多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。

介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。

关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。

函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。

微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。

有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。

同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。

举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。

还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。

一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。

通过对求解多元函数条件极值问题的研究，从中找到求出极值的不同方法，在不同的实际应用中对相关问题运用与其相适应的方法，从而在解决问题的过程达到最优化。

学生在遇到不同的问题时能够从中找到突破口，能让这些求解放法扎根于学生的思维中，运用到学生的实际问题中去，并且在解决实际问题的同时，自己的思维能力以及解题能力得到较好的发展。

2 多元函数极值 2.1多元函数无条件极值在解决实际问题中，我们已经看到了最大值最小值的重要性。

求函数的最大值、最小值时，涉及到函数的自变量往往不止一个，因此，就需要求多元函数的最大值、最小值。

而最大值与最小值与极值有着密切的联系。

首先我们给出多元函数的极值概念，并利用一元函数极值的性质，推断出多元函数极值的性质。

定义 2.1]1[设函数(,)z f x y =在点000(,)p x y 的某邻域0()u p 内有定义，若对任何0(,)()p x y u p ∈，都有0()()f p f p ≤（或0()()f p f p ≥）。

则称函数g 在点0p 取到极大（或极小）值，点0p 称为f 的极大（或极小）值点。

极大值（极小值）统称极值，极大值点（极小值点）统称为极值点。

由定义知，若f 在点00(,)x y 取极值，则当固定0y y =时，一元函数0(,)f x y 必定在0x x =取相同的极值，若00(,)x f x y '也存在，利用一元函数取极值的必要条件知00(,)0x x d f x y dx ==，即00(,)0x f x y '=。

同理一元函数0(,)f x y 在0y y =也取相同的极值，若00(,)0y f x y '=也存在，则00(,)0x f x y '=，因此有定理2.1[]2（极值的必要条件）若函数f 在点000(,)p x y 存在偏导数且在0p 取极值，则有0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''== （2.11）反之，若函数f 在点0p 满足（2.11），则称点0p 为f 的稳定点或驻点。

若f 存在偏导数，则其极值点必是稳定点，但反之不一定成立。

例(,)f x y xy =，(,),(,),x y f x y y f x y x ''==但(,)f x y 在点(0,0)o 处不取极值。

这是因为在(0,0)o 点的任何一个邻域()u o 中，若()p u o ∈，当p 在一，三象限时，()0f p >。

当p 在二四象限时，()0f p <。

因此，(0,0)f 不是极值。

若(,)f x y 在点00(,)x y 取极值，(,)f x y 的偏导数只有两种情形：（i ）0000(,),(,)x y f x y f x y ''都存在，则00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=。

即点000(,)p x y 为稳定点。

（ii ）0000(,),(,)x y f x y f x y ''至少有一个不存在。

因此，(,)f x y 的极值点一定包含在稳定点火偏导数不存在点统称为极值点的怀疑点之中。

例 2.1 设(,)(,)f x y f x y =存在点(0,0)处偏导数不存在，但(,)x y R ∈时，有(,)(0,0)0f x y f ≥=，因此，(0,0)f 为极小值。

极值点的怀疑点找出来后，若是偏导数不存在的点00(,)x y ，可用函数值不等式来检验点00(,)x y 是否为极值点；若是稳定点，我们又下面的定理。

定理2.2[]3（极值的充分条件）设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域0()u p 连续且有一阶与二阶连续偏导数，如果00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=，设000000(,),(,),(,)xxxy yy A f x y B f x y C f x y ''''''===，则 （1）当20B AC -<时，00(,)f x y 一定为极值，并且当A （或C ）0>时，00(,)f x y 为极小值；当A （或C ）0<时，00(,)f x y 为极大值；（2）当20B AC ->时，00(,)f x y 不是极值；（3）当20B AC -=，还不能断定00(,)f x y 是否为极值，须作进一步研究。

由前述定理知，若()f p 在有界闭区域G 上连续，则()f p 在G 上一定能取到最大值与最小值。

即存在12,p p G ∈，有12(),()f p m f p M ==，对一切p G ∈，有()m f p M ≤≤。

最大值，最小值也可以在边界点取到，也可以在内部取到。

当在内部取到时，最大值、最小值点一定是极值点，则一定是稳定点或偏导数不存在点。

因此，最大值、最小值点一定包含在区域内部的稳定点和偏导数不存在点的点及边界点（边界函数值最大值与最小值点）之中（注意与区间端点不同的是闭区域G 的边界点又无数个，若2G R ⊂，边界点是边界曲线上的点，若3G R ⊂，边界点是边界曲线上的点，若3G R ⊂，边界点是曲面上的点），这些怀疑点中函数值中的最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值。

若根据实际问题一定有最大值（或最小值），而内部有唯一可疑点，则改点的函数无须判断一定是最大值（或最小值）。

例 2.2 设D 是由x 轴，y 轴及直线2x y π+=所围成的三角形区域（图2.1）求函数sin sin sin()u x y x y =+-+在D 上的最大值。

解：由函数无偏导数不存在的点，图2.1 例题2.2示意图解方程组cos cos()0cos cos()0u x x y x u y x y y∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩（定理2.1） 解得22,,33x y ππ== 而在边界0x =或0y =或2x y π+=上，0u =。

因此22(,)33ππ是唯一的可疑点，所以为22(,)332u ππ= 2.2 多元函数条件极值前面我们讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域。

但在实际问题中还有另外一中类型的极值问题，其极值点的搜索范围还受到许多条件限制。

例如要设计一个容量为V 的长方体无上盖水箱，试问水箱长、宽、高各等于多少时，其所用的材料最少（即表面积最小）。

设水箱的长、宽、高分别为,,,x y z 则表面积为(,,)2()s x y z xz yz xy =++（3.1）定义域是0,0,0,x y z >>>，而且必须满足条件xyz v =（3.2）像这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题，不带约束条件的极值问题称为无条件极值问题。

条件极值问题的一般形式是在条件组12(,,,)0,1,2,,()n x x x k m m n χψ==<（3.3）的限制下，求目标函数12(,,,)n y f x x x =（3.4）以前像这类极值时，只能用消元法化为无条件极值问题。

前面的例子，由条件（3.2），解出v z xy =代入（3.1）式，有 11(,)(,,)2(),(0,0),v f x y s x y v xy x y xy y x==++>>由于(,)F x y 在定义域内无偏导数存在的点，解方程组22120120F v y x x F v x y y ∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩（定理2.1）解得x y z === 由实际问题表面积无最大值，只有最小值，因此，当x y z ===时表面积s = 然而，在一般情况下，要从条件组（3.3）中解出m 个变元并非容易，甚至解不出来，因此，我们要开辟解决问题的新途径。

从而产生了拉格朗日乘数法这种不直接依赖消元而求解条件极值的有效方法。

为了便于理解我们看比较简单的情形。

在所给条件(,,)0G x y z =（3.5）下，求目标函数(,,)u f x y z =（3.6）的极值。

设f 和G 具有连续的偏导数，且0G x∂≠∂，由隐函数存在定理，方程（3.5）确定一个隐函数(,)z z x y =，且它的偏导数为x z G z x G '∂=-'∂，y zG z y G '∂=-'∂，于是所求条件极值问题化为求函数 [],,(,)u f x y z x y =（3.7）无条件极值问题。

这用已经讲过的方法就可解决。

然而在实际计算中，要从（3.5）解出z 来，往往是很困难的，这时就可用下面介绍的拉格朗日（Lagrange ）乘数法来解。