一 . 填空 (每题2分，共10分)。

1. 设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z .2.设c 为沿原点z =0到点z =1+i 的直线段,则=⎰cdz z 2 2 .3. 函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++ 在点z=0处的留数为__________________ 4. 若幂级数i z z cn nn 210+=∑∞=在处收敛，则该级数在z =2处的敛散性为 .5. 设幂级数∑∞=0n nn zc的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 .二. 单项选择题 (每题2分，共40分)。

1． 复数i 258-2516z =的辐角为 （ ） A ．arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212． 方程1Rez 2=所表示的平面曲线为 （ ）A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 3．复数)5isin-5-3(cos z ππ=的三角表示式为 （ ）A ．)54isin 543(cos -ππ＋B ．)54isin 543(cos ππ－ C ．)54isin543(cos ππ＋ D ．)54isin 543(cos -ππ－ 4．设z=cosi ，则 （ ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．设w=Ln(1-i),则Imw 等于（ ） A ．4π－B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－C ．4π D ． 1,0,k ,42k ±=+ππ 7.设函数f(z)=u+iv 在点z 0处可导的充要条件是 ( ) A. u,v 在点z 0处有偏导数C. u,v 在点z 0处满足柯西—黎曼方程B. u,v 在点z 0处可微 D. u,v 在点z 0处可微，且满足柯西—黎曼方程8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-c n a z z f 1)()(等于 （ ）A ．)()!1(2)1(a f n i n ++π B ．)(!2a f n iπ C ．)(2)(a ifn π D ．)(!2)(a f n in π9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-c n i z dz1)(等于 （ ）A.1 B ．2πi C ．0 D ．iπ21 10．设C 为正向圆周|z|=2，则积分dz z c ⎰-等于 （ ）A ．0B ．2πiC ．4πiD ．8πi 11．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于 （ ）A ．1++z z e zeB ．1-+z z e zeC ．1-+-z z e zeD ．1+-z z e ze 12．设积分路线C 为z=-1到z=1的上半单位圆周，则⎰+c 2dz z 1z 等于（ ）A ．i 2π+B ．i -2πC ．i -2-πD ．i 2-π+13．幂级数∑∞=1n 1-n n!z 的收敛区域为（ ）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．1|z |0<<D ．1|z |<14．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ ）A.一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 15．z=-1是函数41)(z zcot +π的 （ ） A.3级极点 B ．4级极点 C ．5级极点 D ．6级极点 16．幂极数∑∞=+1n nz (2n)!1)!n （的收敛半径为（ ） A.0 B ．1 C ．2 D ．＋∞ 17．设Q （z ）在点z=0处解析，1)-z(z Q(z)f(z)=,则Res[f(z),0]等于 （ ）A ．Q （0）B ．－Q （0）C ．Q ′（0）D ．－Q ′（0） 18．下列积分中，积分值不为零的是（ ）A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c3=++⎰为正向圆周｜其中 C ．1|z C dz,sinz zc =⎰为正向圆周｜其中B ．5|zC dz,e cz =⎰为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1-z coszc =⎰为正向圆周｜其中19.级数∑∞=1n ine是 ( )A. 收敛B. 发散C. 绝对收敛D. 条件收敛20.在|z|<1内解析且在（-1，1）内具有展开式∑∞=-0n n nx )1(的函数只能是（ ）A. z11+ B.2z 11- C.z 11- D. 2z 11+三．计算及应用题（每题10分，共50分）。

1．求函数6z 5z 1)z (f 2+-=在z=1处的泰勒展开式及+∞<<--=||2)2)(1(1)(z z z z g 在内展开为洛朗级数.2．设)2()(;2cos )(23πξξξξξf z f z d z z f ''≠-+=⎰=及求，.3．.给定积分⎰-C zdz z z e 2)2(.试就下列不同情形，写出此积分的值：(1)C 为正向圆周|z|=1， (2)C 为正向圆周|z-2|=1, (3)C 为正向圆周|z|=3.4．已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虚部v(x,y)=x 3-3xy 2,并且f(i)=0,求f(z). 5. 讨论y ix xy z f 22)(+=的可导性与解析性. 一、 填空题(每空 3 分，共15 分) 1、复数484z +=i 的模||z ＝_____________________。

