导数的应用及定积分(一)导数及其应用1.函数y = f(x)在X =X O 处的瞬时变化率是Iim £X = Iim f x0十 ；_凶•我们称它为函数 y Δx →0 Δx → 0=f(x)在 X = X o 处的导数，记作 f ' (X o )或 y ' IX = X O ,即 f ' (x o ) = Iim £y = Iim_L X ^。

Δx → 0Δx →02•导数的几何意义函数y = f(x)在X = x 0处的导数，就是曲线y = f(x)在X = x 0处的切线的斜率，即k = f ' (x 0)3•函数的导数对于函数y = f(x),当X = X o 时，f ' (X o )是一个确定的数.当 X 变化时，f ' (x)便是一个关于X 的函数，我们称它为函数y = f(x)的导函数(简称为导数)，即f '(X )= y ' = IimΔx → 0f χo + Δx — f X oΔ4. 函数y = f(x)在点x o 处的导数f ' (x o )就是导函数f '(X )在点X = x o 处的函数值, 即 f ' (x o ) = f ' (x)|x = x o 。

5. 常见函数的导数(X n )' = .(1)'= = .(sinx)' = .(cosx)' =(a x )'= _____________ .(e x)'= _____________ .(IOg a X)' = ___________ .(Inx)'= ______________(1) 设函数f(x)、g(x)是可导函数，则:(f(x) ±(x))'= ____________________ ; (f(x) g(x))' = _____________________ (3)复合函数 y = f(g(x))的导数和函数y = f(u) , U = g(x)的导数间的关系为U χ'.即y 对X 的导数等于y 对U 的导数与U 对X 的导数的乘积. 6. 函数的单调性设函数y = f(x)在区间(a , b)内可导,(1) 如果在区间(a , b)内，f ' (x)>(则f(x)在此区间单调 ______________ ; ⑵如果在区间(a , b)内，f ' (x)<(则f(x)在此区间内单调 ________________ .(2) 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________ ,其图象比较 _____________ .7. 函数的极值一般地，已知函数 y = f(x)及其定义域内一点X o ,对于包含X o 在内的开区间内的所有点X ,如果都有 _________ ,则称函数f(x)在点X 0处取得 ____________ ,并把X o 称为函数f(x)的一个IimΔx → of X o + Δx — f X o Δx • (2)设函数f(x)、g(x)是可导函数，且 yx '=y u;如果都有,则称函数f(x)在点X o处取得,并把X o称为函数f(x) 的一个.极大值与极小值统称为,极大值点与极小值点统称为.&函数的最值假设函数y= f(x)在闭区间［a, b］上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在［a, b］上一定能够取得____________ 与_____________ ,若该函数在(a, b)内是_____________ ,该函数的最值必在极值点或区间端点取得.9•生活中的实际优化问题(1)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中____________ 的取值范围.(2) ________________________________________________________ 实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是_________________________________________点.(二)定积分1•曲边梯形的面积(1) 曲边梯形：由直线X = a、X = b(a ≠ b)y = 0和曲线________ 所围成的图形称为曲边梯形.(2) 求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间［a, b］分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 ________________ ;②近似代替：对每个小曲边梯形“___________ ”即用 _________ 的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的 ___________ ;③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值 _____________;④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________ ,即为曲边梯形的面积.2. 求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为V= v(t),那么也可以采用______________ 、________ 、________ 、_________ 的方法，求出它在a≤t ≤内所作的位移s.3. 