(t) (2t) (2t 1) (t) (2t) (2t 1)
• 小波函数的重要价值在于通过平移和伸缩生成 L2(R) 中的一组正交基
(2k t n, k, n N
f (t)
d
k n
(2k
t
n
k ,n
• MATLAB有各种小波基函数库,信号分解为正交函数和是信号分析的一个 重要内容,傅立叶级数、傅立叶变换、离散傅立叶变换、离散余弦变换、 小波变换等。
Wal(6,t) Wal(4,t)Wal(2,t)
Wal(7,t) Wal(4,t)Wal(2,t)Wal(1,t) Wal(6,t)Wal(1,t)
• 上述波形也称为“小波”。小：具有衰减性、局部非零的的函数; 波:指具有波动性,振幅呈正负之间的震荡形式
• 利用所给的小波能否派生更多\更适用的小波函数?
பைடு நூலகம்
范数与信号自身的能量、强度等特征相对应，而内 积与信号之间的相关密切相连。
x (x1, x2), y ( y1, y2)
两矢量夹角 1 2
x1 y1 x2 y2
x 2
y 2 cos(1 2 )
三维矢量内积运算 x1 y1 x2 y2 x3 y3 ，当夹角为90度时， 结果为零；夹角为0时，结果最大。
E , P 0
4、正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2)构成一个 正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来 近似，可表示为
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2) 内为最小。
3、正交函数集实例
例1：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 例2:虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…} 是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
例3:沃尔什函数(walah)是区间（0，1）的完备正交函数集
p1
Wal (k,t) Sgn cos(kr 2r t)
3
VxVyT vxivyi 0
i 1
由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集
例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量 集{ vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干
相当于矢量范数不变性(内积不变性)的体现
一. 信号矢量空间
1.线性空间 其中任意两元素相加构成集合内的另一个元素,任一元素
与任一数相趁乘后得到集合内的另一元素.
n维实数空间 RN
连续时间信号空间L
离散时间信号空间 l
在线性空间利用线性运算研究线性相关、基、维数等线性结构
n维实数空间为有限维空间，连续、离散时间信号空间为 无穷维空间
[
2C
i
f
(t ) i
(t)
Ci2
2 i
(t
)]
d
t
0
2
t2 t1
2.范数、赋范空间
范数是矢量长度的度量方法，也用于表示信号能量
a) RN 的范数
x
p
N 1
1/ p
xi
p
max
1i N
xi
1 p p
常见的有
.
1
，. 2
，.
。. 2
称为欧氏距离
a) L和 l 范数
.x
p
x(t) p dt 1/ p sup x(t)
1 p p
.x
p
L空间两信号的内积：
x, y x(t) y (t)dt
x, x x(t) 2dt x 2
2
x, y x(n) y * (n) nZ
二.信号的正交分解
1、矢量正交与正交分解
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：
其内积为0。即
x(n)
p 1/ p
sup x(n)
1 p p
.x x(t)dt 1
.x
2
1/ 2
x(t) 2dt
.x 2 x(t) 2dt
2
二阶范数的平方表示信号能量， x 表示信号可测得的蜂值 给出了范数的概念可构成线性赋范空间，如 L1 L2 L l 等
3.内积,内积空间
个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它 们的线性组合。
2、正交函数集
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
t2 t1 i
(t)
j* (t) d t
0, Ki
0,
i j i j
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，当这些 函数在区间(t1，t2)内满足
r0
Wal(0,t) Sgncos0t 1
0t 1
Wal(1,t) SgncostSgncos0t Sgncost
Wal(2,t) Sgncos2t
Wal(3,t) Sgncos2tSgncost Wal(1,t)Wal(2,t)
Wal(4,t) Sgncos4t
Wal(5,t) Wal(4,t)Wal(1,t)
第二章 连续信 号傅立叶分析
2.1信号的正交分解
概念
• 信号与多维矢量之间的相似关系
•空间感念
数学定义:把具有某种特性的集合称为“空间” 线性矢量空间：引入线性运算的矢量空间 范数:矢量长度类似 线性赋范空间 内积空间
•信号能量与矢量长度的相似
信号相关性类似于矢量之间的夹角 内积空间的正交性 内积空间信号的正交展开 帕塞瓦尔公式揭示了信号正交分解能量不变性的物理本质,
t2 t1
1
(t
)
2
*
(t
)
d
t
0
i (t), j (t) 0 i (t),i (t) Ki
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外，不存在
函数φ(t)(≠0）满足
t2 t1
(t)i
(t)
d
t
0
则称此函数集为完备正交函数集。
通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为
2 1
t2 t1
t2 [ f (t)
t1
n
C j j (t)]2
j 1
dt
为使上式最小
2
Ci Ci
t2 [ f
t1
(t)
n
C j j (t)]2
j 1
dt
0
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为
Ci
t2 t1