Ch07 间接平差__例题例 平差原理在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。

求此三角形各内角的最或然值。

若能选取两个内角L 1、L 2的平差值【最或然值】作为参数1ˆX 、2ˆX ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+=+=+180ˆˆˆˆ2133222111X X v L X v L X v L 称为观测方程 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=-=-=3213222111180ˆˆˆˆL X X v L X v L X v 称为误差方程为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令i ii x X X ˆˆ0+= x X X ˆˆ0+=，则上式可写成如下形式： ⎪⎩⎪⎨⎧-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ020132130222201111X X L x x v X L x v X L x v 称为误差方程 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111001B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=18002013022011X X L X L X L l ，l x B V -=ˆ 也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。

单纯为消除矛盾，1v 、2v 、3v 可有多组解，为此引入最小二乘原则：231][i i v vv ∑==min =PV V T 可求得唯一解。

因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。

对上述三角形，引入最小二乘原则，要求： 231][i i v vv ∑==min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有：min)]180(ˆˆ[)](ˆ[)](ˆ[][202013212022220111231=-++---+--+--==∑=X X L x x X L x X L x v vv i i min =PV V T按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++------=∂∂=-++------=∂∂0)]180(ˆˆ[2)](ˆ[2ˆ][0)]180(ˆˆ[2)](ˆ[2ˆ][020132102122020132101111X X L x x X L x x vv X X L x x X L x xvv 0=V B T=>⎩⎨⎧=-+-+++=-+-+++)2(01802ˆ2ˆ)1(01802ˆˆ23202012131020121L L X X x x L L X X x x 0=-l B Bx B T T（2）×2-(1)=>018023ˆ3321022=-+-++L L L X x=>60313231ˆˆ3212022+-+-==+L L L X X x =>60313132ˆˆ3211011+--==+L L L X X x l B B B x T T 1)(-=， l xB V -=ˆ 代入误差方程式，得到观测值的平差值【最或然值】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++--=+--+-=+--=60323131ˆ60313231ˆ60313132ˆ321332123211L L L L L L L L L L L L V L L +=ˆ例 水准网如图所示的水准网中，A 、B 、C 为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： 1h = +1.003m ， 2h =+0.501m ， 3h = +0.503m ， 4h = +0.505m ； 1S =1km ， 2S =2km ， 3S =2km ， 4S =1km 。

已知 A H =11.000m ，B H =11.500m ，C H =12.008m ，试用间接平差法求 1P 及 2P 点的高程平差值。

图解：（1）按题意知必要观测数 t =2，选取 1P 、 2P 两点高程 1ˆX 、 2ˆX 为参数，取未知参数的近似值为 )(003.12101m h H X A =+=、 )(511.12302m h H X C =+=，令2km 观测为单位权观测，则2,1,1,24321====P P P P 。

（2）根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下)(ˆ)(ˆ)(ˆˆ)(ˆ01414023230102221201111B C A H X h xv H X h x v X X h x x v H X h xv +--=+--=+--+-=+--=代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有2ˆ0ˆ)7(ˆˆ0ˆ142321211-=-=--+-=-=x v x v x x v xv可得 B 、 P 和 l 矩阵如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01101101B 、 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000010000100002P 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2070l （3）依据最小二乘原理，由误差方程系数 B 和自由项 l 组成法方程 0ˆ=-Pl B xPB B T T得 0711ˆˆ211521=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--xx解算法方程，求出参数 xˆ )(7.27.17115112917112115ˆˆ121mm x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （4）计算参数的平差值 x X Xˆˆ0+=； )(5083.120047.12)(7.27.1)(511.12003.12ˆˆˆˆ21020121m mm m x x X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡（5）由误差方程计算 V ，求出观测量平差值 V h h +=∧；)(5047.05003.05037.00047.1)(3.07.27.27.1)(505.0503.0501.0003.1ˆˆˆˆ432143214321m mm m v v v v h h h h h h h h ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡例 导线网平差如图4-7所示，A 、B 、C 为已知点，P 1、P 2是待定点。

