根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2π 变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点 附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形 成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则 形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的 极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。
列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。
（5）
X(z) x(n)zn n
x(n)1 X (z)zn 1dz 2π jc
c (R x,R x)
这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变 换定义。
（6）
x(n)21 X(ej)2d
n
2π 2
n x (n)y(n)21πcX(v)Y(v1)dvv
1Байду номын сангаас
1
maRxx,R [y]vmiRnx,[Ry]
RxRy1RxRy
前两式均称为巴塞伐尔定理， 第一式是用序列的傅 里叶变换表示， 第二式是用序列的Z变换表示。 如果令 x(n)=y(n)， 可用第二式推导出第一式。
（7） 若x(n)=a|n|, 则
X(z)(1a1z)1(a2az1)
a z a1
例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为
X(ej)1a1ej
a 1
1
求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中，
得到
X(z) 1az1
因极点z=a， 取收敛域为|z|>|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。
（2） ZT的逆变换为
x(n)1 X (z)zn 1 dz 2π jc
2.3
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。
2.1.2 重要公式
（1）
X(ej) x(n)ejn n
x(n)21－ ππX(ej)ejnd
这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。 注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件， 即
x(n)
n
（2） 若y(n)=x(n)*h(n), 则
Y(ej)X(ej)H(ej)
这是时域卷积定理。
2.4 例
［例2.4.1］ 已知IIR数字滤波器的系统函数
H(z)101.9z1
试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻）。 （某
解： 将系统函数写成下式:
H(z)101 .9z1＝ zz0.9
系统的零点为z=0， 极点为z=0.9， 零点在z平面的原点， 不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波 器的通带中心在ω=0处。 毫无疑问， 这是一个低通滤波器。
2.1.1
（1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在 条件。
（2）傅里叶变换的性质和定理： 傅里叶变换的周期性、 移位与频移性质、 时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、 频域 卷积定理、 频域微分性质、 实序列和一般序列的傅里叶变 换的共轭对称性。
（3）Z变换的正变换和逆变换定义， 以及收敛域与序 列特性之间的关系。
x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一 些测试题都是用它演变出来的。
2.2 FT和ZT
（1） FT的逆变换为
x(n)1 π X(ej)ejnd 2π－ π
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收 敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取 单位圆。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 学习要点与重要公式 2.2 FT和ZT的逆变换 2.3 分析信号和系统的频率特性 2.4 例题 2.5 习题与上机题解答
2.1
数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里 叶变换（FT）、 Z变换（ZT）。 利用它们可以将信号和系 统在时域空间和频域空间相互转换， 这大大方便了对信号 和系统的分析和处理。
（5） Z变换的定理和性质： 移位、 反转、 z域微分、 共轭序列的Z变换、 时域卷积定理、 初 值定理、 终值定理、 巴塞伐尔定理。
（6） 系统的传输函数和系统函数的求解。 （7） 用极点分布判断系统的因果性和稳定性。 （8） 零状态响应、 零输入响应和稳态响应的求解。 （9） 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。
两者种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系 统的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种 推广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶 变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信 号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快 速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。 但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号 的时域和频域， 都进行了离散化， 这是它的优点。 但更 有它自己的特点， 只有掌握了这些特点， 才能合理正确地 使用DFT。 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其 FFT将在下一章学习。
c (R x,R x)
求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。 用围线积分法求逆Z变换有两个关键。 一个关键是知道 收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句 话： ① 收敛域包含∞点， 序列是因果序列； ② 收敛域在某 圆以内， 是左序列； ③ 收敛域在某圆以外， 是右序列； ④ 收敛域在整个z面， 是有限长序列； ⑤ 以上②、 ③、 ④均未 考虑0与∞两点， 这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键 是会求极点留数。
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
（3） 若y(n)=x(n)h(n), 则
Y(ej)1H(ej)X(ej) 2π
这是频域卷积定理或者称复卷积定理。
（4）
xe(n)12[x(n)x(n)]
xo(n)12[x(n)x(n)]
式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序