第四单元 指数函数与对数函数一 教学要求1.理解有理数指数幂的概念，掌握幂的运算法则.2.了解幂函数的概念，了解幂函数y =x ,y =x 2，y =x 3，y = x21，y =x -1，y =x -2的图像.3.理解指数函数的概念、图像和性质.4.理解对数的概念(包括常用对数、自然对数)，了解对数的运算法则.5.了解对数函数的概念、图像和性质.6.了解指数函数和对数函数的实际应用.7.通过幂与对数的计算，培养学生计算工具使用技能；结合生活、生产实例，讲授指数函数、对数函数模型，培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力. 二 教材分析和教学建议(一) 编写思想1.通过温故知新完成由正整数指数幂到实数指数幂及其运算的逐步推广.让学生体验推广的过程，培养学生的数学思维方式.2.指数函数是中职数学学习中新引进的第一个基本初等函数，因此，教材先给出了指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立、指数函数图像的绘制、指数函数的基本性质，作了完整的介绍.3.教材从具体问题引进对数概念，由求指数的逆运算引入对数运算，并研究对数运算的性质.4.对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础展开的.对数函数的研究过程也同指数函数的研究过程一样，目的是让学生对建立和研究一个具体函数的方法有较完整的认识.5.专设一节研究指数函数、对数函数的应用.本单元教学的重点是指数函数与对数函数的概念、图像及其单调性.本单元教学的难点是分数指数幂的概念、对数的概念，以及指数函数、对数函数单调性的应用.(二) 课时分配本单元教学约需12课时，分配如下(仅供参考)：4.1有理数指数幂约1课时4.2实数指数幂及其运算法则约1课时4.3幂函数约1课时4.4指数函数的图像与性质约3课时4.5对数约2课时4.6对数函数的图像与性质约2课时4.7指数函数、对数函数的应用约1课时归纳与总结约1课时(三) 内容分析与教学建议4.1 有理数指数幂1.指数概念是由相同因式相乘发展而来的，回顾指数运算的发展过程，对学生学好这部分知识是十分必要的.2.讲解整数指数，是由正整数指数的意义及运算法则引入零指数、负整数指数的概念.3.在讲分数指数之前，先介绍方根的概念，在方根的定义和整数指数运算法则的基础上，引入正分数指数和负分数指数的概念，这里要让学生多做些练习，以掌握这个新的概念.4.2 实数指数幂及其运算法则1.整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂也同样适用.为此教材给出了如下运算性质：a r·a s = a r+s(a＞0，r, s∈Q)，(a r )s= a rs(a＞0，r,s∈Q)，(a·b) r=a r b r (a，b＞0，r∈Q).需要学生注意的是括号中限制条件的变化.当指数从整数指数推广到了有理数指数后，－2＝3－8＝(－8)13＝(－8)26＝6(－8)2＝664＝2.教学中，建议让学生用自己的语言叙述指数运算的三条性质.2.考虑到中职生的实际情况，教材只指出了“可以把有理数指数幂推广到无理数指数幂”，并未通过“用有理数逼近无理数”的思想引进无理数指数幂.3.在教学中要加强计算工具的使用，要让学生切实掌握利用计算器计算实数指数幂的题目，了解计算器的基本功能.4.3 幂函数本节教材只介绍了幂函数的定义，以及y=x，y=x2，y=x3，y=x21，y=x-1，y=x-2等几个幂函数的图像，教学中应注意把握好这个尺度.4.4 指数函数的图像与性质1.教材由两个实例引入了指数函数的概念，然后采用约定式定义法定义了指数函数，即“形如y=a x(a＞0且a≠1)的函数叫做指数函数”.这个定义要求底a＞0，且a≠1.这一点学生容易忽略，教学中应加以强调.2.教材采用描点法在同一坐标系中画出了两个指数函数的图像.这一过程应在课堂上展示给学生，以加深对指数函数图像形状特征的了解，为了使图像较为准确，所描的点可适当多一些，列表时，可借助于计算器.但是，对于学习基础较差的学生，教师只需要学生论证指数函数的图形特征、位置，对描点法作图可以不做要求.3.指数函数的性质是利用图像的直观性得到的，其中单调性是重点.它的应用主要是两方面：(1) 比较两个同底的幂的大小；(2) 解同底的指数不等式.4.5 对数1.现代工农业生产和科学技术研究工作中，需要计算大量的繁复的数据.如果利用对数计算，可以简化计算过程，特别是在高次乘方和开方中可以极大减轻劳动强度.因此对数是一种常用的计算工具和方法.