同精度观测了六个角度1L 、2L 、…、6L ，测角中误差为±2.5″，测量了四条边长7s 、8s 、9s 、10s ，观测结果及其中误差见表4-2。

起算数据见表4-1。

试按间接平差法求待定点P 1及P 2的坐标平差值。

表4-1表4-2解：本题10=n ，即有10个误差方程，其中有6个角度误差方程，4个边长误差方程。

必要观测数422=⨯=t 。

现取待定点坐标平差值为参数，即TY X Y X X ]ˆˆˆˆ[ˆ2211=① 计算待定点近似坐标各点近似坐标按坐标增量计算，结果见表4-3。

表4-3② 由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角0α和近似边长0S （见表4-4）。

表4-4③ 计算坐标方位角改正数方程的系数。

计算时0S 、0X ∆、0Y ∆均以m 为单位，而xˆ、y ˆ因其数值较小，采用cm 为单位。

有关系数值的计算见表4-5、表4-6。

表4-5表4-6表4-7④ 法方程的组成和解算由表4-7取得误差方程的系数项B 、常数项l ，组成法方程的系数项bb N 、常数项Pl B T ，可得法方程为284.14622.5387.15207.23ˆˆˆˆ138.6721.4536.1155.2721.4246.15414.0866.7536.1414.0543.3029.0155.2866.7029.0141.122211=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------y xy x系数阵PB B N Tbb =的逆阵为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-2433.00759.00967.00062.00759.01227.00191.00660.00967.00191.03219.00040.00062.00660.00040.01240.01bbN由Pl B N x Tbb 1ˆ-=算得参数改正数x ˆ： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3.21.04.34.2284.14622.5387.15207.232433.00759.00967.00062.00759.01227.00191.00660.00967.00191.03219.00040.00062.00660.00040.01240.0ˆˆˆˆ2211y x y x （cm ） ⑤ 平差值计算坐标平差值⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡944.7992409.4684722.6513049.4933ˆˆˆˆˆˆˆˆ2211020201012211y x y x Y X Y X Y X Y X观测值的平差值根据公式l xB V -=ˆ得各改正数为 []TV 9.16.38.28.26.2.133.11.12.43.0--------=从而得平差值为V L L +=ˆ，如下表4-8表4-8编号观测值 平差值 角1 44 05 44.8 44 05 44.52 93 10 43.1 93 10 47.3 342 43 27.2 42 43 28.3 4 201 48 51.2 201 48 49.9 5 201 57 34.0 201 57 32.7 6 168 01 45.2 168 01 42.6 边7 2185.070 2185.042 81522.853 1522.825 9 1500.017 1499.981 101009.0211009.002例 水准网—P125 例题7-6在图7-11中，A 、B 为已知水准点，高程为A H 、B H ，设为无误差，各观测的路线长度分别为 41=S km ， 22=S km ，23=S km ， 44=S km ，试求P 1和P 2点平差高程的协因数。

解：平差的参数选取P 1和P 2点高程，设为1ˆX 和2ˆX ，按图组成误差方程为 图 7-11144ˆ224ˆˆ224ˆˆ144ˆ242433213222121111==--===-+-===-+-===-=P l xv P l x x v P l x x v P l x v 定权时令C ＝4，即以4 km 观测高差为单位权观测值，因观测值相互独立，故ii i Q P /1=，相关协因数)(0j i Q ij ≠=，由此得法方程为0ˆ5ˆ40ˆ4ˆ5221121=-+-=--W x xW x x因为1ˆˆ-=bb X X N Q ，故有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-56.044.044.056.054451ˆˆX X Q平差后P 1、P 2点高程的协因数分别为56.011ˆˆ=X X Q ，56.022ˆˆ=X X Q ，1ˆX 与2ˆX 的协因数则为44.021ˆˆ=X X Q。