________
项系数 p 的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数 p。 例 5 把下列各式分解因式：
(1) x4 6x2 8
(2) a b2 4a b 3
例 6 把 x2 3xy 2 y2 分解因式。
分析：把 x2 3xy 2 y2 看成 x 的二次三项式，这时，常数项是 2 y2 ，一次项系数是-3y，
这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1 c2 + a2 c1 ，如果它们正好等于 ax2 bx c 的一次
项系数 b ，那么 ax2 bx c 就可以分解成
a1x c1 a2x c2 ，其中 a1 ， c1 位于上图的上一行， a2 ， c2 位于下一行。
像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫 做十字相乘法。
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.
十字相乘法教学设计
教师
王洪
学生姓名
上课日期
学科
数学
年级
教材版本
类型
知识讲解□：
考题讲解□:
本人课时统计
学案主题 教学目标
复习 教学内容
课时数量 第（ 1 ）课时
（全程或具体时间）
复习应用
教学重点、 如何进行系数的分解 难点 十字相乘法主要是在解题过程中的一个重要的方法
1
2
3
5
相乘就可以了。
例 7 把下列各式分解因式：
(1) 2x2 7x 3 (2) 6x2 7x 5 (3) 5x2 6xy 8 y2
解 : (1)2x2 7x 3
x 32x 1
(2)6x2 7x 5
2x 13x 5
教学过程
课堂练习
1 2 2 3
学生活动 2 5
-3 -1
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确
定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。例如在上面例子的二次三项式 3x2 11x 10
中，二次项的系数 3 可以分解成 1 与 3，或者-1 与-3 的积，常数项 10 可以分解成 1 与 10，
或者-1 与-10，或者 2 与 5，或者-2 与-5 的积，其中只要选取十字
这两个因数的和等于一次项的系数 5，即 6=2×3，且 2+3=5。
一 般 地 ， 由 多 项 式 乘 法 ， x a x b x2 a b x ab ， 反 过 来 ， 就 得 到
教学过程
x2 a b x ab x ax b
这就是说，对于二次三项式 x2 px q ，如果能够把常数项 q 分解成两个因数 a、b 的
反过来，就得到 a1a2 x2 a1c2 a2c1 x c1c2 a1x c1 a2x c2
我们发现，二次项的系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，并且把 a1 ，a2 ，c1 ，c2
2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 排列如下：
解：因为 6=(-1)×(-6)，并且(-1)+(-6)=-7，所以
例 3 把 x2 4x 21分解因式。
分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21 可以分解成-21=(-1) ×21=1×(-21)=(-3)×7=3×(-7)，其中只需取 3 与-7，其和 3+(-7)等于一次项的系数-4。
解：因为 2=1×2，并且 1+2=3，所以 x2 3x 2 x 1 x 2
例 2 把 x2 7x 6 分解因式。
分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而 6=1×6=(-1)×(-6)=2
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. ×3=(-2)×(-3)，要使它们的代数和等于-7，只需取-1，-6 即可。