浙江师范大学《复变函数》（期末考试）试卷（2004-2005学年第一学期）考试类别： 考试 使用学生： 初阳学院数学专业02级 考试时间：150分钟 出卷时间2004年12月25日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理.一、（18%）填空题1、在内，函数的罗朗展式是① .01z <<1(2)(1)z z z -+2在处的留数是 ② .1z =3、问是否存在解析函数使 ？ ③ （只需回答()f z 111(()2122f f n n n==-是或否）.4、若解析函数的实部是，则 ④ .()f z (cos sin )x e x y y y -f()z =5、已知分式线性函数把上半平面变为单位圆，则 ⑤ .()f z ()f z =6、的值是 ⑥ .21|2|2d (1)(2)z z zz z -=--⎰二、（24%）计算题1、若以上半虚轴为割线，确定的一个解析分支 .并且分别求出Ln z ln z 在上半虚轴的左沿和右沿，当时的值.ln w z =z i =2、计算积分 ，（为常数，且）.0d I (1)xx xα+∞=+⎰α01α<<三、（36%）解答题1、求的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型.2Ln 1z z -2、在平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为3的割线，试作z 一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成平w 面的上半平面（不包括实轴）.3、试作一个解析函数，它把上半平面保形双射成平面的半带域Im 0z>w ， .Re 22w ππ-<<Im 0w >四、（22%）证明题1、若，，则 .1231z z z ===1230z z z ++=122313z z z z z z -=-=-2、若在内，解析，并且， 则 .1z <()f z 1()1f z z≤-()(0)(1)!n f e n <+浙江师范大学《复变函数》试题答案与评分参考05.1.17一、填空题（每空格3分，共18分）①② ③否101(1)112362n n n n z z ∞+=⎛⎫--+- ⎪⎝⎭∑1±④ ⑤⑥ e i zz c +i 000e ()(Im 0)z z z z z θ->-2πi-二、（24%）计算题1、若以上半虚轴为割线，确定的一个解析分支 .并且分别求出Ln z ln z 在上半虚轴的左沿和右沿，当时的值.ln w z =z i =解 （6分）Ln ln ||i arg 2πiz z z k =++3ππarg ,22z k -⎛⎫<<∈⎪⎝⎭A 令（8分）ln ln ||i arg 2πi z z z k =++3ππ<arg 22z ⎛⎫-< ⎪⎝⎭则在上半虚轴的右沿，当时，i z =πln i i 2w ==在上半虚轴的左沿，当时，（12分）i z =3ln i πi 2w ==-2、计算积分 ，（为常数，且）.0d I (1)xx xα+∞=+⎰α01α<<解因，故为多值函数，01α<<1()(1)F z z z α=+取正实轴为割线且单值解析分支（4分）()i arg 11()0arg 2π1||e zf z z z z αα=<<+（如图）设，则01r ε<<<<+∞2πd ()d (1e )()d ()d (1)rrrrc c c c c c xf z z f z z f z z x x εεεααε+-+--+Γ+Γ+ΓΓ=+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由知 （8分）2π|()d |(1)c f z z εαεεε≤-⎰0lim ()d 0c f z z εε→=⎰由知i 12πi i 0i e d 2π|()d |||(1e )e 1rc r r f z z r r r θαθααθθ-=≤+⋅-⎰⎰lim ()d 0rr c f z z →+∞=⎰故 （12分）πi 2πi 0d 2πie π(1)1e sin πx x x αααα-+∞-==+-⎰三、（36%）解答题1、求的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型.2Ln 1z z -解因和是支点，故和不是孤立奇点. 因此，孤立奇点为和，0+∞0+∞1-1故可取上半虚轴作割线，因此，解析分支 ()22ln 1ln ||i(2π+arg )11z z k z z z =+--，（6分）k ∈A 3πarg 22z π-<<（1）当时，是可去奇点0k =1z =（2）当时，是一阶极点0k ≠1z =（3）是一阶极点 （12分）1z =-2、在平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为3的割线，试作z 一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成平w 面的上半平面（不包括实轴）.解（1）若区域表示在平面的上半平面，从原点起沿虚轴去掉一条长为D z 3的割线，则将区域变为平面除去正实轴的开区域（6分）29z ω=+D ()ω1D（2）将变为平面的上半平面w =1D w Im 0w >因此（12分）w =3、试作一个解析函数，它把上半平面保形双射成平面的半带域Im 0z>w ， .Re 22w ππ-<<Im 0w >解由多角形映射公式知1zw c c -=+⎰由知π(1)2w --=1π2c =-因，故由知111arcsin πt --==⎰π(1)2w =πππ22c -=所以（6分）1c =因此πarcsin 2zw z -==⎰于是即为所求. （12分）arcsin w z =四、（22%）证明题1、若，，则 .1231z z z ===1230z z z ++=122313z z z z z z -=-=-证法1因，，故1230z z z ++=3||1z =22123()||1z z z +=-=即，即（6分）1212()()1z z z z ++=12121z z z z +=-因此121211121222()()3z z z z z z z z z z z z--=--+=即 ，（11分）12||z z -=23||z z -=12||z z -=证法2 由平行四边形公式 知，2222131313||||2(||||)z z z z z z ++-=+，而，（6分）2222131313||2(||||)||z z z z z z -=+-+1230z z z ++=因此，，222213132||2(||||)||413z zz z z -=+--=-=13||z z -=同理，（11分）23||z z -=12||z z -=2、若在内，解析，并且， 则1z <()f z 1()1f z z≤-()(0)(1)!n f e n <+证因（3分）()1||1!()(0)d 2πin n n z n n f z f z z+=+=⎰故（6分）11||1||1!|(0)||d |2π||z (n)n n z n n f z z -+=+≤⎰（8分）11111!n2π2π()n+1nn n n n n +-++≤（11分）1(1)!1e(1)!nn n n ⎛⎫=++<+ ⎪⎝⎭“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。