2018届高三年级第一次模拟考试(四)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，0，a}，B ＝{0，a}．若B ⊆A ，则实数a 的值为________．2. 已知复数z ＝1＋4i1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．6. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤3，x －y －1≤0，则2x —y 的最大值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2＝8x的焦点，则点F 到双曲线x 216－y 29＝1的渐近线的距离为________． 8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10. 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 11. 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗)(第11题) (第12题)12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ ＝45°，则AP →·AQ →的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 的长度的最大值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，ln （－x ）， x<0，g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝f(g(x))有4个零点，则实数a 的取值范围是________________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 如图，在三棱锥PABC 中，AB ⊥PC ，CA ＝CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，D 是BN 的中点．求证：(1) MD ∥平面PAC ； (2) 平面ABN ⊥平面PMC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝152b. (1) 求sin B 的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12的值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．18. (本小题满分16分)如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F.(道路宽度忽略不计)(1) 若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离：(2) 设∠POD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大．已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R)有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73.20. (本小题满分16分)若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．(1) 已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；(2) 已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．2018届高三年级第一次模拟考试(四)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，已知⊙O 1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T .点P 为⊙O 1上一点，PM 与⊙O 2切于点M .若PM ＝3，求PT 的长．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ∈R ，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A －1.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a >1，b >1，求b 2a －1＋a 2b －1的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD 中，AP ，AB ，AD 两两垂直，BC ∥AD ，且AP ＝AB ＝AD ＝4，BC ＝2.(1) 求二面角PCDA 的余弦值；(2) 已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC ＝DH ，求PHPC的值．23. (本小题满分10分)(1) 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos nx ＝sin ⎝⎛⎭⎫n ＋12x 2sin 12x－12(x ∈R ，且x ≠2k π，k ∈Z)；(2) 求sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6的值.2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 12. －323. 254. 105. 126. 57. 658. 3 9.π610. e －2 11. 210 12. 42－413. 32 14. ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1∪(1，＋∞)15. 解析：(1) 在△ABN 中，M 是AB 的中点， D 是BN 的中点， 所以MD ∥AN.(3分)因为AN ⊂平面PAC ，MD ⊄平面PAC ， 所以MD ∥平面PAC.(6分)(2) 在△ABC 中，CA ＝CB ，M 是AB 的中点， 所以AB ⊥MC.(8分)因为AB ⊥PC ，PC ⊂平面PMC ，MC ⊂平面PMC ，PC ∩MC ＝C ， 所以AB ⊥平面PMC.(11分) 因为AB ⊂平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC.(14分)16. 解析：(1) 在△ABC 中，根据余弦定理及a 2＝b 2＋c 2－bc得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3分)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝55.(6分)(2) 因为a ＝152b>b ， 所以A>B ，即0<B<π3.又sin B ＝55，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.(9分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π－A －B ＋π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4(12分)＝－⎝⎛⎭⎫cos B cos π4－sin B sin π4＝－⎝⎛⎭⎫255×22－55×22＝－1010.(14分) 17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a 2c ＝42，(2分)解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2) 方法一：因为S △AOB ＝2S △AOM ， 所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．(6分) 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)． 所以x 20＋y 20＝89， ① （2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1, ②(10分) 由①②得9x 20－18x 0－16＝0， 解得x 0＝－23，x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，(12分)所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)方法二：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ， 所以M 为AB 的中点．(6分)设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2）得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 21＋2k 2.(8分)所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，y M ＝k(x M ＋2)＝2k1＋2k 2，(10分) 代入x 2＋y 2＝89得，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 1＋2k 22＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，(12分)即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)18. 解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系． (1) 直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402，y ≥0得y ＝16 5. 所以点P 到AD 的距离为16 5 m ．(4分)(2) ①由题意得P(40cos θ，40sin θ)． 直线PB 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y ＝0，得x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.(6分)直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)，令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2，(8分)所以EF 的长度为f (θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(10分)②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝ 6 400sin θ＋2， 区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×80sin θsin θ＋2×40sin θ＝1 600sin 2θsin θ＋2，所以S 1＋S 2＝1 600sin 2θ＋6 400sin θ＋2⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(3分)设sin θ＋2＝t ，则2<t<3，则S 1＋S 2＝1 600（t －2）2＋6 400t＝1 600⎝⎛⎭⎫t ＋8t －4≥1 600(28－4)＝6 400(2－1)， 当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时等号成立．所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6 400(2－1)m 2. 故当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)19. 解析：(1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x .令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1. f(x)，f ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．