运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。
在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。
均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。
笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即3x =时，上式取“=”。
故max 9y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x=-，即x ==”。
故max3218827y ⨯=，又max 0,y y >=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。
故min 9y =。
评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。
例5 已知1x >-，求函数()()22413x y x +=+的最大值。
解：1,10x x >-∴+>，()()()()22412424342241414141x y x x x x +∴==≤=⨯+++++++++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。
故max 3y =。
评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。
例6 已知0x π<<，求函数2cos sin xy x -=的最小值。
解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2xt =，则0t >。
所以211cos 113133sinsin 2222x t t ty t x x t t t -+=+=+=+≥=。
当且仅当1322tt =，即3t x π==时，上式取“=”。
故min y = 评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。
三、 拼凑常数降幂例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。
分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。
本题已知与要求证的条件是1a b ==，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
证明：33333333333333113113,113113a a a b b b ++≥=++≥=。
()33463, 2.a b a b a b ∴++=≥+∴+≤当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”， 故原不等式得证。
评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。
例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。
解：333333311,311,311,x x x x y y y y x y x y ⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++()()33333333221151775733x x y y x y x y x y xy ++++++++++∴++≤==。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故225x y xy ++的最大值为7。
例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。
证明：333333131,131,131a b a b b c b c c a c a ++≥⨯••++≥⨯••++≥⨯••，()()333323a b c ab bc ca ∴+++≥++，又3ab bc ca ++≥=， ()()3333333223,a b c ab bc ca a b c ab bc ca ∴+++≥+++∴++≥++。
当且仅当1a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
四、 拼凑常数升幂例10若,,a b c R +∈，且1a b c ++=≤。
分析：已知与要求证的不等式都是关于,,a b c 的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是13a b c ===，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
证明：()()()161616161616255,255,255333333a ab bc c +≤+++≤+++≤++， (()1623132.3a abc ∴+≤+++=≤。
当且仅当13a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
例11 若2,,,a b a b R ++=∈，求证：332a b +≥。
证明：33333331111,31111,a a b b ⨯⨯≤++⨯⨯≤++()3334a b a b ∴+≤++。
又332,2a b a b +=∴+≥。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
五、 约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。
例12 已知28,,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值。
解：222846446413223264y x y x xy xy xy x y x y x y ⎛⎫==+=++≥+=⎪⎝⎭。
当且仅当2812x y ==时，即 4.16x y ==，上式取“=”，故()min 64xy =。
例13 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值。
解：因为01x <<，所以10x ->。
所以()()414141159111x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+-+=++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭。
当且仅当()411x x x x -=-时，即23x =，上式取“=”，故min 9y =。
例14 若,,a b c R +∈，求证()22212a b c a b c b c c a a b ++≥+++++。
分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于,,a b c 的轮换对称式，当a b c ==时，等式成立。
此时22a ab c =+， 设()2a m b c +=，解得14m =，所以2a b c +应拼凑辅助式4b c+为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目。
证明：2222222,2,2444444a b c a b c b c a b c a c a b c a ba b c b c b c c a c a a b a b +++++++≥=+≥=+≥=++++++。
()22212a b c a b c b c c a a b ∴++≥+++++。
当且仅当a b c ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
六、 引入参数拼凑某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。
例15 已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求149x y z++的最小值。
解：设0λ>，故有()10x y z λ++-=。
()1491491491x y z x x x x y z x y z x y zλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=+++++-=+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλ≥=。
当且仅当149,,x y z x y zλλλ===同时成立时上述不等式取“=”，即x y z ===，代入1x y z ++=，解得36λ=，此时36λ=，故149x y z++的最小值为36。
七、 引入对偶式拼凑根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
例16 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数，求证31222221111123123n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+。
证明：记3122222123n n a a a a b n =+++⋅⋅⋅+，构造对偶式1231111nn d a a a a =+++⋅⋅⋅+， 则3122222123111111112123123n n n n a a a a b d a a a n a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++++⋅⋅⋅++≥+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当(),i a i i N i n +=∈≤时，等号成立。
又因为12,,,n a a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数， 所以1111123n d n ≤+++⋅⋅⋅+，因此1111123n b n≥+++⋅⋅⋅+。
评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。
八、 确立主元拼凑在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。
例17 在ABC ∆中，证明1cos cos cos 8A B C ≤。
分析：cos cos cos A B C 为轮换对称式，即,,A B C 的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。