三.卷积计算 y(n) = x(n)* h(n) = ∑x(m)h(n − m)
m=−∞
∞
m的范围由x(n)、h(n)的范围共同决定。 范围由x 范围共同决定。
1.y(n)的序列元素个数? 1.y 序列元素个数 元素个数?
若x(n)的序列长度为n1、 h(n)的序列长度为n2， 的序列长度为n 的序列长度为n 则y(n)的序列长度为n1 + n2 -1 的序列长度为n 若：
返回
例7-6-1 已知x(n) =αnu(n) (0 <α <1) , h(n) = u(n),求卷积
y(n) = x(n)∗h(n)。
y(n) = x(n) ∗h(n) =
m=−∞
∑α
∞
m
要点： 要点： u(m)u(n − m) 定上下限
量 宗 : m ≥ 0, m ≤ n 即： m ≤ n, n ≥ 0 0≤
1 2 m=−∞ 1 3
∞
∞
m=−∞
= x1(n)*x2(n)+ x1(n)* x3(n) )*x 4．其它一些性质 x(n)* δ(n)= x(n) ．
x(n)* u(n)=∑ x (n )
i = −∞
n
y(n-n1-n2)=x1(n-n1)* x2(n-n2) y(n)= x1(n)* x2(n)= x1(n)* x2(n)
• •
n +6
• o
•
1 2 3 4 5
m o
2
6
m
o
n +2
m
再将x 再将x2(n-m)平移，并分区间求出卷积结果。 平移，并分区间求出卷积结果。
x1(m)
4
• o
•
•
•
•
1
x2(n-m)
• • •
• •
n +6
1.当n+6 ≤0时，即n≤−6， y(n)= x1(n)*x2(n)=0 1.当n+6 )*x 2.当n+2 ≥ 6时，即n ≥ 4， y(n)= x1(n)*x2(n)=0 2.当n+2 )*x 3.当n+6 ≥ 1和n+2 ≤5时，即-5 ≤n ≤3，为y(n)的非0区间 3.当n+6 n+2 ≤3， 的非0 （1）当n+6 ≥ 1和n+6 ≤5时，即-5 ≤n ≤-1， n+6 n+6
n x1(n)* ∑ x 2 (i ) = x1(n)* x2(n) i = −∞ n n n s (i ) = ∑ x1 (i ) *x2(n)= x1(n)* ∑ x 2 (i ) *x ∑ i = −∞ i = −∞ i = −∞ 返回
x1 (n) ∗ x2 (n)∆ ∑x1 (m)x2 (n − m)
m=−∞ ∞
返回
二．离散卷积的性质
1．交换律 x1(n)* x2(nn)=∑x1 (m)x2 (n − m) 证明：
=
m=−∞ ∞ k =−∞ 1 2
令m=n-k n-m=k
例7-6-2
已知离散信号
x1(n)=n[u(n)-u(n-6)] )=n )=u n+6)- n+1) x2(n)=u(n+6)-u(n+1)
用函数式求卷积y 用函数式求卷积y(n)= x1(n)*x2(n) )*x 由卷积定义 y(n) = x1 (n)* x2 (n) =
=
∞ m=−∞
∑ x (m)x (n − m)
1 2
∞
=
m=−∞ ∞
∑m[u(m) − u(m − 6)][u(n − m + 6) − u(n − m + 1)]
m =−∞
∑ mu(m)u(n − m + 6) − ∑mu(m − 6)u(n − m + 6)
m =−∞ ∞ ∞ m =−∞
∞
−
m =−∞
∑ mu(m)u(n − m + 1) + ∑ mu(m − 6)u(n − m + 1)
x(n) =Lx(−1)δ (n+1) + x(0)δ (n) + x(1)δ (n−1) + L+ x(m)δ (n− m) +L
=
m=−∞
∑x(m)δ (n − m)
x(n) δ (n) h(n) y(n) h(n)
∞
对于零状态的离散线性时不变系统， 对于零状态的离散线性时不变系统，若
就必有： 就必有：时不变 均匀性
x(n)序 列 n1 ≤ n ≤ n2，
h(n)序列
则 (n)序 y 列
(n1 + n3 ) ≤ n ≤ (n2 + n4 )
