§6-3 积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 积分一次：
d M ( x) ' dx C dx EI z
d 2 M ( x) 2 dx EI z
转角方程
积分二次：
M ( x) ( dx)dx Cx D EI z
挠曲线方程
C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
1 1 4 qL3 qL4 ( qx x ) EI 24 6 8
29
例2
图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max 和 wmax
q A l B
q
解:由对称性可知,梁的两 个支反力为
A
x
B
FRA FRB
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§6-1 工程中的弯曲变形问题
２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。
汽车板簧应有较大的弯曲变形,
才能更好的缓解车辆受到的冲击和振动作用.
目录
8
§6-1 工程中的弯曲变形问题
当今时代汽车工业飞速发展， 道路越来越拥挤， 一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？
目录
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§6-1 工程中的弯曲变形问题
0
21
梁的边界条件
ω
简支梁：
L
x
x 0:
0
x L:
0
22
连续性条件：
边界条件
ω A
P
B a L C x
x 0: x L:
0
0
连续性条件
x a:
C
左
C 右
C 右
23
C
左
连续性条件：
ω
A a C L M B
x
x a:
特别强调
C左 C右
Iz

M
max
WZ
σ
切应力强度条件 max
仅保证构件不会发生破坏，
FS max S zmax I zb
但如果构件的变形太大也不能正常工作。
1、构件的变形限制在允许的范围内。
3
§6-1 工程中的弯曲变形问题
车间桁吊大梁的变形
目录
4
§6-1 工程中的弯曲变形问题
车间桁吊大梁的过大变形
会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象； 还会引起较严重的振动；
目录
5
§6-1 工程中的弯曲变形问题
摇臂钻床简化为刚架， 受工件的反力作用；
如果钻床的变形过大， 不能准确定位。
目录
6
§6-1 工程中的弯曲变形问题
桥梁如果产生过大变形
楼板、床、双杠横梁屋顶等 都必须把它们的变形限制在允许的范围内。
目录
A 1 x 0
B 2
Fb( L2 b 2 ) Fab( L b) 6 LEI 6 LEI
BC段 (a x L)
2 Fb F ( x a ) 2 ( x) [3x 2 ( L2 b 2 )] , 6 LEI 2
Fb L 3 2 2 2 ( x) [ x ( L b ) x ( x a)3 ] 6 LEI 6
7、求最大转角
x0 xL
BC段 (a x L)
Fb M 2 ( x) x F ( x a), L
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3、代入各自的挠曲线近似微分方程中
M 1 ( x)
M 2 ( x)
Fb x, L
Fb x F ( x a), L
Fb EI 1 x, L
4、各自积分
Fb 2 EI1 EI1 x C1 2L EI 1 Fb 3 x C1 x D1 6L
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 , 6L
D1 D2 0
36
6、挠曲线方程 AC段 (0 x a) Fb 1 ( x) [3 x 2 ( L2 b 2 )], 6 LEI
Fb 1 ( x) [ x 3 ( L2 b 2 ) x], 6 LEI
目录
33
例3 一简支梁受力如图所示。试求此梁的挠曲线方程和转 角方程,并求其最大挠度和最大转角。 ω 1、求支座反力 A x F B C L x
FAy
Fb , L
FBy
Fa L
FAy
x a
b
FBy
2、分段列出梁的弯矩方程
AC段 (0 x a)
Fb M 1 ( x) FA x x, L
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积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。
边界条件：
（1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。
（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
光滑连续条件
（3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转 角相等。
目录
20
梁的边界条件
悬臂梁：
ω
L
x
x 0:
0
从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。
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挠曲线微分方程
M ( x) EI

1
1

M ( x) EI z

1 y '
y ' ' ( x)
2
( x)

3
2
1 y'
y ' ' ( x)
2
( x)

3

2
1 ( x)
2
( x)
3
2
M ( x) EI z
ql 2
FRA
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
边界条件x=0 和 x=l时, w
在梁跨中点处有最大挠度值
wmax w
x
l 2
5ql 4 384 EI
积分法计算梁变形的步骤
1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EIw M ( x )
EIw EI M ( x )dx C1 EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
0
x
q
wmax
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
B
A
l
B
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
最大转角和最大挠度分别为
FRA
FRB
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
max
ql 3 A B 24 EI
蹦床 要有大变形， 才能积蓄能量，
将人体弹射到一定高度。
3、研究弯曲变形 除了解决构件的刚度外，
还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析 以及振动分析等方面。
目录
10
二、弯曲变形的物理量
拉伸
F
F
FN l l EA
T l G IP
扭转：
内 力 杆 件 长 度 弯曲变形的物理量如何？ 抗变形刚度
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
边界条件： （1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。
（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
连续性条件：（3）、在弯矩方程分段处：
一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。
4、确定挠曲线方程和转角方程
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
xL
ω
F
a
EI 1
EI 1
EI 2
1 0
2 0
L
Fb 2 x C1 2L
Fb 3 x C1 x D1 6L
Fb 2 F x ( x a ) 2 C2 2L 2
x
连续条件：
xa
1 2
1 2
EI 2
Fb 3 F x ( x a)3 C2 x D2 6L 6
挠曲线微分方程 瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程； 由于没有采用曲率的简化式， 且弹性模量E无定量结果， 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。 适用于弯曲变形的任何情况。 该挠曲线微分方程是非线性的，
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5、挠曲线近似微分方程

在小变形的条件下，
挠曲线是一条光滑平坦的曲线， 转角 较小，
取参考坐标系 1、列写弯矩方程 ω A x
。
q B x L
1 2 M ( x) qx 2
(0 x L)
2、代入挠曲线近似微分方程中
' ' M ( x) EI z
6
1 EI ' ' qx 2 2
转角方程
积分一次： EI ' EI 1 qx 3 C 积分二次：
第 六 章 弯 曲 变 形
目录
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第六章
弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形
§6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 简单超静定梁 §6-6 减小弯曲变形的一些措施
目录
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一、为何要研究弯曲变形? 弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
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弯曲变形的物理量
1、挠曲线