在向学生进行关于对数知识和新的计算方法——对数计算的教学同时，要特别重视培养学生利用对数进行计算的技能.这不仅有助于解决几何、三角、物理中的计算问题，还能为参加生产实践或进一步学习打好基础.本节教材分两部分，即对数、对数运算法则.第一部分，在学习了指数概念的基础上，由实例引入对数的定义，接着研究对数式与指数式的关系和互化，再介绍对数恒等式及其应用.第二部分，着重研究对数运算法则及其应用.本节教材的重点是对数的定义、运算法则.难点是对数概念的正确建立及应用，而关键在于正确理解对数与指数关系，掌握它们的特性，加强综合练习.2.先举实例，要求出(1+6%)x=4,2x=10中的x值，需要一种新的计算方法——利用对数进行计算的方法，来适应数值计算需要.接着通过具体数字例子到一般式a b=N，b=log a N，引入对数的定义.把对应的指数简称为对数，再用符号表示.这样从具体到抽象，便于学生接受.通过指数式a b=N与对数式log a=b的对照比较，看出两个式子中a,b，N三者之间的关系是一样的，都是a的b次幂等于N，只是表示形式不同而已.从而使学生再次领会对应的指数就是对数，达到正确掌握对数、底数、真数三者之间的关系的目的以及对数式与指数式之间的密切联系，以加深对对数定义的理解.3.在引入对数定义后，教材简要地说明规定了a ＞0且a ≠1后，N ＞0，因此在实数集内零与负数没有对数，但对数可以是任何实数(正数、负数和零) .4.对数运算法则是对数运算的根据.利用它可以使数和式的乘、除、乘方运算化成低一级的对数的加、减、乘运算，从而简化计算.因此它也是学习对数的一个关键内容.对数运算法则是根据对数的定义和幂的运算法则导出的.教学时，可以进行对比：5.利用对数运算法则进行式子的恒等变形(包括化简)，是利用对数进行计算的基本技能，因此必须加强练习，使学生能牢固掌握和熟练运用.要注意防止可能产生的错误，例如：(1) log a (M ±N)=log a M ±log a N ，(2) log a M ·log a N =log a M +log a N ，(3) log a M ·log a N =log a (M+N )，(4) log aN M =aNaM log log ， (5) log a N M =log a (M-N ) ， (6) log a M p =(log a M ) p ，(7) log a (-M )＝-log a M .产生以上这些错误，有些是把积、商、幂的对数与对数的积、商、幂混淆起来所致，有些是把对数符号当做单独的数来使用所致.教学时，可以用具体数字(如设底数是2，M =4，N =8等)代入以上各式，启发学生自己去揭示和分析产生错误的原因，从而纠正错误.由于计算器的出现，使得复杂的数学计算有了新的工具，从而对《对数表》和《反对数表》的教学与使用越来越趋于淡化.因此，本教材删去了关于《对数表》和《反对数表》的有关内容.而采用计算器演示操作的方式，向学生介绍利用科学计算器计算对数的有关问题，而且操作步骤与结果的呈现方式便于学生掌握与理解.4.6 对数函数的图像与性质1.教材在分析对数式x=log 2 y 的基础上引入对数函数，主要分析由对数式确定的对应法则是不是函数关系.在教学中可根据指数函数y =2x 的图像做些简单说明，在此基础上给出对数函数的约定式定义：“形如y =log a x (a ＞0且a ≠1)的函数，叫做对数函数” .2.教材仍然采用了描点法画出四个对数函数y =log2x ，y =log 21x ，y=lg x ，y =log101x 的图像，并据此分析，归纳出对数函数的图像的特征.同指数函数，对于学习基础较差的学生，只需记住对数函数图形特征、位置，对描点法作图可不做要求.3.对数函数的单调性可由图像直观地分析出.4.7 指数函数、对数函数的应用教材安排了两道指数函数应用题，一道对数函数应用题，目的是引导学生运用所学知识解决实际问题.鉴于学生水平，讲解时仍需因势力导，不能急于求成，多帮学生进行分析，使他们能领会题目条件的要求，从而顺利列出函数解析式，最后使问题得解.(四) 复习建议1.构建知识结构2.梳理知识要点见本单元教材《归纳与总结》.3.需要注意的问题(1) 指数幂a n 当扩大到有理数时，要注意底数a 的变化范围.(2) 在对数式log a N =b 中要注意底数a ＞0且a ≠1，真数N ＞0等条件，这些条件在解题或变形中常常用到.(3) 在掌握指数函数、对数函数的图像和性质时，要对底数分两种情况讨论，即分为 a ＞1与0＜a ＜1两种情况.4.典型例题见本单元教材《归纳与总结》，其中例1复习对数函数定义域的求法；例2是利用指数函数、对数函数的单调性比较大小；例3是考查指数函数、对数函数的图像特征.5.