省重点高中自主招生考试数学试卷 2018.3本次考试不能使用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。

每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分） 1．下列计算正确的是（ ▲ ）A ．4212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- B ．()532)()(a a a -=-+-C ．336)()(a a a -=-÷- D ．()623a a -=-2．如图是某一几何体的三视图，其表面积为（ ▲ ）A ．π24B ．π21C ．π15D ．π123．自然数7、8、8、a 、b ，这组数据的中位数为7，且唯一．．的众数是8，那么，所有满足条件的a 、b 中，b a +的最大值是（ ▲ ）A ．9B ．10C ．11D ．124．在抛物线2x y =上任取一点A （非坐标原点O ），连结OA ，在OA 上取点B ，使OB=31OA ， 则顶点在原点且过点B 的抛物线的解析式为（ ▲ ） A ．231x y =B ．29x y =C ．291x y = D ．23x y = 5．函数12+=x y 与反比例函数x k y =的图象有一个交点为M （m ，3），则不等式12-<xkx 的解为（ ▲ ） A ．3<x B ．23-<x 或10<<x C ． 1>x 或023<<-x D ．1>x 或23-<x 6．一个三角形中一边上的高大于这条边，称这条边为“优边”．那么，一个三角形中“优边”的条数最多为（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．3主视图 俯视图（第2题）7．水果店进1吨水果，进价每千克6元，售价每千克11元，销售过程中有2%的水果被损 坏而不能出售．售出进货总量的一半后，为尽快售完，余下的水果准备打折出售．为使 总利润不低于3300元，在余下的水果的销售中，营业员最多能打几折优惠顾客？答：（ ▲ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 8．设a 、b 、c 都是实数，有如下三个命题：①若0<b<2，且a 2+ab+c>0，则c>1；②若c>1，且0<b<2，则a 2+ab+c>O ；③若a 2+ab+c>0，且c>1，则O<b<2． 其中真命题（ ▲ ）A ．只有①B ．只有②C ．①和②D ．②和③ 9．如图，Rt △ABC 中，∠=∠Rt C ，BC =26，⊙O 与AB 相切于D ，与AC 相交于E ，ED ∥BC ，且22tan =∠ADE ，BD =23，则⊙O 的半径是（ ▲ ）A ．23B ．32C ．24D ．6210．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“※”，满足x ※y =57)1()1(249462222-+++-++y x y xy x ，且 x ※y ※z =（x ※y ）※z ．在下列各结论中：①2※1=5；②x ※3=6；③这一运算满足交换律，即x ※y =y ※x ；④2014※2013※2012※……※4※3※2=19．其中正确的个 数是（ ▲ ）A ．1B ．2C ．3D ． 4 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．等式()1112=--x x 成立的条件是 ▲ ．ABCDEO． （第9题）13．国际上通常用恩格尔系数（记作n ）来衡量一个国家和地区人民的生活水平的状况，它 的计算公式：xn y=（x ：家庭食品支出总额；y ：家庭消费支出总额）．各种家庭类型的 n 如下表：和2010年完全相同的情况下多支出2000元，并且y=2x+3600(单位：元)，则该家庭2013 年属于 ▲ （填家庭类型）．14．已知不等式63<x 的解都能使不等式7)2(->-a x a 成立，则a 的取值范围为 ▲ ． 15．如图，等腰△ABC 的底边在y 轴正半轴上，顶点C 在第一象限，延长AC 交双曲线xky = 于D ，且CD=AC ，延长CB 交x 轴于E ．若△ABE 的面积为5，则k = ▲ ．16．已知，点I 是△ABC 的内心， E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF 过点I ，AE=AF ，BE=4，CF=3，则EF 的长为▲ ．三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，满分80分）17．你先化简224(2)24a aa a a -+÷+-，再从-2 ， 2中选择一个合适的数代入求值.18．大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如5323+=，．I AC B FE (第16题)119733++=， ,1917151343+++=，（1）求37分裂的结果；（2）若3m 分裂后，其中有一个奇数为2015，求m 的值．19．如图，□ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，AE 垂直平分BC ，分别交BD 、BC 于点F 、E ，已知3sin 5BAE ∠=，AB =10． 求AO 和AF 的长．20．某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A ，B 两种型号，乙品牌有C,D,E三种型号.朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机. （1）利用树状图或列表法写出所有的选购方案；（2）若各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C 型号打印机被选购的概率是多少？ （3）各种型号的打印机的价格如下表：朝阳中学购买了两种品牌的打印机共30台，其中乙品牌只选购了E 型号，共用去资金 5万元，问E 型号打印机共购买了多少台？21．如果一个矩形纸片用平行于边的线段分成n 个小矩形纸片（这些小矩形可以互相全等，也可以不全等），若所有分成的小矩形纸片与原矩形相似，则称这样的矩形为n 阶自相似矩形．如一组邻边长分别为1，2的矩形Q 分割成两个全等的矩形，与原矩形是相似的，因此矩形Q 是2阶自相似矩形．请找出所有较短边长为1的3阶自相似矩形，画出分割示意图，写出较长边的长（结 果保留根号）．22．若三角形的一边和该边上的高相等的三角形称为“优美三角形”．（1）如图①，在3×3的网格中找一个格点C ，使得△ABC 是优美三角形．符合条件的C 点共几个？ （2）已知抛物线2yax 经过A （1-，1)，P 是y 轴正半轴上一动点（除原点），射线AP与抛物线交另一点B ．问△AOP 和△POB 是否一定是“优美三角形”，若是，说明理由；若不是，求出当P 点在什么位置时，能使其成为“优美三角形”．23．我们把自变量为x 的函数记作)(x f ，)(m f 表示自变量m x =时，函数)(x f 的值． 已知22463)(22+++-=a a ax x x f ，其中a 为实数．（1）若在50≤≤m 的范围内，存在m ，使)3()54(2m f m f -=-，求a 的取值范围； （2）当12≤≤-x 时，)(x f 的最小值为4，求所有满足条件的a 的值．BAAOPxyB图①图②(第22题)24．如图①，在平面直角坐标系中，点M 在x 轴正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴 于C ，D 两点，且C 为 的中点，连结CE 、CB ，已知A （2 ，0），AE =8． （1）求点C 的坐标和⊙M 的半径；（2）过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ，动点F 在⊙M 上运动，设OF =y ，PF =x 求y 与x 的函数解析式；（3）如图②过E 作弦EF ，交CB 于H ，若CE =CH ，求EF 的长．AE（图①）（第24题）（图②）数学试题参考答案及评分一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。

每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）说明：第14题第一空2分，第2空3分三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，满分80分） 17．（本题8分） 解：原式=[2(2)(2)2(2)a aa aa ]×244a a-------------------------1分=42a×(2)(2)4aaa----------------------------------------3分=2a a--------------------------------------------------------6分取2a 代入：原式22122-------------------------------------------8分18．（本题8分）解：（1）设132321273++++++=n n n -------------------------------1分即3434914=+n ，---------------------------------------------------2分 解得21=n所以55454373+++= ---------------------------------------------4分 （2）3m 分裂后的首项为1)1(+-m m -----------------------------------5分 当44=m 时，18931)1(=+-m m ，当45=m 时，19811)1(=+-m m ------6分当46=m 时，20711)1(=+-m m ---------------------------------------7分 45=∴m --------------------------------------------------------8分 19．（本题8分）解： AE 垂直平分BC ，∴AC=AB =10 -----------------1分 □ABCD ∴AO=21AC=5---------------------------2分 3sin 5BAE ∠==ABBE ∴BE =6，BC =AD =12 ∴AE =8------------4分 □ABCD ∴AD ∥BE ∴△AFD ∽△BEF --------------------------6分 ∴2==BE AD FE AF ∴AF=31632=AE ------------------------------8分 20．（本题8分）解：（1）所列树状图或列表如下：结果为（A,C ）,（A,D ）,（A,E ）,（B,C ）,（B,D ）,(B,E)；-----------------------2分（2）由（1）知C 型号被选购的概率为31；-------------------------------------4分 （3）设选购E 型号的打印机x 台（x 为正整数），则选购甲品牌(A 或B 型号)(30-x )台,由题意得，当甲品牌选A 型号时：1000x +(30-x )×2000=50000，解得x =10；-------6分 当甲品牌选B 型号时：1000x +(30-x )×1700=50000，解得x =710(不合题意).-------7分 故E 型号的打印机共购买了10台.