数字信号处理 课程试题（A 卷）合分人： 复查人：一、判断题：（每题 1分，共 10 分）（说明：认为陈述正确的在后面的括号内打“√”，否则打“×”）1．系统y(n)=2x(n)+5是线性移不变系统。

（×） 2．序列x(n)=sin (0.7πn )是周期序列。

（√） 3．脉冲响应不变法可以设计任意幅度特性的滤波器。

（×） 4．FIR 系统的单位脉冲响应是有限长的。

（√） 5．右边序列的收敛域在单位圆内。

（×） 6．IIR 系统是全极点系统。

（×） 7．实序列的频谱是周期的、共轭对称的。

（√） 8．线性相位FIR 系统的零点在单位圆外。

（×） 9．窗函数的选择原则是在保证阻带衰减的情况下选择主瓣窄的窗函数。

（√） 10．切比雪夫I 型滤波器在通带内有波纹。

（√）二、填空题：（每空 2 分，共 20 分）1．序列)()(n u a n x n=的Z 变换为az z -，)3(-n x 的Z 变换是az z--2。

2．设采样频率Hz f s 1000=，则当ω为π/2时，信号的模拟角频率Ω和实际频率f 分别为 500π 、Hz 2502=Ωπ。

3．N 点序列)(n x 的DFT 表达式为 ，其物理意义1()[()]() 01N n kNn X k D F T x n x n W k N -===≤≤-∑是x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；是x(n) 的DTFT 在区间[0，2π]上的N 点等间隔抽样。

4．序列x(n)和h(n)，长度分别为N 和M （N>M ），二者线性卷积的长度为 N+M-1 ;循环卷积与线性卷积的关系是 。

5．全通系统的极零点分布特点是 零点与极点以单位圆为镜像对称 。

三、简答题：（每题 5 分，共 20 分）1．对模拟信号进行采样，采样信号的频谱是否能完全表示原信号频谱？为什么？答：一个连续时间信号经过理想抽样后，其频谱将以抽样频率T s /2π=Ω为间隔而重复，即抽样信号的频谱产生周期延拓，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。

因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率上的交叠，就有可能恢复出原信号。

要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。

2．什么是吉布斯效应？它对滤波器性能有何影响？如何减小该效应的影响？答：(1)在采用窗函数法设计FIR 滤波器时，加窗处理对理想矩形频率响应产生以下影响：一是理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带宽等于窗的频率响应 的主瓣宽度，二是带内增加了波动，通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。

旁瓣的大小直接影响)(ωH 波动的大小。

(2)吉布斯效应直接影响滤波器的性能。

通带内的波动影响滤波器通带中的平稳性，阻带内的波动影响阻带内的衰减，可能使最小衰减不满足技术要求。

一般滤波器都要求过渡带愈窄愈好。

(3)改变N 只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。

其相对比例由窗函数形状决定，因此只有寻找合适的窗函数形状，才能减小吉布斯效应的影响。

3．写出用FFT 计算线性卷积的基本步骤，并画出框图。

答：用FFT 计算现象卷积，是以圆周卷积代替线性卷积为基本原理的。

假设参与线性卷积()()N c l N y n y n 点圆周卷积是线性卷积以为周期的周期延拓序列的主值序列。

的两个序列x(n)为L 点、h(n)为M 点，要使圆周卷积能够代替线性卷积，则必须使x(n)，h(n)都补零值点，补到至少N=M+L-1。

这时计算N 点的圆周卷积就能代表线性卷积。

用FFT 计算y(n)值的步骤如下： 1) 求H (k ) = FFT [h (n )] N 点； 2) 求X(k ) =FFT [x (n )] N 点 ； 3) 计算Y (k ) = H (k )X (k ) 4) 求y (n ) = IFFT [Y (k )] N 点4．在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：低通滤波器的作用在于一方面把有效信号频谱以外的信号衰减掉，从而保证采样定理能够正确实现；另一方面也可以把加在有效信号上的高频干扰信号抑制掉，从而保证系统的精确度。

四、分析计算题：（共 50分）1．（15分）已知序列(){1,2,3,2,1}x n =---，n=0,1…,4(1) 该序列是否可以作为线性相位FIR 滤波器的单位脉冲响应？为什么？ (2) 设序列()x n 的傅立叶变换用()j X eω表示，不用求()j Xeω，分别计算()j X e、()j X eπ、()j X ed πωπω-⎰、2()j X ed πωπω-⎰。

