第一章 常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假第一章常用逻辑用语测试题一、 选择题（每道题只有一个答案，每道题5分，共60分）1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ） A 、真命题与假命题的个数相同 B 真命题的个数一定是奇数C 真命题的个数一定是偶数D 真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列命题中正确的是（ ）①“若220x y +≠，则,x y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题 ③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题 ④“若3x -是有理数，则x 是无理数”的逆否命题A 、①②③④B 、①③④C 、②③④D 、①④3、“用反证法证明命题“如果x y <，那么1155x y <”时，假设的内容应该是（） A 、1155x y=B 、1155x y>C 、1155x y =且1155x y>D 、1155x y =或1155x y >4、“1a ≠或2b ≠”是“3a b +≠”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 5、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要 6、函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是（ ）A 、0ab =B 、0a b +=C 、a b =D 、220a b += 7、“若x a x b ≠≠且，则2()0x a b x ab -++≠”的否命题（） A 、若x a x b ==且，则2()0x a b x ab -++= B 、若x a x b ==或，则2()0x a b x ab -++≠ C 、若x a x b ==且，则2()0x a b x ab -++≠ D 、若x a x b ==或，则2()0x a b x ab -++=8、“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y ++--=相互垂直”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要9、命题p ：存在实数m ，使方程210x mx ++=有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A 、存在实数m ，使得方程210x mx ++=无实根 B 、不存在实数m ，使得方程210x mx ++=有实根 C 、对任意的实数m ，使得方程210x mx ++=有实根D 、至多有一个实数m ，使得方程210x mx ++=有实根10.若"a b c d ≥⇒>"和"a b e f <⇒≤"都是真命题,其逆命题都是假命题，则"c d ≤"是"e f ≤"的( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 11.在下列结论中，正确的是（ ）①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件 ②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件 ③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件 ④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④12.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点(2,3)P ()B C A u ⋂∈的充要条件是（ ）A ．1,5m n >-<B ．1,5m n <-<C ．1,5m n >->D ．1,5m n <-> 二、填空题（每道题4分，共16分）13、判断下列命题的真假性: ①、若0m >，则方程20x x m -+=有实根 ②、若1,1x y >>,则2x y +>的逆命题③、对任意的{|24},|2|3x x x x ∈-<<-<的否定形式④、0∆>是一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根的充要条件 14、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是 否命题是15、若把命题“A B ⊆”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是__________，构成它的两个简单命题分别是_____________________________________。

16、用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题:（1）实数的平方大于等于0___________________________________________ （2）存在一对实数，使2330x y ++>成立________________________________. 二、 解答题17、写出下列命题的否定： （1）所有自然数的平方是正数（2）任何实数x 都是方程5120x -=的根 （3）对于任意实数x ，存在实数y ，使0x y +> （4）有些质数是奇数18、用反证法证明：已知a 与b 均为有理数，且a 和b 都是无理数，证明a +b 也是无理数。

19、已知命题:P “若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根”.(1)写出命题P 的否命题； (2)判断命题P 的否命题的真假, 并证明你的结论.20、已知p: 2311≤--x ,q: ()001222>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

21．已知0≠ab ,求证1=+b a 的充要条件是02233=--++b a ab b a22.求实数a 的取值范围，使得关于x 的方程().062122=++-+a x a x . （1） 有两个都大于1的实数根； （2） 至少有一个正实数根。

参考答案 一、选择题 二、填空题13.①.假 ②.假 ③.真 ④.假14．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除 否命题：末位数不是0或5的整数，不能被5整除 15．p ∨q ; p: A=B , q : A B 16． 三、解答题 17、18、证明：假设a +b 是有理数，则（a +b ）（a -b ）=a -b由a >0, b >0 则a +b >0 即a +b ≠0 ∴ba b a b a +-=- ∵a ,b ∈Q 且a +b ∈Q∴ba b a +-∈Q 即（a -b ）∈Q 这样（a +b ）+（a -b ）=2a ∈Q从而 a ∈Q （矛盾） ∴a +b 是无理数。

19．解:(1)命题P 的否命题为:“若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根”.(2)命题P 的否命题是真命题. 证明如下:,04,0,02>-=∆⇒>-∴<ac b ac ac ⇒二次方程02=++c bx ax 有实根. ∴该命题是真命题.20．解：由p ：2311≤--x .102≤≤-⇒x21．证明：必要性：()()()0....111,1,122332233==----+-+=--++∴-==+a a a a a a b a ab b a a b b a 即 充分性：=--++2233b a ab b a 0即()()()()()01,0,.1,0432,0,0,0.01022332222222222=--++=+≠=+≠+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-≠≠≠=-++-=+--+-+b a ab b a b a ab b a b b a b ab a b a ab b a b ab a b ab a b ab a b a 的充要条件是当综上可知只有且即又()()221011.:102,:11,,.110129.q x m m m x m p x x p x m x m p q p q m m m -≤〉-≤≤+⌝><-⌝>+<-⌝⌝⌝⇒⌝+≥⎧⎨-≤-⎩≥由可得所以所以或或因为是的必要不充分条件所以故只需满足所以。