2.2 静电场的散度
不考虑介电常数，静电场的散度等于电 荷空间分布密度。说明电荷是静电场的标量 性源（发散性源）。

1 E dS
S
0
V

dV
V
S
E dS EdV , E
0
2.3 静电场的环量和旋度
静电场是无旋场。
r
2
1
sin d
l
4 0 r
(c os 1 c os 2 )
(sin 2 sin 1 )
l
4 0 r0

2
1
c os d
l
4 0 r
•外部空间场分布也是旋转对称的。 •对于无限长的均匀带电直导线，只有沿r 方向的电场。
【例1-1】 有限长直线l上均匀分布着线密度为 ρl的线 电荷, 如图1-2所示， 求线外一点的电场强度。
z
l 2
2
dE
r

dz
p r , z ,

R
0
1
图1- 2 有限长直线电荷的电场
E r
1 4 0

l ( r )
l
R
3
Rdl
r ra r za z , r z a z , R r r ra r z z a z
2.1 高斯定律
点电荷通过以电荷为中 心球面的通量


E dS q 4 0
q 4 0
S

q
r
S
r
3
dS

d
S
0
r r' q dS 3 4 0 r r'
包含点电荷的任意曲面

E dS q 4 0
e l lim
q l
l 0
dq el dl
e S limq SFra bibliotekS 0
d q eS d S
点电荷
e V lim
q V
V 0
d q eV d V
连续分布电荷体系的电场
可以把连续分布的区域分割为无限各微 小微元（体元、面元和线元），把每一个 微元看成点电荷，则连续分布体系等效为 无限个点电荷组成的离散分布体系，连续 分布电荷体系的电场也可以用离散点电荷 体系的公式求解，所不同的就是积分代替 了求和。
1.2 理论解释和电场强度的定义
根据库仑力的特点，q受到电荷Q的相 互作用的物理本质解释为：Q激发一种称 为静电场的物质，静电场对q产生力的作用。
F qE r , E r r
Q 4 0 r
3
电场强度
• 电场强度（Electric Field Intensity）定义为电 场分布区域中单位正电荷所受到的电场力。 • 电场强度是一个矢量，和受力电荷大小和属性是没 有关系的，所以它是一个描述电场的量。 • 电场强度单位是伏特每米，也等于牛顿每库仑。 • 静止点电荷的电场强度表达式可由库仑定律导出。
E r
2 2
q r2 r1 3 3 4 0 r2 r1
2
r1 r 0 .2 5 d d r c os r2 r 0 .2 5 d d r c os
2 2 2
r1 r d r c os
2 2
r2 r d r c os
B A
B A
E dl ,B A

B A
E dl
点电荷的势函数
静电场是无旋场，可以用一个标量场 来描述静电场。这个标量函数称为电势函 数。
E 1 r
3
4 0 r

1 4 0

1 r

r0
2
az 3/2
E r E r a r E z a z E a , E 0
z z R c os , R sin r z z rc tg , d z
r sin
2
d
Er
Ez
l
4 0
一、电场强度
我们是通过电荷之间的相互作用认识到 电场的存在的。库仑定律是阐述两个电荷 相互作用的实验规律。我们从库仑定律说 起，介绍电场强度的定义。
1.1库仑定律
库仑定律（Coulom's Law）是静电现象 的基本实验定律， 它表明固定在真空中相 距为r的两点电荷q1与q2之间的作用力：正 比于它们的电荷量的乘积；反比于它们之 间距离的平方；作用力的方向沿两者间的 连线；两点电荷同性为斥力，异性为吸力 表达式为:
Z P q r2 r

r1 d O y
•电偶极子(Electric Dipole)是 指相距很近的两个等值异号 的电荷。是一种特殊的电荷 分布体系。 •电偶极矩矢量(Dipole Moment Vector)p的大小为 p=qd， 方向由负电荷指向正 电荷。
x
E
1 3p r p r 3 , p qd 5 4 0 r r
S

S

d
q
S
0
不包含点电荷任意曲面的通量

E dS
q 4 0
S

S
r r' 3 dS 0 r r'
一般情况 静电场条件下，静电场通过某一闭合曲面的 通量等于曲面内电荷的总量与介电常数的比值。 这也是所谓的高斯定律。

1/2
d r2 r 1 c o s 2
根据场的叠加原理，当空间中同时有 多个点电荷时，场点的电场等于点电荷在 该点产生的电场强度的矢量和， 即
E r

N
Ei r
1 4 0
i 1

N
i 1
qi
r ri 3 r ri
电偶极子的电场表达式

无旋场的意义
静电场的环量表示单位点电荷沿环路 运动电场力所做的功。 • 电荷沿环路运动从一点运动回到这一点时， 静电场不做功。 • 电荷在两点之间的运动，电场力做功只于 起始位置有关，与具体的路径无关。 • 无旋场是保守力场。
2.4 电势函数
静电场是无旋场，可以用一个标量场 来描述静电场。这个标量函数称为电势函 数。 E
R
E r
r z z , d l d z , e l c
2 2
l
4 0
l 2
l 2

rd z r 2 z z
2
ar 3/2
l
4 0
l 2
l 2

z z d z
r 2 z z
F1 2 q1 q 2 4 0 r
2
ar
q1 q 2 4 0 r
3
r , F2 1 ...
F12 q2 r
q
q1
Q
q q
库仑力的特点
• 库仑力大小与相对距离有关系（平方反 比）； • 库仑力大小与电荷电量有关系（成正比）； • 库仑力作用方向在电荷连线上且和两电荷 属性有关。 • 库仑力具有非接触的分布特性。
E r Q 4 0 r
3
r
• 真空中的介电常数。
0
1 3 6
10
9
F m
场点和源点
z
( x, y, z )
Source
r
R r r
( x, y , z ) Field
r
O y x
E r Q 4 0 R
3
R
1.3 离散分布电荷体系静电场
2 2
f 1 r1
3
x

f 0 f 0 x, w hen x 0 1
r r
2
d r c os 1

3/2

1 r
3

3 rd c os 2 r
5
1 r2
3

2
d r c os
3/2

1 r
3

3 rd c os 2 r
5
1.4 连续分布电荷体系
§1.1电磁场的四个基本量
一、电场强度 二、用场的方法分析电场 三、介质极化与电通密度矢量 四、磁场与磁通密度矢量 五、用场的方法分析磁场 六、介质磁化与磁场强度
本节提示
• 从电磁现象和电磁相互作用（力）开始认 识电磁场，电磁场的描述和电磁相互作用 密切相关。 • 从场的角度分析电磁场。 • 本节除介绍四个基本量以外，同时介绍其 它一些辅助量。
E 1 4 0

V
r r' 1 3 dV 4 0 r r'

V
r r'
dV
1 4 0

V
r r'
dV


E dl
L

S
E d s 0, E 0
连续分布电荷体系的电场积分公式
E r 1 4 0
1 4 0


eV
R
V
( r ) RdV 3
E r
S
S ( r ) RdS 3 R