---------------------------------------------8分 21．（本题10分）解：设较长边的长为a有以下四种情形：（1） （2 C D E AA,C A,D A,E BB,CB,DB,Ex x a -较长边3=a ----------2分 较长边2=a ---------2分（3）较长边26=a ------------3分 较长边251+=a -----------3分22．（本题12分）（1）共8个；-------------------------------------------------------2分（2）△POB 一定是“优美三角形”，△AO P 不一定是“优美三角形”---------------4分 ∵抛物线2yax 经过A(-1,1)，∴1a即2y x过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，D ，设OP=m,BD=n,由△DPB ∽△APM ，得：211n n mm 可得：(1)()0n m n ，------------------------------5分因点B 一定在y 轴右侧，0>n ，所以01≠+n ------------------------------6分 ∴0m n 即m n ----------------------------------------------------7分 ∴△POB 一定是“优美三角形”．-------------------------------------------8分 对于△AO P ，当AO 边上的高等于AO 时，P （0,2）；---------------------9分 当PO 边上的高等于PO 时，P （0,1）；---------------------10分 当AP 边上的高等于AP 时，过O 、A 分别作ON ⊥AP ，AM ⊥OP ，则OP ×AM=ON ×AP ，即2AP PO ， 另一方面22222(1)1APPM AM PO22(1)1POPO ---------------------------------11分解得：PO=1或2---------------------------------------12分 1 x21 21x a -1xx a -yy -1AOP y BM ND综上所述，当△AO P 是“优美三角形”时， P 点的坐标为P （0,1）或P （0,2）． 23．（本题12分）解：2246322+++-=a a ax x y22)(32236322222+++-=++++-=a a a x a a a ax x抛物线的对称轴是直线a x =------------------------------1分 （1）由题意知23542m m a -+-=，即1)2(212+--=m a ----------------3分50≤≤m ，∴求a 的取值范围是127≤≤-a ---------------5分 （2）当12<<-a 时，y 在a x =处取到最小值4222=++a a ------------------------------------------6分 解得：13-=a 或13--=a （不合，舍去）---------------------------7分当2-≤a 时，则y 在2-=x 处取到最小值422412122=++++a a a ----------------------------------------------------8分 整理得：05722=++a a 解得：25-=a 或1-=a （不合，舍去）------------------------------------------9分 当1≥a 时，则y 在1=x 处取到最小值4224632=+++-a a a ----------------------------------------------------------10分整理得：01442=+-a a解得：21=a （不合，舍去）------------------------------------------------------11分 综上所述13-=a 或25-=a ---------------------------------------------------12分（初中学科综合知识竞赛数学试题卷第11页共11页）24．（本题14分）解：(1)连结CM 交AE 于N ，C 为弧AE 的中点，∴MN ⊥AE ，AN=4AM=CN ，∠AMN=∠CMO ，∴△AMN ≌△CMO ∴OC=4，即C （0，4）-----------------------------2分 设AM=CM=x222CM OC OM =+，∴2224)2(x x =+- 解得：5=x -------------------------------------------5分（2）连MD ， PD 切⊙M 于D ，可得PM=325--------6分动点F 在⊙M 上运动，连结OF ，PF53=MP MF ，53=MF OM ∴MF OM MP MF =，∠OMF=∠FMP ∴△OMF ∽△FMP∴53=x y ，即x y 53=----------------------------------9分(3) 连结EB ，BF ，过B 作BG ⊥EF ，AB 为直径，∴∠AEB= 90，BE=6-----------------------10分 CE =CH ， ∴∠CEH=∠CHE弧AC=弧EC ，∴∠CEA=∠CBE ， ∠CHE=∠CBE+∠BEH∴∠FEA=∠BEH=45---------------------------------------------12分 ∴BF=52，EG=BG=23∴FG=24，∴EF=27-----------------------------------------（图②）。