(3) 求()x n 与序列4()()y n R n =的线性卷积及7点循环卷积。

解：（1）序列(){1,2,3,2,1}x n =---满足偶对称，因此可以作为线性相位FIR 滤波器的单位脉冲响应。

（2）由序列的傅里叶变换公式()[()]()j j nn X eD T F T x n x n eωω∞-=-∞==∑()()()001j j nn n Xe x n ex n ∞∞-⋅=-∞=-∞===-∑∑得()()(2)(21)1j j nn n n X ex n ex n x n ππ+∞+∞+∞-=-∞=-∞=-∞==++⨯-=-∑∑∑由序列的傅里叶反变换公式11()[()]()2j j j nx n D T F TX eX eed πωωωπωπ--==⎰()()()0202j j j Xe d Xe ed x ππωωωππωωππ⋅--===-⎰⎰得由Parseval 公式()()2212j n x n Xe d πωπωπ∞-=-∞=∑⎰()()2222(14941)38j n Xe d x n πωπωπππ∞-=-∞==++++=∑⎰得(3) 先求线性卷积：11()()*()()()N m l n x n y n x m y n m -===-∑(0)1;(1)1;(2)2;(3)0;(4)0;(5)2;(6)1;(7)1l l l l l l l l =-==-===-==-它们的线性卷积为N=4+5-1=8点的有限长序列。

如图：7点循环/圆周卷积：2．（15分）已知一因果系统的系统函数为11210.5()321525z H z zz---+=-+试完成下列问题：(1) 系统是否稳定？为什么？ (2) 求单位脉冲响应()h n (3) 写出差分方程； (4) 画出系统的极零图； (5) 画出系统的所需存储器最少的实现结构。

解（1）11121110.510.5()32121(1)(1)52555z z H z zzzz------++==-+--极点是：z=1/5和z=2/5，所有极点都在单位圆内，因此系统稳定。

（2）1111110.5 1.50.5()1212(1)(1)115555z H z zzzz-----+==-----且系统是因果系统，所以：12() 1.50.5()55n nh n u n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（3）由11210.5()321525z H z zz---+=-+，可知b0=1；b1=0.5；a0=1；a1=3/5；a2= -2/25则差分方程可表示为：32()()(1)(2)0.5(1)525y n x n x n x n y n =+-----(4)零极点分布如下图所示：3．（5分）已知模拟滤波器的传输函数22)()(ba s a s s H a +++=：式中，a 、b 为常数，设)(s H a 因果稳定，试用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器)(z H 。

解：脉冲响应不变法：1()Nk a k kA H s s s ==-∑11()1k Nks Tk T AH z ez-==-∑经部分分式分解：()()22as aHs s a b+=++1112s a jb s a jb ⎡⎤=+⎢⎥+++-⎣⎦ 经冲激响应不变法变换后得：()()111()211a jb T a jb T T TH z e z e z -+----⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦()()11221c o s 12c o s a T a Ta Te zb T T ezb T e z-------=⋅-+4．（5分）一个因果稳定的全通滤波器的)(n h 是实序列，系统函数包括三个零点，如果)(z H 在 1.25z =和4/2πj ez =各有一个零点，试写出)(z H 的表达式。

解：)(n h 是实序列，则H(z)是实系数有理系统函数，其系数都应为实数，而其其系统函数的复数极点（零点）必须以共轭对形式出现。

题意给出该系统包含三个零点， 1.25z =和4/2πj ez =各有一个零点，那么第三个零点必然是复数零点4/2πj ez =的共轭，即/42j z eπ-=。

由于全通系统的零极点以单位圆为镜像对称，那么可以确定出三个极点的位置，与零点 1.25z =以单位圆为镜像对称的极点为1/1.250.8r z ==，与零点4/2πj e z =对称的极点为/412j r z eπ=；与零点/42j z eπ-=对称的极点为/412j r z eπ-=三个零点以及三个极点确定，则可以得出)(z H 的表达式为：1/41/411/41/411 1.251212()1110.81122j j j j z e z e z H z zezezππππ-----------=---5．（10分）采用窗函数法设计FIR 数字滤波器时，常用的几个窗函数及其特性如下表所示：现需要设计满足下列特性的低通滤波器，通带截至频率1p f K H Z =，阻带截止频率2K H Z s t f ≤，抽样频率16K H Z s f =，阻带衰减dB s30≥α，请回答下列问题：(1)你选择什么窗函数？为什么？ (2)窗函数长度N 如何选择？ 解：求各对应的数字频率： 通带截止频率为 20.125pp s f f πωπ==阻带截止频率为 20.25s ts t sf f πωπ==阻带衰减相当于 230d B δ=（1） 由阻带最小衰减的要求，查表，可选汉宁窗，其阻带最小衰减-44dB 满足要求。

（2） 所要求的过渡带宽0.250.1250.125ωπππ=-= ，由于汉宁窗过渡带宽满足/(2/)N ωπ =3.1，所以窗函数N =6.2/=πω 49.6，取N=50。

一般N 的取值要通过几次试探而最后确定。