解:连接ＡＣ
在直角三角形ADC中CD=3,AD=4
根据勾股定理得 ＡＣ２＝ＣＤ２＋ＡＤ２＝３２＋
12
４２＝２５
∴ＡＣ＝５Ｍ
C ∵ＡＣ２＋ＢＣ２＝１２２＋５２
＝１３２＝AB2
3
D
13
B
Ｓ△ＡＣＤ＝ ＣＤ×ＡＤ÷ ２＝ ３×４÷２＝ ６Ｍ２ ∴ 这块地的 面积＝３０＿ ６＝２４Ｍ２
∴△ABC 是直角三角形
4
∴Ｓ△ＡＢＣ＝ＡＣ×ＢＣ÷２
＝３０Ｍ２
A
探究1
如图，以Rt△
的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 S2 S3，请同学们想一想
S1 S2 S3 之间有何关系呢？
解: 因为 S1 + S2 =a2+b2 S3=c2
A
S S3 c b a
2
B S1 C
所以a2+b2=c2
S1 + S2 = S3
❖ 一解圆柱在体R的t△底A面C周D中长为，２A4Dc=m1,2 C高DA=B5 为由5勾cm股, B定C是理上得底面的直径 .一只蚂蚁 从A点C2A=出A发D2，+C沿D着2=圆12柱2的+5侧2=面16爬9行到点 C, 试求∴出爬AC行=的13最短路程．
B
CB
C
A
DA
D
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
P'
14.2勾股定理的应用
大堡中学:周忠成
问题一
• 勾股定理的内容是什么?
A
a2+b2=c2
b
c
Ca B
勾股定理:直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方．
问题二
• 如果已知三角形的三边长a、b、c，怎样 判定这个三角形是否为直角三角形？
如果三角形的三边长a、b、c有 关系：a2+b2=c2，那么这、个三
＝3cm，则它的周长为＿1＿8 ＿
4．三角形三边长分别为6、8、10，那么它 最短边上的高为__8____． 5．测得一个三角形花坛的三边长分别为 5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是 ___3_0____． 6．直角三角形三边是连续整数，则这三角 形的各边分别为＿3＿. 4 ＿5
7．一个三角形的三边的比为5∶12∶13， 它的周长为60cm，则它的面积是＿12＿0 ＿．
8
8
S3
1 2
c 2
2
1 8
c2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S1+S2=S3
S3
c
b S2
a
如图6，Rt△ABC中，AC=8， BC=6，∠C=90°，分别以AB、 BC、AC为直径作三个半圆， 那么阴影部分的面积为
解:根据题意得
S影阴=SAC+SBC+S△ABC-SAB
想一想
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正 方形,求下列图中字母所表示的正方形的面 积.
B 解：如图可知
在直角三角形OCD中， OC=1 OD=0.8
CD2=OC2-OD2=12-0.82 =0.36 ∴CD=0.6
H
CH=2.3+0.6=2.9
∵2.9＞2.5∴能通过
探究训练
▪ 一个圆柱形的封闭易拉罐，它的底面 直径为5cm,高为１2cm,问易拉罐内 可放的搅拌棒（直线型）最长可为多 长？
A
A1
A2
B
C
小结
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
❖ １、立体图形中路线最短的问题，往往是把 立体图形展开，得到平面图形．根据“两点 之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股 定理计算出最短距离．
❖ ２、在解决实际问题时，首先要画出适当的 示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构 建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实 际问题．
ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝ ６２＋８２＝１００
所以ＡＢ＝１０ＫＭ
1B 6
3
2
A
8C
已 知 ： 如 图 ， 四 边 形 ABCD
中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，
CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形
ABCD的面积?
C
解 在直角三角形ABC 中
4
AC2=32+42=25 ∴AC=5
B
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ B）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
B C
A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
探索与研究
A
D
3.6米
B １.２米O C
一辆高３米，宽2.4 米的卡车要通过一个 半径为3.6米的半圆形 隧道，它能顺利通过 吗？
2、探究下面三个圆面积之间的关系 解:根据题意得
S3
S2 cb
aa
S1
S1
1 4
a 2
S2
1 4
b2
S3
S1 S
1 c2
4 ;b²=c²
∴ S3=S2+S1
探究S1、S2、S3之间的关系
解:根据题意得
S1
S2
1 2
•
a 2
2
1 2
•
b 2
2
1 •a2 1 • b2
解：如图可知
在三角新形ＡＢＯ中AO=3.6米,BO=1.2米 根据勾股定理得
AB2=3.62-1.22=12.96-1.44= 11.52
∵11.52＞32
所以能通过
一辆装满货物的卡车,其外形高2.5 米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工
厂,问C 这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
2.3米
A
O D
角形是直角三角形．
问题三:填空
1.在Rt△ABC中，斜边AB＝2，
则AB 2+BC 2+CA 2＝＿8＿＿．
2.在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6， 则另一边BC=___8 _____，面积为__2_4 ___AB 边上的高为___3._6 ____；
3.等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD
5
12
D
∵AC2+CD2=52+122=169 3
AD2=132=169
A
13
∴AC2+BC2=AD2
∴△ACD是直角三角形
S
SABC
SACD
1 2
3 4
1 2
5 12
36
S四边形ABCD=36
如图，有一块地，已知，AD=4m，
CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，
BC=12m。求这块地的面积。
假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝
游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走 8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往 西走3千米，再折向北走到6千米处往东一 拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
解：如图可知
在直角三角形ＡＢＣ 中,AC=６KM,BC=8KM, 根据勾股定理得：
A =625
225
400
81
B =144
225
1 如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边长是 8厘米，则正方形A，B，C， D的面积之和是________平 方厘6米4