第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边学习目标1.了解三角形的概念,会用符号语言表示三角形.2.通过具体的实践活动理解三角形三边的不等关系.学习过程一、自主学习问题1:观察下面的图片,你能找到哪些我们熟悉的图形?问题2:在小学,我们学过三角形,你了解三角形的哪些性质?二、深化探究探究1:观察三角形的构成,探索三角形的概念问题1:你能画出一个三角形吗?问题2:结合你画的三角形,说明三角形是由什么组成的?问题3:下面的几个图形都是由三条线段组成的,它们都是三角形吗?问题4:什么叫三角形?探究2:自主学习三角形的表示方法及分类阅读教材第2页到第3页探究前内容,回答下列问题.问题1:如图回答以下问题:(1)在三角形中,什么叫边?什么叫内角?什么叫顶点?(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点?(3)如何用符号表示三角形ABC?(4)如何用小写字母表示三角形ABC的三条边?问题2:如果将三角形分类,按照边的关系分可以分成几类?按照角的关系又如何分类呢?问题3:如图,找出图中的三角形,用符号表示出来,并指出AB,AD,CD分别是哪个三角形的边.探究3:通过观察实践,理解三角形三边关系问题1:任意画一个△ABC,假设有一只小虫从点B出发,沿三角形的边爬到点C,它有几条线路可以选择?各条线路的长一样吗?问题2:联系三角形的三边,从问题1中你可以得到怎样的结论?问题3:用三条长度分别为5,9,3的线段能组成一个三角形吗?为什么?三、练习巩固练习1:三角形是指()A.由三条线段所组成的封闭图形B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形练习2:图中有几个三角形?用符号表示这些三角形.练习3.有三根木棒的长度分别为3 cm,6 cm和4 cm,用这些木棒能否围成一个三角形?为什么?练习4:用一条长18 cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗?为什么?四、深化提高练习1:下面各组数中作为线段长不能构成三角形的一组是()A.0.2,0.6,0.7B.5k,7k,10k(k>0)C.m-a,m,m+a(m>a,m>0,a>0)D.22,22,33练习2:小明想要钉一个三边长都是整数的三角形,现在他只有两根分别长4 cm和5 cm的木条,那么第三根木条的长度可以是多少?(写出所有可能结果)练习3:平面上有四个点A,B,C,D,用它们作顶点可以组成几个三角形?参考答案一、自主学习问题1:三角形、四边形等.问题2:三条边;三个内角;具有稳定性;三角形的内角和是180°.二、深化探究探究1:问题1:能问题2:三角形是由三条线段组成的.问题3:只有第(1)个是三角形,其他的都不是.问题4:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.探究2:问题1:组成三角形的三条线段都叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点.三角形有三条边、三个内角、三个顶点.三角形ABC用符号表示为△ABC.△ABC的边AB为∠C所对的边,可以用顶点C的小写字母c表示,同样,边AC可用b表示,边BC可用a表示.问题2:三角形按照“有几条边相等”可以分为:三角形等边三角形等腰三角形不等边三角形也可以按照边的相等关系分为:三角形不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形按照角的关系可以分为:三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形问题3:图中共有三个三角形,分别是△ABC,△ABD,△ADC,其中AB既是△ABC的边,也是△ABD的边,AD既是△ABD的边,也是△ADC的边,CD是△ADC的边.探究3:问题1:小虫从点B出发沿三角形的边爬到点C有2条线路:(1)从B→C,即线段BC的长;(2)从B→A→C,即线段BA与线段AC长之和:BA+AC.经过测量可得BA+AC>BC,所以这两条线路的长不一样.根据“两点的所有连线中,线段最短”,说明BA+AC>BC.问题2:三角形两边的和大于第三边.问题3:用三条长度分别为5,9,3的线段不能组成一个三角形,因为5+3<9.三、练习巩固答案:1.C2.共有5个三角形.分别是:△ABC,△BCD,△BCE,△ABE,△CDE.3.能,因为3+4>6.4.解:(1)设底边长为x cm,则腰长2x cm.x+2x+2x=18,解得x=3.6.所以,三边长分别为3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm.(2)因为长4 cm的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论.如果长4 cm的边为底边,设腰长为x cm,则4+2x=18,解得x=7.如果长4 cm的边为腰,设底边长为x cm,则2×4+x=18,解得x=10.因为4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.由以上讨论可知,可以围成一边长是4 cm的等腰三角形.