且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有 P( A1 A2 An ) P( An A1 A2 An1 )
P( An1 A1 A2 An2 ) P( A2 A1 )P( A1 ).
六、 全概率公式和Bayes公式
B3
每一原因Bi发生的概率
B1
B5
P(Bi)已知，其对结果A的
我们介绍了概率定义的几种学派：概率统计
定义、古典定义、几何概率、主观概率，最终 给出了举世公认的概率的公理化定义。
1 P A 0 ; 非负性
三条 公理
2 PS 1; 规范性
3 对 于 两 两 互 斥 事 件 A1 , A2 , , 有
P A1 A2 P A1 P A2

7 15

5 25

29 . 90
(2)
q

P( A1
A2 )

P( A1A2 ) , P( A2 )
由全概率公式得
P( A1A2 )
3 i 1
P(Hi )P( A1 A2
Hi )
1 3
3 i 1
P( A1 A2
Hi ),
又因为
P( A1 A2
H1)

3 10

7 9
第一章 概率论的基本概念 习题课
概率论的基本概念
事件
概率
一、事件
事件间的关系与事件的运算 四种关系
三种运算
包 相互 对 含 等斥 立 关 关关 关 系 系系 系
和积 差 事事 事 件件 件
A B
A
BAB
S
S
S
熟练掌握事件的关系和运算，用简单事件表示复杂事件
AB S
A
B S
A
B S
二、概率
1. 概率的定义：
0.16
P ( B1
A)

P(B1)P( A P( A)
B1 )

3, 4
P ( B2
A)

P(B2 )P( A P( A)
B2 )

1 4
可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ • ”的可能性大
练习6 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考 生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和
(3)三事件相互独立
设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B),
P(BC ) P(B)P(C ),

P(
AC
)

P(
A)P(C ),
P( ABC ) P( A)P(B)P(C ),
则称事件 A, B,C 相互独立 .
注意
三个事件相互独立
三个事件两两相互独立
共有
C
m n
1
m
!
PA n!Cnm1m!.
(n m)!
（2）排成一圈时，若仍按排成一 列，当首尾都是女孩时就相邻了。
由对称性，可固定一
个起始位置，为便于
计算事件 A，以男孩作
为起始位置，剩下的
n+m-1个人归结为直线
√
排列的情况
PA

(n

1)!C
m n
m!
.
(m n 1)!
则有
P Bi A P(Bi A).
i1
i1
乘法定理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P(B A)P( A). 设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
P( ABC ) P(C AB)P(B A)P( A). 推广 设 A1, A2 , , An 为 n 个事件,n 2,
Hi
)

1 3

7 10

8 15

20 25


61 90
,
所以 q P( A1 A2 ) 2 61 20 . P( A2 ) 9 90 61
七、事件的相互独立性
(1)两事件相互独立 设 A, B 是两事件 , 如果满足等式
P( AB) P( A) P(B). 则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
13579
2 4 6 8 10
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (N≥n) 被分在 N 间房的每一间中，求指定的n间房中各有 一人的概率.
人
房
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为 1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相同的概率.
10非负性 : P(B A) 0;
20 规范性 : P(S B) 1, P( B) 0;
30 P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B); 40 P( A B) 1 P( A B);
50 可加可列性: 设 B1 , B2 , 是两两不相容的事件,
A、B独立时 P( A B) P( A) P(B) P( A)P(B)
利用概率性质计算概率
1. A、B独立，A、B都不发生的概率为1 9
P( AB ) P(BA ), 则
PA
2
3
2. 若P A B 0.9, P B 0.51, P B A 0.35,
解 设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2
只次品
已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1 由Bayes 公式:
练习5：由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信号 “ • ”, 收到信号“• ”,“不清”,“ — ” 的 概率分别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”, 收到“• ”,“不清”,“— ”的概率分别为0.0, 0.1, 0.9.已知在发出的信号中, “ • ”和“ — ” 出现的概率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信 号“不清”时, 原发信号为“ • ”还是“ — ”的 概率 哪个大？

7, 30
P( A1 A2
H2
)

7 15

8 14

8, 30
P(
A1 A2
H3
)

5 25

20 24

5 30
.
所以 而
P(
A1
A2
)

1 3
7 30

8 30

5 30

2 9
,
3
P( A2 ) P(Hi )P( A2 Hi ) i 1

1 3
3 i 1
P( A2
四、条件概率
(1) 条件概率的定义
设 A, B 是两个事件,且 P( A) 0,称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B发生的条件概率. 同理可得 P( A B) P( AB) ,
P(B) 为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
(2) 条件概率的性质
n 个事件相互独立
n个事件两两相互独立
重要定理及结论
定理一 设 A, B 是两事件,且 P( A) 0.若 A, B相互独 立,则 P(B A) P(B). 反之亦然.
定理二 若 A, B 是相互独立的两个事件, 则下列各对 事件, A 与 B, A 与 B , A 与 B 也相互独立.
两个结论
性质 4 设 A、B 为两事件 ,且 A B ,则
PA B PA PB 并且 PA PB.
性质 5 对于任一事件 A ,都有 PA 1 .
性质 6 设 A, B 为任意两个事件 ,则
PA B PA PB PAB
PA B C PA PB PC PAB PAC PBC PABC
人 任一天
箱中摸球 随机取数 是常见的几种模型 .
分球入箱 分组分配
练习2 n个男孩，m个女孩（m≤n+1) （1）随机排成一列 （2）围成一圈，
设事件A表示任意两个女孩都不相邻，求P(A)
解：(1) 将n+m个人排列，共有N=(n+m)!种不同排法.
对于事件A，先排男孩，共有n!种方法，插空排女孩，
练习3 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每 堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是 多少？
解 把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法 总数为
( 2 n )! 2!2! 2!

( 2 n )! 2n

而出现事件A的分法数为n!,故
P( A)

n! (2n)! / 2n

n!2n (2n)!
往年考研题
推广 设 A1 , A2 , , An 是 n 个事件,如果对于任 意 k (1 k n),任意1 i1 i2 ik n , 具 有等式
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ),
则称 A1 , A2 , , An 为相互独立的事件.
解: 设原发信号为“ • ” 为事件 B1 原发信号为“ — ”为事件 B2
收到信号“不清” 为事件 A
已知：
P ( B1 ) 0.6, P ( B2 ) 0.4
P ( A B1 ) 0.2, P ( A B2 ) 0.1
P( A) P(B1 )P( A B1 ) P(B2 )P( A B2 )
可列可加性