定积分的概念如果函数f(x)在区间［a, b］上连续，用分点 a = x0<x1<…<x「ι<χi<∙∙∙ <χn= b将区间［a, b］n等分成n个小区间，在每个小区间［X i-1, X i］上任取一点ξ(i = 1,2,…,n),作和式S n八f( ξ) Δ= ______________ (其中Δx为小区间长度)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个b b常数叫做函数f(x)在区间［a, b］上的__________ ,记作.f(χ)dx,即.fXX = _____________________ .a a这里，a与b分别叫做___________ 与________ ,区间［a, b］叫做________,函数f(x)叫做_______ , X 叫做 __________ , f(x)dx 叫做 _________4 •定积分的几何意义b如果在区间[a , b]上函数f(x)连续且恒有 ________________ ,那么定积分 & f (x)dx 表示由 _______________________ ，y = 0和 ______________ 所围成的曲边梯形的面积.5. 定积分的性质b① akf(x)dx = _____________________ (k 为常数)；b②a[f 1(x) ±f 2(x)]dx = ------------------- ;6. 微积分(1)微积分基本定理b如果F(X)是区间[a , b]上的 ___________ 函数，并且F '(x) = ___________ ,那么 f(χ)dx =L a(2) 用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ' (X) = f(x)的函数F(x),即找被积函数的 ________ ,利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(X).(3) 被积函数的原函数有很多，即若 _____ F(X)是被积函数f(x)的一个,那么F(X)+ C(C 为常数)也是被积函数f(x)的 ____________ .但是在实际运算时，不论如何选择常数C(或b者是忽略C)都没有关系，事实上，以F(X) + C 代替式中的F(X)有 f(χ)dx = [F(b) + C] - [F(a) L a + C] = F(b) — F (a).(4) ___________________________________________ 求定积分的方法主要有：①利用定积分的 ___________________________________________________ :②利用定积分的 ____________ ③利用 ________________ 。

(5) 常用公式b b①.CdX = CXI a (C 为常数)；aCOSXdX = Sin x|a ；a b X I- XJ _a_ bFaa dX = l na ∣a (a>0 且 a ≠ 1).练习题:b C③ f (x)dx = f (x)dx +aL a______________ (其中 a<c<b).-P n I1 n +1 b② a x dx = X ∣a (n ≠1)；IdX=Inx ∣b (b>a>O); Xbb④ a si nxdx =- COSX|a ； b .⑥ exdx = e x ∣b ；1.若直线y =-x + b 为函数y = X 的图象的切线，求 b 及切点坐标.X22 •曲线y = 3x 2在点(3,6)处的切线与 X 轴、直线 X = 2所围成的三角形的面积为3. 设 y =澀X ，- π<<π 当 y =2时，X = -------------------------------------------------4. 求下列函数的导数. 1 2②y = X(X - I)③y = ^+ 2 +X X5. 已知曲线f(x) = X 3+ ax + b 在点P(2, - 6)处的切线方程是 13x - y - 32= 0. (1)求a , b 的值；一 1 一 ⑵如果曲线y = f(x)的某一切线与直线I : y =- 4X + 3垂直，求切点坐标与切线的方程.① y = X 2si nx④y = X tanx ⑤y = InSin X X⑥y =詰—⑦y = Sin 次1-玄畸］a6. 设函数f(x) = ax ——2ln x. X(1) f ,(2) = 0,求函数f(x)的单调区间；(2) 若f( x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.3 2 27. 已知f(x) = X + 3ax + bx+ a在X =—1时有极值0,求常数a、b的值._ 3 2 2& 设函数 f(x) = X + ax — a x + m(a>O). (1)求函数f(x)的单调区间；⑵ 若函数f(x)在X ∈ ［ —1,1］内没有极值点，求 a 的取值范围;⑶若对任意的a ∈ ［3,6］，不等式f(x) ≤ 1在X ∈ ［ — 2,2］上恒成立，求m 的取值范围.(1)若f(x)在£, +∞ )上存在单调递增区间，求a 的取值范围;⑵当0<a<2时，f(x)在［1,4］上的最小值为一 晋，求f(x)在该区间上的最大值.9 .设 f(x)= — 1 3 3x1 2+ 2x + 2ax.10.某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间1的关系为P= 24200 —-X2,且生产X吨的成本为R= 50000+ 200x元.问该产品每月生产多5少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入一成本）.11•计算(9 —X2—x3)dx 的值;πI x(1 + x)dx(3) 2. cos 1 2χdx (4)^613.