四、深化提高练习1:C练习2:解:第三根木条的长度可以是2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,7 cm,8 cm.练习3:解:由于题中并没有说明这四个点是否在同一条直线上,所以要分情况讨论.(1)四点共线时,不能组成三角形.(2)三点共线时,可以组成三个三角形.(3)任意三点都不共线时,可以组成四个三角形.第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.2 三角形的高、中线与角平分线学习目标1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.2.准确区分三角形的高、中线与角平分线.3.能够独立完成与三角形的高、中线和角平分线有关的计算.学习过程一、自主学习问题1:数一数,图中共有多少个三角形?请将它们全部用符号表示出来.问题2:利用长为3,5,6,9的四条线段可以组成几个三角形?为什么?问题3:利用△ABC的一条边长为4 cm,面积是24 cm2这两个条件,你能得出什么结论?二、深化探究探究1:通过作图探索三角形的高问题1:你能画出下列三角形的所有的高吗?问题2:根据画高的过程说明什么叫三角形的高?问题3:在这些三角形中你能画出几条高?它们有什么相同点和不同点?问题4:如图所示,如果AD是△ABC的高,你能得到哪些结论?探究2:类比探索三角形的高的过程探索三角形的中线问题1:如图,如果点C是线段AB的中点,你能得到什么结论?问题2:如图,如果点D是线段BC的中点,那么线段AD就称为△ABC的中线.类比三角形的高的概念,试说明什么叫三角形的中线?由三角形的中线能得到什么结论?问题3:画出下列三角形的所有的中线,并讨论说明三角形的中线有什么特点?问题4:如图所示,在△ABC中,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的高.试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系?为什么?问题5:通过问题4你能发现什么规律?探究3:通过类比的方法探究三角形的角平分线问题1:如图,若OC是∠AOB的平分线,你能得到什么结论?问题2:如图,在△ABC中,如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D,我们就称AD是△ABC的角平分线.类比探索三角形的高和中线的过程,你能得到哪些结论?三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?为什么?三、练习巩固练习1:如图,在△ABC中画出这个三角形的高BD,中线CE和角平分线BF.练习2:如图,已知AD,BE,CF都是△ABC的中线,则AE==1,BC=2,AF=.练习3:如图,已知AD,BE,CF都是△ABC的角平分线,则∠1=1,∠ ==1,∠ABC=2.练习4:如图,在△ABC中,AC=12 cm,BC=18 cm,△ABC的高AD与BE的比是多少?四、深化提高练习1:如图,在直角三角形中,AC⊥BC,AC=8,BC=6,AB=10,求顶点C到边AB的高.练习2:如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC,DF∥AB.试判断∠3和∠4的关系,并说明理由.练习3:利用所学知识将三角形分成面积相等的四部分.(至少画出4种)参考答案一、自主学习问题1:图中共有5个三角形.它们分别是:△ABC,△ABD,△ACD,△ADE,△CDE.问题2:可以组成2个三角形.从四条线段中任选三条组成三角形,共有四种选法:①3,5,6,②3,5,9,③3,6,9,④5,6,9,其中,满足“三角形两边之和大于第三边”的只有第①,④这两组.问题3:能够求出△ABC的高是12 cm.二、深化探究探究1:通过作图探索三角形的高问题1:能,图略.问题2:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,连接顶点和垂足之间的线段称为三角形的高.问题3:每个三角形都能画出三条高.相同点是:三角形的三条高交于同一点.不同点是:锐角三角形的高交于三角形内一点,直角三角形的高交于直角的顶点,钝角三角形的高交于三角形外一点.问题4:如果AD是△ABC的高,则有:AD⊥BC于点D,∠ADB=∠ADC=90°.探究2:问题1:AC=BC=1AB.问题2:三角形中连接一个顶点和它对边中的线段称为三角形的中线.如果线段AD是△ABC的中线,那么BD=CD=1BC.问题3:无论哪种三角形,它们都有三条中线,并且这三条中线都会交于一点,这一点都在三角形的内部.问题4:△ABD和△ACD的面积相等.理由:∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.∵AE既是△ABD的高,也是△ACD的高,∴S△ABD=1BD·AE=1CD·AE=S△ACD.∴△ABD和△ACD的面积相等.问题5:三角形的中线将三角形的面积平均分成两份.探究3:问题1:∠AOC=∠BOC=1∠AOB.问题2:三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段称为三角形的角平分线.三角形有三条角平分线,并且这三条角平分线在三角形内交于一点.如果AD是△ABC的角平分线,那么就有∠BAD=∠CAD=1∠BAC.