解题指导函数的图像是学习函数时必须掌握的内容，函数的一些性质就是由图像直接得出的，函数的图像是数形结合的体现.每学习一种函数时，应熟悉函数图像的特征，这样既便于函数的性质的理解，也便于应用图像和性质解题.应该怎样记函数图像呢?现介绍一种记忆方法——分析与实验相结合.分析——根据图像的定义域、值域、奇偶性等记住图像的基本方位.实验——记住图像上的关键点，再用特殊数值实验函数的变化，从而得出函数的整个图像或不同函数图像间的关系.(1) 应牢记指数函数y=a x ，当a ＞1和0＜a ＜1时图像的基本形状和位置.图像特点①：对任意的a ＞0且a ≠1，y=a x 图像都过(0，1)(因为a 0=1) .图像特点②：底互为倒数的两个指数函数图像关于y 轴对称.例如：y =2x 和y =(21)x (即y =2-x )的图像关于y 轴对称. 图像特点③：图像在x 轴上方，与x 轴没有交点(因为ax ＞0) .事实上，指数函数的图像比较好画，即使忘记了图像的形状和位置，只须取几个点就可以描绘出来.但要注意，因为y =a x (a ＞0，a ≠1)的定义域是R ，故取点时，x 取正数、零、负数都应考虑到.(2) 要牢记对数函数y=log a x ，当a ＞1和0＜a ＜1时图像的基本形状和位置.图像特点①：对任意的a ＞0且a ≠1，y =log a x 图像都过(1，0)(因为log a 1=0) .图像特点②：底互为倒数的两个对数函数图像关于x 轴对称.例如：y =lg x 和y=log 101x 的图像关于x 轴对称.图像特点③：图像在y 轴右方，与y 轴没有交点(因为y =log a x 的定义域为(0，+∞)).(3) 指数函数、对数函数图像一起记.根据指数函数、对数函数互为反函数得出：当a ＞1或0＜a ＜1时，指数函数、对数函数的图像分别关于直线y=x 对称(如图4-1和图4-2)，因此两个图像可以一起记.(4) 对图像的高低，我们仍采用数值实验法.例如：对y =2x , y =10x ，取x =1，因为21＜101，所以在x ＞0时，y =10x 图像在y =2x 图像上方，可以推测，在x ＜0时，y=10x 图像在y =2x 图像的下方，且在(0，1)点处，两图像是交叉的.图4-1 图4-2根据y =(21)x ，y =(101)x 图像分别与y =2x ，y =10x 图像关于y 轴对称，可以得出，在x ＜0时，y =x⎪⎭⎫ ⎝⎛101图像在y =x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21图像的上方，在x ＞0时，亦相反. 例如，对y =log 2x ，y =lg x ，取x =10，因为log 210＞1，lg10=1，所以log 210＞lg10，可以推测，在x ＞1时，y =log 2x 图像在y =lg x 图像上方，当x ∈(0，1)时，亦相反，即图像在点(1，0)外是交叉的.根据y =log 21x ，y =log 101x 的图像分别与y =log 2x,y =lg x 的图像关于x 轴对称，可以得出，在x ＞1时，y= log 101x 图像在y = log 21x 图像的上方，在x ∈(0，1)时，亦相反.这样，可以很快地画出y =log 2x ，y =log 3x ，y =lg x ，y = log 21x ，y =log 31x ,y =log 101x 在同一坐标系中的图像(如图4-3) .下面利用图像来解题.例1 设a ＞0且a ≠1，在同一坐标系中，y =a x ，y =log a (-x )的图像只能是图4-4中的( ).图4-4分析：因为函数y =log a (-x )的定义域为(-∞，0)，所以否定(A)，(D) .因为y =log a (-x )与y =log a x 的图像关于y 轴对称，所以在(B)，(C)中，由y =log a (-x )的图像得a ＞1，所以选B .图4-3例2(1) log a2＜log b2＜0，试比较a，b，1的大小；(2) 若a＞0，试比较log3a，log5a，log0.5a的大小；(3) 试比较log0.71.5，log0.82.5的大小.分析：(1) 作出图4-5,可以得出0＜b＜a＜1.(2) 作出图4-6可以得出,当a∈(0，1)时，log3a＜log5a＜log0.5a；图4-5 当a=1时，log5a=log3a=log0.5a=0；当a＞1时，log0.5a＜log5a＜log3a.(3) 作出图4-7得出log0.82.5＜log0.71.5.也可以这样考虑,log0.82.5＜log0.81.5，log0.81.5＜log0.71.5.所以 log0.82.5＜log0.71.5.图4-6 图4-7。