C
刚化
P
EI=
C
θc1
fc1
pa3 3EI
fc1
c1
pa2 2EI
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
P
A
θ B B2
C
fc2 刚化
EI=
B2
PaL 3EI
fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B2
θB2
P Pa
c
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 2EI
PaL 3EI
fc fc1 fc2
fc
pa3 3EI
MPa，[]=100
MPa，E=210
GPa，
w l
1 400
。
例题 5-7
解:一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横 截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸， 再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件 进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条 件不满足，应适当增加横截面尺寸。
[例8-3]如图用叠加法求 wC、A、B
解：1.求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加
=
wC
5qL4 384EI
A
qL3 24EI
B
qL3 24EI
+
PL3 48EI
PL2
16EI PL2
16EI
+
ML2 16EI
ML 3EI
ML 6EI
例题 5-4
试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的
16EI
1 qa4 24 EI
()
例题 5-5
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB
段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，
其转角就是上面求得的B，由此引起的A端挠度 w1=|B|·a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2
上去,才是原外伸梁的A端挠度wA wA w1 w2
1 3
qa3 EI
S* z ,max
73
mm 100
mm
50
mm
100
11
mm
73 7 mm 100 11 mm
2
104 000 mm3
例题 5-7
当然， Sz*,m的ax 值也可按下式得出：
S* z ,max
73
mm 11 mm 100
11 2
mm
100 11 mm
7mm 100 11mm
挠度 wC 和两端截面的转角A 及 B。已知EI为
常量。
例题 5-4
解: 为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式， 将图a所示荷载视为与跨 中截面C正对称和反对称 荷载的叠加(图b)。
例题 5-4
C
A1 wC
在集度为q/2的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的 B1 挠度和转角的公式，得
wC1
P
解：由刚度条件
wmax
Pl 3 48 EI
[w]
l 500
得
P
48EI 500l 2
7.11 kN
所以 [ P] 7.11 kN
max
M max Wz
Pl 4Wz
60MPa [ ]
所以满足强度条件。
例题 5-7
图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试按强
度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知[]=170
(30 103 N)(0.8m) (3 2.4m2 4 0.82m2 )
(40 103 N)(0.9m) (3 2.4m2 4 0.92m2 )
(12 103 N)(0.6m) (3 2.4m2 4 0.62m2 )]
48(210
1671103 N m 109 Pa)(2 1780
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§8-3 用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所 引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算 几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形， 则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然 后叠加。
例题 5-7
1. 按正应力强度条件选择槽钢型号
梁的剪力图和弯矩 图分别如图c和图e所 示。最大弯矩为 Mmax=62.4 kN·m。梁 所需的弯曲截面系数 为
Wz
Mmax
62.4103 N m 170106 Pa
367 106
m3
例题 5-7
而每根槽钢所需的弯曲截面系数 Wz≥367×106 m3/2=183.5×10-6 m3=183.5 cm3。由型钢表查得 20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需的Wz= 183.5 cm3，但
一. 静不定梁的基本概念
梁的约束个数多于独立 静力平衡方程的个数。 二.变形比较法解静不定梁
用多余反力代替多余约 束，就得到一个形式上 的静定梁，该梁称为原 静不定梁的相当系统， 又称静定基。
解：将支座B看成多 余约束，变形协调条件为：
wB
0 ql 4
wBq 8EI
wBR
RBl 3 3EI
wB wBq wBR
条件求得为
FA
5 ql 8
故20a号槽钢满足切应力强度条件。
例题 5-7
3. 校核梁的刚度条件
如图a，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度wmax。 由叠加原理可得
wmax
wC
4 i 1
Fi bi 48EI
(3l
2
4bi
2
)
1 [(120 103 N)(0.4m) (3 2.42m2 4 0.42m2 ) 48EI
qa 3 4 EI
顺时针
wC
B
a qa4 8EI
5qa4 24 EI
[例8-6]求图示梁B、D 两处的挠度 wB、 wD 。
解：
q(2a)4 qa(2a)3 14qa4
wB 8EI
3EI
3EI
wD
wB 2
2qa(2a)3 48EI
8qa 4 3EI
[例8-7]求图示梁C点的挠度 wC。
108 m4
)
4.66
103
m
例题 5-7
梁的许可挠度为
[w] [w] l 1 2.4m 6 103m 6mm
l
400
由于
wmax 4.66mm [w]
因此，所选用的槽钢满足刚度条件。
四. 提高弯曲刚度的措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷 情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和 梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从 上述各种因素入手。
5q / 2l4
384EI
5ql4 768EI
A1
q / 2l 3
24EI
ql 3 48EI
B1
q / 2l 3
24EI
ql 3 48EI
例题 5-4
在集度为q/2的反对称均布
B2 荷载作用下，由于挠曲线也是
C
A2
与跨中截面反对称的，故有
wC 2 0
注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，
简支梁BC，由q产生的Bq 、wDq(图d)，由MB产生的 BM 、wDM (图e)。可查有关式，将它们分别叠加后 可得 B、wD，它们也是外伸梁的 B和wD。
例题 5-5
B
Bq
BM
q2a 3
24EI
qa 2 2a
3EI
1 qa3 3 EI
wD
wDq
wDM
5 q2a4
384 EI
qa 2 2a 2
0 5ql4 768EI
A
A1
A2
ql 3 48EI
ql 3 384EI
3ql 3 128EI
B
B1
B2
ql 3 48EI
ql 3 384EI
7ql 3 384EI
例题 5-5
试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角
B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已知
EI为常量。
例题 5-5
PaL 3EI
a
[例8-4] 欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。
解：
wC
5q(2a)4
384 EI
Pa(2a)2 16 EI
0
P 5 qa 6
[例8-5] 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解: qa 2
B
2 2a qa (2a)2
3EI
16EI
qa3 顺时针
12 EI
C
B
qa 3 6EI
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法
解超静定梁的基本思 路与解拉压超静定问题 相同。求解图a所示一次 超静定梁时可以铰支座
B为“多余”约束，以 约束力FB为“多余”未 知力。解除“多余”约
基本静定系
束后的基本静定系为A 端固定的悬臂梁。
基本静定系在原有均布 荷载q和“多余”未知 力FB作用下(图b)当满 足位移相容条件(参见 图c、d)
w Ml
EI
一、增大梁的抗弯刚度EI；
二、减小跨度L或增加支承降低弯矩M； 三、改变加载方式和支承方式、位置等。
§8-5 梁的弯曲应变能
一.梁的弯曲应变能
1.纯弯曲：M (x) c
V W
W 1 M
2
V
1 2
M
Ml EI
M 2l 2EI
2.横力弯曲：M (x) c
W
dV
1 M (x)d
2
M 2 xdx
2
104000 mm3
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得 为 Iz =1780.4 cm4 1780cm4