三角形的角平分线与一个角的角平分线不一样,三角形的角平分线是一条线段,有长度,而角的平分线是一条射线,没有长度.三、练习巩固练习1:图略练习2:CE AC BD或CD BF练习3:∠BAC∠3∠ACB∠4或∠ABE练习4:解:由三角形的面积公式得S△ABC=1BC·AD=1AC·BE,所以有1×18×AD=1×12×BE,解得AD∶BE=2∶3.四、深化提高练习1:解:设顶点C到边AB的高为h,由三角形的面积公式可得S△ABC=1AC·BC=1AB·h,所以有1×6×8=1×10h,解得h=4.8.所以顶点C到边AB的高为4.8.练习2:解:∠3=∠4.理由:∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠ .又∵DE∥AC,DF∥AB,∴∠1=∠4,∠ =∠3.∴∠3=∠4.练习3:利用三角形中线的性质可得第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.3 三角形的稳定性学习目标1.通过观察和实际操作得到三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性.2.体会稳定性与不稳定性在生产、生活中的应用.学习过程一、自主学习问题1:如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE=CE,AF是角平分线.那么△ABC的三边有什么关系?根据上述条件,你还能得到什么结论?问题2:在我们的生产和生活中哪里用到了三角形?二、深化探究探究1:通过实际操作探索三角形的稳定性问题1:如图,在盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条.为什么要这样做?问题2:将三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?问题3:将四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?问题4:在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗?问题5:经过以上三次实验,你发现了什么规律?探究2:通过生活中的实例感受数学知识在生产和生活中的应用问题1:三角形的稳定性在我们的生产和生活中有哪些应用?问题2:四边形的不稳定性在我们的生产和生活中有哪些应用?三、练习巩固练习:下列图形中哪些具有稳定性?四、深化提高练习:要使四边形木架不变形,至少要再钉上几根木条?五边形木架和六边形木架呢?参考答案一、自主学习问题1:△ABC两边之和大于第三边,还可以得到AD是三角形BC边上的高,AE是三角形BC边上的中线,∠BAF=∠CAF,S△ABE=S△ACE等.问题2:房屋的人字梁、大桥钢架、索道支架、建筑用的三脚架等.二、深化探究探究1:问题1:讨论后,得出各种结论.问题2:动手操作,通过实验得出结论:它的形状不会改变.问题3:动手操作,通过实验得出结论:它的形状会改变.问题4:动手操作,通过实验得出结论:它的形状不会改变.问题5:可以发现,三角形不会变形,即三角形具有稳定性,而四边形不具有稳定性.探究2:问题1:桥梁、起重机、自行车架等.问题2:衣服挂架、放缩尺等.三、练习巩固(1)(4)(6)中的图形具有稳定性.四、深化提高第十一章三角形11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角学习目标1.了解三角形的内角,会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.2.了解辅助线的作用,能准确、规范地利用辅助线进行证明.3.规范推理过程,能够独立完成简单的证明过程.学习过程一、自主学习问题1:如图,在△ABC中,∠A+∠B+∠C等于多少度?问题2:这个结论你是如何得出的?问题3:利用这些方法得出的结论准确吗?二、深化探究探究1:观察三角形的构成,探索三角形的概念问题1:如何用剪拼的方法验证△ABC的内角和等于180°?问题2:在图①、图②中,直线l有什么特点,它存在吗?图①或图②问题3:这种原图形中不存在,我们为了解题需要而自己加上的线被称之为辅助线.利用图①,你能想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗?问题4:利用图①证明三角形内角和定理“三角形内角和等于180°”.问题5:你能利用图②证明“三角形内角和等于180°”吗?探究2:利用所学知识解决基础问题问题1:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?问题2:对于上面的问题,你还能想出其他的解法吗?三、练习巩固练习1:说出下列各图中x的值.练习2:下列各组角中哪三个角是同一个三角形的内角?(1)70°,60°,30°,80°;( )110°, 0°,50°,40°;(3)5 °,3 °,58°,90°;(4)36°,108°,36°,7 °.练习3:如图,从A处观测C处时仰角∠CAD=30°,从B处观测C处时仰角∠CBD=45°,从C处观测A,B两处时视角∠ACB是多少度?四、深化提高练习1:思考:(1)一个三角形最多有几个直角,为什么?(2)一个三角形最多有几个钝角,为什么?(3)一个三角形至少有几个锐角,为什么?练习2:已知等腰三角形的两个底角相等,则:(1)如果顶角为80°,那么它的一个底角等于多少度?