(2分) 因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知 g ′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0， 所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0， 化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0得a ≠－32，所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎫a ≠－32.(6分) (2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx)，所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)] ＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3) ＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x －3， 令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3.h(x)，h ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值， 此时h(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a ＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.(10分)令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1.F(x)，F ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，F(x)取得极小值，也是最小值，所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1，则t<－1，记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1，则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t<－1.因为－e －1<－e t <0，3t 2－2t>5，所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －t －2<－13－2＝－73， 所以M(a)<－73.(16分) 20. 解析：(1) 当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分) a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分)当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n .a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n .所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分)(2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1，数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分)因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1，所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，①n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立； 若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立． 若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分)设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d]＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ.所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ，λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ，λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1，以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分) 所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d 3， b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d 3， b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d 3， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d 3， 所以数列{b n }是等差数列．(16分)21. A . 解析：延长PT 交⊙O 2于点C ，连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2，则O 1O 2过点T.由切割线定理得PM 2＝PC·PT ＝3.因为∠O 1TP ＝∠O 2TC ，△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，(5分)所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT CT ＝PO 1CO 2＝2， 所以PT PC ＝23，即PC ＝32PT. 因为PC·PT ＝32PT ·PT ＝3，所以PT ＝ 2.(10分) B . 解析：由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(4分) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝12， 所以λ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012.(10分) C. 解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1的普通方程为y ＝x 2＋2x .(4分) 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(8分)所以A (0，0)，B (－1，－1)， 所以AB ＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝ 2.(10分)D. 解析：因为a >1，b >1，所以b 2a －1＋4(a －1)≥4b ，a 2b －1＋4(b －1)≥4a .(4分) 两式相加b 2a －1＋4(a －1)＋a 2b －1＋4(b －1)≥4b ＋4a ， 所以b 2a －1＋a 2b －1≥8.(8分) 当且仅当b 2a －1＝4(a －1)且a 2b －1＝4(b －1)时，等号成立， 即当a ＝b ＝2时，b 2a －1＋a 2b －1取得最小值为8.(10分) 22. 解析：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．(1) 由题意可知，DP →＝(0，－4，4)，DC →＝(4，－2，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DP →＝0，n 1·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋4z ＝0，4x －2y ＝0. 令x ＝1，则y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．(3分)平面ACD 的法向量为n 2＝(0，0，1)，所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23， 所以二面角PCDA 的余弦值为23.(5分)(2) 由题意可知，PC →＝(4，2，－4)，DC →＝(4，－2，0)．设PH →＝λPC →＝(4λ，2λ，－4λ)，则DH →＝DP →＋PH →＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分)因为DC ＝DH ，所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝20，化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝13. 因为点H 异于点C ，所以λ＝13.(10分) 23. 解析：①当n ＝1时，等式右边＝sin ⎝⎛⎭⎫1＋12x 2sin 12x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫1＋12x －sin ⎝⎛⎭⎫1－12x 2sin 12x ＝ 12sin 12x ×[(sin x cos 12x ＋cos x sin 12x)－(sin x cos 12x －cos x sin 12x)] ＝cos x ＝等式左边，等式成立．(2分)②假设当n ＝k 时等式成立，即cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋12x 2sin 12x －12. 那么，当n ＝k ＋1时，有cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＋cos (k ＋1)x＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋12x 2sin 12x －12＋cos (k ＋1)x ＝12sin 12x ×{sin ⎣⎡⎦⎤（k ＋1）x －12x ＋2sin 12x ·cos (k ＋1)x}－12 ＝12sin 12x ×[sin (k ＋1)x cos 12x －cos (k ＋1)x sin 12x ＋2sin 12x cos (k ＋1)x]－12 ＝sin （k ＋1）x cos 12x ＋cos （k ＋1）x sin 12x 2sin 12x －12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋1＋12x 2sin 12x －12. 这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n ∈N *等式都成立．(6分)(2) 由(2)可知，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos2 018x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12x 2sin 12x －12， 两边同时求导，得－sin x －2sin2x －3sin3x －…－2 018sin2 018x＝12sin 212x ×[(2 018＋12)cos(2 018＋12)x sin 12x －12sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12x cos 12x ]，(8分) 所以－sin π6－2sin 2π6－3sin 3π6－…－2 018sin 2 018π6＝12sin 2π12×[⎝⎛⎭⎫2 018＋12cos ⎝⎛⎭⎫2 018＋12π6sin π12－12sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12π6cos π12]＝ 2 0152－3， 所以sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6＝3－2 0152.(10分)。