4个元素 5个元素 8个元素
n3 ≤ n ≤ n4
例如： 例如：
x(n)： 0 ≤ n ≤ 3 h(n)： 0 ≤ n ≤ 4 y(n)：0 ≤ n ≤ 7
2.几种常用的求卷积方法 2.几种常用的求卷积方法
∑
∞
x1 (m ) ∑ x 2 (k − m )x 3 (n − k )
k = −∞
∞ ∞
∞
令 r = k- m k= m+r
m = −∞ 1
m = −∞
∑ x (m ) ∑ x (r )x (n − m − r ) = ∑ x (m )Q(n − m )
1 r = −∞ 2 3
=x1(n)*[ x2(n)* x3(n)]
3．分配律 x1(n)*[ x2(n)+ x3(n)]= x1(n)*x2(n)+ x1(n)* x3(n) )*x 证明: 证明: x1(n)*[ x2(n)+ x3(n)]=∑x1 (m)[x2 (n − m) + x3 (n − m)]
=
m=−∞ ∞
∑x (m)x (n − m) + ∑x (m)x (n − m)
m=n+2
∑m = ∑m + ∑m = ∑(− j ) + 15
m=n+2 m=1
5
0
5
1 1 = − [− (n + 2)][− (n + 2) + 1] + 15 = 15 − (n + 1)(n + 2) 2 2
(0 ≤ n ≤ 3)
- 5 ≤ n ≤ −1 0≤n≤3 n≥4
0 则 1 (n + 6)(n + 7 ) 2 y (n ) = x1 (n ) ∗ x 2 (n ) = 15 − 1 (n + 2)(n + 1) 2 0
n ≤ −6
结果与例7 结果与例7-6-2相同. 相同.
返回
例7-6-4
已 x1(n) = 4 , 3, 2, 1 x2(n) = 3 , 2, 1, 知 ， ， ↑ ↑ n=0 n=0 求 y(n) = x1(n)∗ x2(n) ：
1 1 = (n + 6 )(n + 7 )u(n + 6 ) − (n + 6 )(n + 7 ) − 15 u(n ) 2 2 1 1 − (n + 1)(n + 2 )u(n + 1) + (n + 1)(n + 2 ) − 15 u(n − 5) 2 2
1 = (n + 6 )(n + 7 )[u(n + 6 ) − u(n )] + 15[u(n ) − u(n − 5 )] 2 1 − (n + 1)(n + 2)[u(n + 1) − u(n − 5 )] 2
n+ 6 n+ 6 n+1 n+1 = ∑ mu(n + 6) − ∑ mu(n) − ∑ mu(n + 1) + ∑ mu(n − 5) m=0 m=6 m=0 m=6
5 5 n+6 n+6 n+1 n+1 = ∑mu(n + 6) − ∑m − ∑mu(n) − ∑mu(n + 1) + ∑m − ∑mu(n − 5) m=0 m=0 m=0 m=0 m=0 m=0
∑x (n − k)x (k) = x2(n)* x1(n)
∞
2．结合律 x1(n)* [x2(n) * x3(n)]= [x1(n)* x2(n)] * x3(n) [x [x 证明: 证明:[x1(n)* x2(n)] * x3(n)= ∑
=
=
m = −∞
∞
k = −∞
∞ ∑ x1 (m )x 2 (k − m ) x 3 (n − k ) m =−∞
使用对位相乘求和法求卷积 步骤： 步骤： 两序列右对齐→ 两序列右对齐→ 逐个样值对应相乘但不进位→ 逐个样值对应相乘但不进位→ 同列乘积值相加（注意n=0的点 的点） 同列乘积值相加（注意n=0的点）
x1(n)
:
:
×
x2 (n)
↑ n=0
4
3
↑ n=0
2
2
1
1
3
+
4 8 6 12 9 6
y(n) :
n
o 1 2 3
h(n − m)
n
L
amu(m) L
m
L
amu(m) L
o 1 2 3 n=0
n
o 1 2 3 n =1
m
y(n) 1−αn+1 y(n) = u(n)⋅ ∑αm = u(n) 1 1−α 1−α1 m=0