(2)如果它的一个角为80°,那么它的一个底角等于多少度?练习3:如图,已知∠1=15°,∠ =30°,∠A=50°,求∠BDC的度数.参考答案一、自主学习问题1:∠A+∠B+∠C=180°.问题2:将三角形的每个内角剪下,拼成一个平角,或者用量角器进行测量.问题3:不准确(或准确).二、深化探究探究1:问题1:将△ABC的三个内角分别剪下,再拼成一个平角.如图①、图②.图①或图②问题2:直线l∥BC,直线l不存在,是我们自己画上的.问题3:利用平行的性质和平角的定义可以证明.问题4:已知:△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:如图,过点A作直线l,使l∥BC.∵l∥BC,∴∠ =∠4(两直线平行,内错角相等).同理,∠3=∠5.∵∠1,∠4,∠5组成平角,∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义).∴∠1+∠ +∠3=180°(等量代换),即∠BAC+∠B+∠C=180°.问题5:已知:△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:如图,延长BC,过点C作直线l,使l∥AB.∵l∥AB,∴∠1=∠4(两直线平行,内错角相等),∠ =∠5(两直线平行,同位角相等).∵∠3,∠4,∠5组成平角,∴∠3+∠4+∠5=180°(平角定义).∴∠3+∠1+∠ =180°(等量代换),即∠A+∠B+∠BCA=180°.探究2:问题1:解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.∵AD∥BE,∴∠BAD+∠ABE=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.∴在△ABC中,∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答:从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.问题2:解:过点C作CF∥AD.∵CF∥AD,∴∠ACF=∠DAC=50°(两直线平行,内错角相等).∵CF∥BE,∴∠BCF=∠CBE=40°(两直线平行,内错角相等).∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°.答:从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.三、练习巩固练习1:解:图中的x值分别是70,60,30,50.练习2:解:由三角形内角和等于180°可以知道,各组中同一个三角形的内角分别如下:(1)70°,30°,80°;( )110°, 0°,50°;(3)3 °,58°,90°;(4)36°,36°,7 °.练习3:解:由三角形内角和等于180°可以知道,在△ACD中,∠ACD=60°,在△BCD 中,∠BCD=45°.所以∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°.四、深化提高练习1:解:(1)一个三角形最多有一个直角.如果一个三角形有两个角是直角,那么三角形的内角和大于180°.这个结果与三角形内角和等于180°矛盾,所以一个三角形最多有一个直角.(2)一个三角形最多有一个钝角.如果一个三角形有两个角是钝角,那么三角形的内角和大于180°.这个结果与三角形内角和等于180°矛盾,所以一个三角形最多有一个钝角.(3)一个三角形至少有两个锐角.如果一个三角形只有一个角是锐角,那么三角形的另外两个角的和一定大于90°且小于180°.将大于90°且小于180°的角分成两个角的话,必定有一个角小于90°,所以一个三角形至少有两个锐角.练习2:解:(1)50°;( )如果80°角是等腰三角形的顶角,那么底角是50°,如果80°角是等腰三角形的底角,那么底角就是80°.练习3:解:由三角形内角和等于180°可知,∠ABC+∠ACB=130°,而∠1+∠ =45°,所以∠DBC+∠DCB=130°-45°=95°,所以∠BDC=105°.第十一章三角形11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角学习目标1.了解三角形外角的概念.2.探索并证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.3.运用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解决简单问题.学习过程一、自主学习问题1:如图,已知BD∥CE,∠A=45°,∠C=65°,求∠1和∠ 的度数.问题2:在问题1中,∠ 被称为三角形的外角,根据∠ 的构成,你能说明什么叫三角形的外角吗?二、深化探究探究1:根据定义探索三角形外角的个数问题1:根据定义,画出三角形的外角.你能画出多少个?问题2:这几个角有什么关系?(位置关系和数量关系)探究2:手脑并用探索三角形外角的性质及外角和问题1:如图,在△ABC中,∠ABC=65°,∠ACB=40°,求∠BAC的度数及三角形的外角∠1,∠ ,∠3的度数.问题2:观察你的结论,你能发现三角形的三个内角与它的外角有什么关系吗?三个外角又有什么关系?