师大附中2011年高一自主招生考试
数学测试题
一、选择题（每小题6分，共30分。
每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
1、下列图中阴影部分面积与算式2
131242-⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
的结果相同的是( )
2、下列命题中正确的个数有( )
① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围 内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4
3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。
甲旅行社告知： 父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价， 即每人均按八折收费。
若这两家旅行社每人的原标价相同，那么( )
A 、甲比乙更优惠
B 、乙比甲更优惠
C 、甲与乙相同
D 、与原标价有关
4、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，
若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切 时，圆心O 移动的水平距离为( )
A 、2π
B 、π
C 、32
D 、4
5、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，则m n + 等于( )
A 、36
B 、37
C 、38
D 、39
二、填空题（每小题6分，共48分）
1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。
2、若化简
16
812+---x x x 的结果为
5
2-x ，则
x
的取值范围
是 。
3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。
甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。
4、已知点A 是一次函数x y =的图像与反比例函数x
y =的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OB OA =（O 为坐标原点），则AOB ∆的面积为 。
5、如果多项式212x px ++可以分解成两个一次因式的积，那么整数p
的值
是 。
6、如右图所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向AB 作垂线PQ ，Q 为垂足。
延长QP 与AC 的延长线交于R ，设BP =x
（01x ≤≤），△BPQ 与△CPR 的面积之和为y ，把y 表示为x 的函数是 。
7、已知12x x ，为方程2420x x ++=的两实根，则3121455x x ++= 。
8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道。
三、解答题（本大题6小题，共72分）
1、（10分）在ABC ∆中，AC AB =， 45=∠A 。
AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E 两点，连结CD ，如果1=AD ，求：BCD ∠tan 的值。
2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。
现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。
经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。
价格（万元／
⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？
⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中2=
BF。
AF，1=
为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P 在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。
4、（12分）如图所示等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD CB =,对角线AC 与BD 交于O ,60ACD ∠= , 点S P Q 、、分别是OD OA BC 、、的中点。
求证：△PQS 是等边三角形。
5、（12分）如右图，直线OB 是一次函数2y x =的图像，点A 的坐标是（0，2），点C 在直线OB
上且△ACO 为等腰三角形，求C 点坐标。
6、（14分）已知关于x 的方程018)13(3)1(22=+---x m x m 有两个正整数根（m 是整数）。
△ABC 的三边a 、b 、c 满足32=c ，0822=-+a m a m ，0822=-+b m b m 。
求：⑴ m 的值；⑵ △ABC 的面积。
师大附中2011年高一自主招生考试
数学试题参考答案
一、1、B ，2、B ，3、B ，4、C ，5、B 二、1、2 2、41≤≤x 3、甲、乙 4、
2
5、7,8,13±±±6
242)x x -+ 7、7 8、
20
三1、有已知可得CDE ADE ∆∆和均为等腰直角三角形，计算得12-=BD ，在直角三角形BCD 中，12tan -==
∠CD
BD
BCD 。
2、（1）设购买x 台甲机器，则34)6(57≤-+x x ，所以2≤x 。
即x 取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。
（2）按方案①，所需资金3056=⨯（万元），日产量为360606=⨯（个）；按方案②，所需资金325571=⨯+⨯（万元），日产量为4006051001=⨯+⨯（个）；按方案③，所需资金为344572=⨯+⨯（万元），日产量为4406041002=⨯+⨯（个）。
所以，选择方案②。
3、如图所示，为了表达矩形MDNP 的面积，设 DN ＝x ，PN ＝y ，则面积 S ＝xy ， ①
因为点P 在AB 上，由△APQ ∽△ABF 得
2
1
)4(24=---x y ，即y x 210-=．
代入①，得y y y y S 102)210(2+-=-=， 即2
25)25(22+--=y S ． 因为
3≤y ≤4，而y ＝
2
5
不在自变量的取值范围内，所以y ＝2
5不是最值点，
当y ＝3时，S ＝12；当 y ＝4时，S ＝8．故面积的最大值是S ＝12． 此时，钢板的最大利用率是80％。
4、连CS 。
∵ABCD 是等腰梯形，且AC 与BD 相交于O ，
∴AO=BO,CO=DO.
Q
N
M
P A
F B
C
D
E
∵∠ACD=60°，∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形. ∵S 是OD 的中点，∴CS ⊥DO.
在Rt △BSC 中，Q 为BC 中点，SQ 是斜边BC 的中线，∴SQ=12
BC.
同理BP ⊥AC.
在Rt △BPC 中，PQ=12
BC.
又SP 是△OAD 的中位线，∴SP=12
AD=12
BC.
∴SP=PQ=SQ.
故△SPQ 为等边三角形.
5、若此等腰三角形以OA 为一腰，且以A 为顶点，则AO=AC 1=2. 设C 1（,2x x ），则得2
22(22)2x
x +-=，解得8
5
x =
，得C 1（816,55
）
若此等腰三角形以OA 为一腰，且以O 为顶点，则OC 2=OC 3=OA=2.
设C
2（'
'
,2x x ），则得'2
'22(2)2x
x +=，解得'x =
得C 2 又由点C
3与点C 2关于原点对称，得C 3（ 若此等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，从而其横坐标为12
，得C 4
（1,12
）.
所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为： （816
,55
），）
，（，C 4（1,12） 6、（1）方程有两个实数根，则012≠-m ，解方程得
161+=
m x ，13
2-=m x ．由题意，得11,2,3,6,11,3,m m +=⎧⎨-=⎩
即⎩
⎨
⎧==.4,2,
5,2,1,0m m
故2=m ．
（2）把2=m 代入两等式，化简得0242=+-a a ，0242=+-b b ， 当b a =时，22±==b a ．
当b a ≠时，a 、b 是方程0242=+-x x 的两根，而△＞0，由韦达定理得，
4=+b a ＞0，2=ab ＞0，则a ＞0、b ＞0．
①b a ≠，32=c 时，由于2222124162)(c ab b a b a ==-=-+=+ 故△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，S △ABC ＝
12
1
=ab ． ②22-==b a ，32=c 时，因)22(2-<32，故不能构成三角形，不合题意，舍
去．
③22+==b a ，32=c 时，因)22(2+＞32，故能构成三角形．
S
△ABC ＝12
⨯
综上，△ABC 的面积为1或2129+．。