求直线y = 4x 与曲线y = X 3在第一象限内围成的封闭图形的面积.6题：(1)由已知得x>0 ,故函数f(x)的定义域为(0,+∞ ). ∙.∙ F (X)= a + ^a >— 2 ,.•• f ' (2) = a + a — 1 = 0, — a = 4 X X 4 ' 5'44 2 22Λ f (X)=4+ 542-X =5?4- 5x + 2)，1 1令 f ' (x)>0 ,得 0<x<2或 x>2 ,令 f ' (x)<0,得 2<χ<2,1 1•••函数f(x)的单调递增区间为(0, 2), (2, +∞ ),单调递减区间为2).12.求下列定积分:2x — X dx(2) 42 IX —X |dx.a 2⑵若f(x)在定义域上是增函数，则f ' (X) ≥0对x>0恒成立，因为f ' (X)= a + X 2-X2ax — 2x + a 2X 2 ,所以需x>0时ax 3- 2x + a ≥ 0恒成立, X2x即a ≥严对x >0恒成立.因为=Z ≤ 1 ,当且仅当X = 1时取等号，所以a ≥ 1.X + 1 1x + X._27题：因为f (X )在X =- 1时有极值0,且f '(X ) = 3x + 6ax + b .a = 2,或*b = 9当 a = 1, b = 3 时，f ‘ (=3x 2+ 6x + 3= 3(x + 1)2 ≥0 所以f(X)在R 上为增函数，无极值，故舍去； 当 a = 2, b = 9 时，f ' (=)3X 2+ 12X+ 9 = 3(X+ 1)(X+ 3).当X ∈ [ — 3, - 1]时，f(x)为减函数; 当X ∈ [ - 1，+∞时，f(x)为增函数, 所以f(x)在X =- 1时取得极小值.因此a = 2,b = 9.22a8题：(1) V f ' (x ) = 3x + 2ax - a = 3(x --)( x + a ),3又 a >0,.∙∙当 x <-a 或 x >a 时，f ' (x )>0 ;当一a <x <3时，f ' (x )<0.3 3a a•••函数f (x )的单调递增区间为(一∞,- a ) , (-,+∞ ),单调递减区间为(一a , 3). (2) 由题设可知，方程 f ' (X ) = 3x 2+ 2ax - a 2= 0在[—1, 1]上没有实根，If ' ( - 1)<0 ,3 - 2a - a 2<0,• C l. V• • 1,• •2f (1)<0 , 3 + 2a - a <0,V a>0,∙∙∙ a>3.a(3) V a ∈ [3,6] ,∙ 3∈ [1,2] , - a ≤- 3,a a又 X ∈ [ - 2,2] ,•当 x ∈ [ - 2, 3 时，f ' (x )<0 , f (x )单调递减，当 x ∈ (3, 2]时,f (X )单调递增，故f (x )的最大值为f (2)或f ( - 2).2 23即m ≤9— 4a — 2a ,在a ∈ [3,6]上恒成立，所以 f' (- I) = 0 ,即 f ( - 1) = 03-6a + b = 02-1 + 3a - b + a = 0解得a = 1b = 3而f(2) -f( -2) = 16-4a<0, f(x)max = f( - 2) =- 8 + 4a+ 2a + m又V f(x) ≤1在[—2,2]上恒成立，2∙—8+ 4a + 2a + IT≤1,∙∙∙ 9 —4a —2a2的最小值为一87,∙°∙ πr≤ — 87.1 19题：⑴由f ' (X) = —X2+ x+ 2a=—(X —㊁)2+ 4+ 2a,2 2 2 2 1当X ∈［3, +∞)时，f '(x)的最大值为f '(劲=©+ 2a；令9 + 2a>0,得a>—©,所以, 当a> —*时，f(X)在(∣,+∞ )上存在单调递增区间.(2)令f '(X)= 0,得两根1 - J^J I + 8a 1 + 寸1 + 8aX1= 2 , X2=所以f(X)在( 一∞, X1), (X2, + ∞)上单调递减，在(X1, X2)上单调递增.因为0<a<2,所以X1<1<X2<4,所以f(x)在［1,4］上的最大值为f(X2).27又f ⑷—f (1) =—2 + 6a<0 ,所以f(4)< f(1),所以f (X)在［1,4］上的最小值为f(4) = 8a—40=—罟,得a= 1 , X2= 2 ,从而f (x)在［1,4］上的最大值为f(2)=詈10题：每月生产X吨时的利润为f(X) = (24200 —5X2) X —(50000 + 200X) = —15X3+ 24000X —50000 ( X≥0).5 53 2由f ' (X) =—5x2+ 24000= 0,解得X1= 200, X2=—200(舍去).因f (X)在［O ,+∞ )内只有一个点X= 200使f '(X)= 0,故它就是最大值点，且最大1 3值为：f (200) =— 5 × 200 + 24000 × 200 —50000 = 3150000(元)答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.2∏× 3 9 π2 = 2 ,11题由定积分的几何意义得3A x3d x= 0 ,由定积分性质得:(,9—x2—X I)dx = : . 9—x2d x—:x3d x=乎.13题：(1)如图所示由y=4x,y = X . 解得I X=2,Iy= 8,X =—2, 或IX =—8.1112•••第一象限的交点坐标为（2,8） 由定积分的几何意义得，4X 2)∣ O = 8— 4 = 4. 42 3 2S =Q (4x — x )d x = (2 X。