问题3:试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.问题4:试证明三角形的外角和等于360°.三、练习巩固练习1:说出下列各图中∠1和∠ 的度数.(1)(2)练习2:如图,∠BDC是的外角,∠BDC=+,∠EFC是的外角,∠EFC=+,∠BFC是的外角,∠BFC=+,∠BFC>.练习3:如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E,证明∠BAC>∠B.练习4:如图,点D是△ABC内的一点,连接BD和CD,证明∠BDC>∠A.四、深化提高练习1:如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P.试证明∠P=90°+1∠A.练习2:如图,在上题中,如果CP是△ABC外角∠ACD的平分线,那么∠P与∠A有什么关系?试证明你的结论.练习3:如图,在上题中,如果BP,CP分别是∠CBD与∠BCE的平分线,那么∠P与∠A 有什么关系?试证明你的结论.参考答案一、自主学习问题1:由BD∥CE可知,∠1=∠C=65°,由三角形内角和等于180°可知,∠ 的邻补角等于70°,所以∠ =110°.问题2:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.二、深化探究探究1:问题1:如图,可以画出6个外角.问题 :∠1和∠ 是对顶角,∠3和∠4是对顶角,∠5和∠6是对顶角,所以有∠1=∠ ,∠3=∠4,∠5=∠6.探究2:问题1:∠BAC=75°,∠1=105°,∠ =115°,∠3=140°.问题2:①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;②三角形的外角和等于360°.问题3:已知:在△ABC中,∠1是三角形的一个外角.求证:∠1=∠A+∠B.证明:∵∠ACB+∠A+∠B=180°,(三角形的内角和等于180°)∴∠ACB=180°-∠A-∠B.∵∠1与∠ACB是邻补角,∴∠1+∠ACB=180°.∴∠1=180°-∠ACB=180°-(180°-∠A-∠B)=∠A+∠B.问题4:已知:在△ABC中,∠1,∠ ,∠3都是三角形的外角.求证:∠1+∠ +∠3=360°.证明:∵∠1,∠ ,∠3都是三角形的外角,∴∠1=∠ABC+∠ACB.(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)同理,∠ =∠BAC+∠ACB,∠3=∠BAC+∠ABC.∴∠1+∠ +∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC= (∠BAC+∠ABC+∠ACB).∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,(三角形的内角和等于180°)∴∠1+∠ +∠3=2×180°=360°.三、练习巩固练习1:(1)∠1=40°,∠ =140°;( )∠1=80°,∠ =40°.练习 :△ACD∠A∠ACD△BCF∠BCF∠FBC△BDF(△CEF)∠BDF(∠CEF)∠DBF(∠ECF)∠BDF(∠CEF…)练习3:证明:∵CE是∠ACD的平分线,∴∠ACE=∠DCE.(角平分线定义)∵∠DCE是△BCE的外角,∴∠DCE>∠B.(三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角)∴∠ACE>∠B.(等量代换)∵∠BAC是△ACE的外角,∴∠BAC>∠ACE.(三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角)∴∠BAC>∠B.练习4:证明:延长BD交AC于点E.∵∠BEC是△ABE的外角,∠BDC是△CDE的外角,∴∠BEC>∠A,∠BDC>∠BEC.(三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角)∴∠BDC>∠A.四、深化提高练习1:证明:∵BP,CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线,∴∠PBC=1∠ABC,∠PCB=1∠ACB.(角平分线定义)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠P+∠PBC+∠PCB=180°,(三角形的内角和等于180°)∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠P=180°-(∠PBC+∠PCB).∴∠P=180°-1(∠ABC+∠ACB)=180°-1(180°-∠A)=90°+1∠A.(等量代换) 练习2:解:∠P=1∠A.理由:∵BP,CP分别是∠ABC与∠ACD的平分线,∴∠PBC=1∠ABC,∠PCD=1∠ACD.(角平分线定义)∵∠PCD是△PBC的外角,∠ACD是△ABC的外角,∴∠PCD=∠P+∠PBC,∠ACD=∠A+∠ABC.(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴∠P=∠PCD-∠PBC,∠ABC=∠ACD-∠A.∴∠P=1∠ACD-1∠ABC=1(∠ACD-∠ABC)=1[∠ACD-(∠ACD-∠A)]=1∠A.(等量代换)练习3:解:∠P=90°-1∠A.