dy 2x 其中 x 1时, y 2 dx
y 2xdx 即 y x2 C, 求得C 1,
所求曲线方程为 y x2 1 .
例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
四、小结
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
(t 2 x)dt xdx 0,
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之.
对于未知函数y及其导数都是一次的
分类3: 线性与非线性微分方程.
y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0; y xy, y 2 y 3 y e x ,
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx

3
y2z, dzcoskt ,
d2 dt
x
2

k
2C1
cos
kt

k
2C2
sin
kt ,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程
,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
C2 1.
y(0) 2, y C1 cos x C2 sin x
C1 2.
所求特解为 y 2sin x cos x.
请你动手做
验证：y sin 2 x, y e2x , y 3e2x 哪些是微分方程 y 2 y 0 的解？ 哪个是满足初始条件 y(0) 1 的特解？
x A, t0
C1 A, C2 0.
dx 0,
dt t0
dx
( dt
kC1 sin kt kC2 cos kt )
所求特解为 x Acos kt.
例4 验证：函数 y C1 sin x C2 cos x是微分方 程 y+y=0 的通解，求满足初始条件 y(0) 1, y(0) 2 的特解
yx x0

y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例 3 验证 :函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分
方程d 2x dt 2

k2x

0的解.
并求满足初始条件
x
t0

A,
dx dt
t0

0的特解.
(k 0)
解

dx dt

kC1
sin
kt

kC2
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2

0.4
t 0时, s 0, v ds 20,
dt
v

ds dt

0.4t

C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件
C1 20, C2 0
故 v ds 0.4t 20, dt
初始条件: 用来确定任意常数的条件.
y x x0

y0
y x x0

y0 , y x x0

yx0
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)

y
x
x0

y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)

y
x

x0

y0 ,
的解
微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有相互独立的任意常 数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y,
通解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.
第一节 微分方程的基本概念
一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题——求方程的解 四、小结 思考题
一、问题的提出
例 1 一 曲 线 通 过 点 (1 ,2 ),且 在 该 曲 线 上 任 一 点
M (x ,y)处 的 切 线 的 斜 率 为 2x,求 这 曲 线 的 方 程 . 解 设所求曲线为 y y( x)
分类2:按微分方程的阶数分类
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶(n)微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
(t 2 x)dt xdx 0, y xy, y 2 y 3 y e x ,
s 0.2t 2 20t,
开始制动到列车完全停住共需 t 20 50(秒), 0.4
列车在这段时间内行驶了
s 0.2 502 20 50 500(米).
二、微分方程的定义
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy,
y 2 y 3 y e x ,

2y

z,
dx
三、主要问题-----求方程的解
微分方程的解: 设函数y ( x)在区间 I 上存在 n 阶连续导数且有恒等式
F ( x, ( x),( x),, (n)( x)) 0.
则称 y ( x) 为方程 F x, y, y, ... y(n) 0 在区间I上
解 y C1 cos x C2 sin x, y C1 sin x C2 cos x,
将y和y的表达式代入原方程,
C1 sin x C2 cos x+C1 sin x C2 cos x 0
y C1 sin x C2 cos x 是原方程的解.
y(0) 1,