2、ii-2=________________。

3、设C 为正向圆周||z =2，则⎰cdz 2-z πiz e =___________________________。

4、Z=1是1)(3-=z z f 的____________级零点。

5、设Ze zf 1)(=，则=]0),([Re z f s ________________。

二、单项选择题（每题 3 分，共15 分）1、当y x ,等于什么实数时，等式i iy i x +=+-++135)3(1成立（ ）（A ）4,0==y x (B)11,2==y x （C ） 11,1==y x (D) 4,2==y x2、函数z1=ϖ把Z 平面上的曲线422=+y x 映射成为ϖ平面上的（ ）（A ）一条过原点的直线vu = （B ）一个过原点的圆（C ）上半平面0)Im(>ϖ （D ）方程为4122=+v u 的圆 3、设C 为正向圆周：3||=z ，则⎰+c dz z z )1(1的值为（ ） （A ）0 （B ）i π2 （C ）-1 (D) -i π24、0=z 是zzsin 的（ ）（A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）本性奇点 (D) 零点 5、下列函数处处解析的是（ ）（A ）iy x z f -=2)( （B ）i y x z f 3332)(+=（C ）y ix xy z f 22)(+= (D) )sin (cos )(y i y e z f x +=三、（10分）设z=z z ),z (Im ),z (Re ,i1i2i 1求---四、（10分）将复数)0(sin cos 1πϕϕϕ≤<+-=i Z 化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。

五、（10分）设函数)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=.问常数d c b a ,,,取何值时，)(z f 在复平面内处处解析？ 六、（10分）证明y x y y x u 233),(-=为调和函数，并求其共轭调和函数),(y x v 和由它们构成的解析函数iv u z f +=)(。

七、（12分）计算下面积分的值，其中C 为正向圆周|z|=3（1）⎰-=c2dz 2zz 1-2z I （2）⎰=c5dz 1)-(z zcos I π 八、（10分）将+∞<<--=|z |2)2z )(1z (1)z (f 在内展开为洛朗级数九、（8分）用留数计算实积分⎰+=∞+∞-.x 1)(x 122d I一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1．（1＋i ）3＋（1－i ）3＝ ____________2.e21πi -= 。

3．⎰cdz zz＝ 其中C 为正向圆周：z ＝4。

4．⎰=12sin z n dz zz＝ （其中n 为正整数）。

5.Res ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,12z ze z = __________ 二、选择题(每题 3 分，共 15 分)1．下列函数极限存在的是 （ ）A ．0lim →zz z )Re( B. 0lim →z z z C. 0lim →z 1222---+z z z z z D. 0lim→z i 21(z z－z z )2．将Z 平面上的曲线x 2+y 2=4映射成W 平面上的曲线u 2+v 2=41的映射函数f(z)为( ) A ．W=Z B.W=Z 2 C.W=Z1D.W=Z 3．下列命题正确的是 （ ）A ．如果)(z f 在z 0连续，那么)('0z f 存在B ．如果)('0z f 存在，那么)(z f 在z 0解析C ．如果)(z f 在z 0解析，那么)('0z f 存在D ．如果z 0是)(z f 的奇点，那么)(z f 在z 0不可导4．下列级数绝对收敛的是 （ ）A ．∑∞=1n n n i B.∑∞=2ln n n n i C.∑∞=+08)56(n nni D.∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-121)1(n n n i n 5．∞是f(z)=1+z z的 （ ） A ．可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.二级极点 三、计算题(每题10 分，共 70 分)1.已知y x u )1(2-=为调和函数，求满足f(2)=-i 的解析函数f(z)=u+iv 。

2．设f(z)=⎰=-+-22123ξξξξξd z (1)试求f(1)；(2)当2≠z 时，试求f(z)。

3. 求函数f(z)=212-+z z 在圆环域+∞<-<13z 内的洛朗展开式。

4. 计算积分⎰-+cz z z )4()1(14dz ，C 为正向圆周：z ＝5。

5. 计算⎰+∞∞-+dx xxx 21sin 。

6. 求⎰Γ1Re zdz +⎰Γ2Re zdz ，其中1Γ和2Γ的起点和终点相同，都是0和1＋i ，但路径不同，1Γ是连接这两点的直线段，2Γ是经过z=1的折线段。