阵,可以证明: A可以唯一分解为
,其中L
是下三角矩阵, 是L的转置, 即
A=
=L 。
由矩阵乘法可知,在对角元上 列均计算完后得
;在 时,
; 在第 ;
在1,2,…,j-1列均计算完后
计算是按L的第1列, 第2列,...,第n列的次序进行的。
计算流程如下:
,
(解 )
例3.用平方根法求解方程组
解:
,
,
且 则对矩阵A的LU分解能进行,且分解是唯一的。
3.追赶法的计算公式
利用矩阵乘法可得:
从而可以得到:
解
得:
解
得:
,
4.追赶法的计算流程
,
第一个循环称之为追的过程,相当于消元过程; 第二个循环称之为赶的过程,相当于回代过程。
总结
事实上，追赶法的求解过程就是将系数矩阵分 解两个简单的二对角线矩阵，从而归结为求解两 个简单三角形方程组的过程。
k 1
综合以上分析,有
a1 j u1 j j 1,2, , n
r
j r, ,n
arj lrkukj
k 1
r 2, ,n
ai1 li1u11
i 2,3, , n
r
air lik ukr k 1
i r 1, , n r 2, ,n 1
r 1
arj lrkukj 1 urj k 1
这相当于左乘初等行变换矩阵
,其中
,则
,则U是一个上三角矩阵,有
。其中
,
。记 。则
,
。记 L是下三角矩阵。这就是矩阵A的LU分解:A=LU。
3.
分解的充要条件
定理1:A能分解为 的充分必要条件是A的各
阶顺序主子式均不为零。即
,
,
。
4、LU分解的紧凑格式
我们不必在高斯消去法过程中产生L和U,而 是直接用矩阵A来进行LU分解。 下面导出计算公式 因A=LU则
追赶法的原理和高斯消去法相同，但考虑到 方程组的特点，计算时会把大量零元素撇开， 从而大大节省计算量。
也称Thomas法
20
例2:用追赶法求解 方程组
解:追的过程:
,
;
,
,
;
,
,
;
,
,
。
赶的过程:
,
,
,
。
定理1. (Cholesky分解) 设A为对称正定矩阵, 则一定存在一个主对角元全是 正数的下三角阵L, 使得
二、追赶法
1. 三对角矩阵:在实际问题中,经常会遇到如下 形式的方程组,
其系数矩阵为
没有写的部分均为零(下同),对角元为
后次
对角线上的元素为
,前次对角线上的元素为
。
我们称矩阵A为三对角矩阵,相应的方程组称三 对角方程组。如果对A进行LU分解,则将有如下形式:
并称它们为二对角矩阵。
定理3:设上述三对角矩阵A满足
,
则
解 得:
,
,
解 得:
,
,
平方根法不需要选主元(矩阵正定)约需 次乘法的工作量,是高斯消去法的一半(由对称性引 起),且具有算法稳定性,但其要进行n次开方运算。
解:第一步,A的LU分解
第二步,求解
解得:
,
第二步,求解
,
,。
解得:
,
,
,
。
矩阵的三种形式的分解:
➢ Doolittle分解: A = LU (单位下三角与上三角)
➢ Crout分解: A L~U~ (下三角与单位上三角)
➢ LDU分解: A = LDU (单位下三角, 对角及单位上三角)
A的Doolittle分解A LU中L为单位下三角阵U 为上三角阵，如果将A LU中的L表示为下三 角阵,U表示为单位上三角阵,则称之为Crout分 解,请找出类似于(1) ~ (4)式的表达式.
r 1
air lik ukr lirurr k 1
因此可以推导出
u1 j a1 j
li 1
ai 1 u11
j 1,2, , n
i 2,3, , n
U的第一行 ------(1) L的第一列 ------(2)
r 1
urj arj lrkukj k 1
r 2, ,n U的第r行 ------(3) j r, ,n
A LLT 且该分解式唯一。
这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解
a11
a1r
a1n
设 A ar1 arr arn
an1
anr
ann
l11
L lr1 lrr
ln1
lnr
lnn
aij a ji
22
三、解正定矩阵方程组的平方根法
如果方程组的系数矩阵A的对称正定矩
第
列均计算出来后
再计算U的第i行:
计算的过程是: U第1行,L第1列,U第2行,L第2列,……顺序计算。
1.计算流程
2.存储问题和全部流程
U可以存储在A的上三角部分,L可以存储在A的 下三角部分,对角元存U的对角元,A的对角元为1 而不必存储,如下图:
用LU分解来解线性方程组的全部流程如下:
例1:利用LU分解求解线性方程组
矩阵的三角分解
一、LU分解(Doolittle分解)
1. LU分解 用n=3来举例说明。三元方程组Ax=b的增广矩阵为
,用初等行变换变换为
这相当于将A矩阵左乘初等行变换矩阵
和
使M2M1[A b]=[A(1) b(1)],其中l21=a21/a11, l31=a31/a11
再将
进行初等行变换,得到
4、LU分解的紧凑格式
我们不必在高斯消去法过程中产生L和U,而 是直接用矩阵A来进行LU分解。 下面导出计算公式 因A=LU则
利用矩阵乘法,得
a1 j u1 j j 1, 2,..., n
aij
i 1
lik ukj
uij
i
2,3,..., n.i
i 2,3,..., n.i j
r 1
air likukr
lir
k 1
urr
r 2, ,n 1 i r 1, , n
L的第r列 ------(4)
称上述(1) ~ (4)式所表示的分解过程为Doolittle分解
由此可以得到
和
的计算公式:
先计算U的第一行
行和L的第 计算L的第j列:
。在U的第 列计算出来后再
在U的第
行和L的