理由:∵BP,CP分别是∠CBD与∠BCE的平分线,∴∠PBC=1∠CBD,∠PCB=1∠BCE.(角平分线定义)∵∠CBD与∠BCE都是△ABC的外角,∴∠CBD=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠P+∠PBC+∠PCB=180°,(三角形的内角和等于180°)∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB),∠ABC+∠ACB=180°-∠A.∴∠P=180°-1(∠CBD+∠BCE)=180°-1[(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC)]=180°-1[ ∠A+(∠ACB+∠ABC)]=180°-1[ ∠A+(180°-∠A)]=180°-1(180°+∠A)=90°-1∠A.(等量代换)第十一章三角形11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形学习目标1.了解多边形的有关概念.2.了解正多边形的基本性质.学习过程一、自主学习问题:观察下面的图片,你能找到哪些我们熟悉的图形?二、深化探究探究1:观察多边形的构成,类比三角形的有关概念探索多边形的有关概念问题1:观察画多边形的过程,类比三角形的概念,你能说出什么是多边形吗?问题2:观察这个多边形,为什么有一条边是虚线?问题3:根据图示,类比三角形的有关概念,说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角和对角线.问题4:三角形有对角线吗?为什么?问题5:回想三角形的表示方法,多边形应如何表示?问题6:如图所示,观察两个图形,找出相同点和不同点.探究2:自主探索正多边形的概念及基本性质问题1:观察下列图形,它们的边、角有什么特点?问题2:像这样的多边形我们称为正多边形.请用自己的语言说明什么是正多边形?问题3:下面的叙述是否正确?(正确的请说明理由,错误的请举出反例.)(1)各个角都相等的多边形叫做正多边形.(2)各条边都相等的多边形叫做正多边形.问题4:由定义可知,正多边形有什么性质?三、练习巩固练习1:判断题.(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形.()(2)由不在一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形.()(3)由不在一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形,且其中任何一条线段所在的直线使整个图形都在这条直线的同一侧,叫做四边形.()(4)在同一平面内,由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫四边形.()练习2:填空题.(1)连接多边形的线段,叫做多边形的对角线.(2)多边形的任何所在的直线,整个多边形都在这条直线的,这样的多边形叫凸多边形.(3)各个角,各条边的多边形,叫正多边形.(4)一个n边形有条边,个顶点,个内角,个外角.练习3:画出下列多边形的全部对角线.四、深化提高练习1:从一个顶点出发,四边形可以画1条对角线,将四边形分成2个三角形;五边形可以画条对角线,将五边形分成个三角形;六边形可以画条对角线,将六边形分成个三角形……n边形可以画条对角线,将n边形分成个三角形.练习2:填表:参考答案一、自主学习问题:三角形、长方形、正方形、平行四边形、五边形、六边形、八边形等.二、深化探究探究1:问题1:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫多边形.问题2:虚线代表的是“不止一条边”,所以这个图形不仅可以代表七边形,也可以代表八边形、九边形等任意一个多边形.问题3:组成多边形的线段叫做多边形的边;相邻两边的交点叫做多边形的顶点;相邻两边的夹角叫做多边形的内角;多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角;连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.问题4:三角形没有对角线,因为三角形只有三个顶点,而这三个顶点是两两相邻的,它没有不相邻的顶点,所以没有对角线.问题5:首先给每一个顶点标上一个大写字母,然后写出这个图形是几边形,最后再以一个字母为起点,沿顺时针或逆时针方向将字母按顺序写出.如:四边形ABCD,五边形ABCDE,n边形A1A2A3…A n等.问题6:相同点是这两个图形都有五条边,都是五边形.不同点是左边图形有一个内角大于180°,而右边图形的每个内角都小于180°.探究2:问题1:它们的边都相等,它们的角也都相等.问题2:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.问题3:这两种说法都不正确.反例:(1)长方形的各个角都相等,但不是正四边形.(2)菱形的各条边都相等,但不是正四边形.问题4:正多边形的各个角都相等,各条边都相等.三、练习巩固练习1:(1)×(2)×(3)×(4)√练习2:(1)不相邻的两个顶点(2)一条边同一侧(3)都相等都相等(4)n n n n练习3:四、深化提高练习1:2334(n-3)(n-2)练习2:。