一阶条件 必要条件
设f (x)，ci (x)(i E I )连续可微。设x *是问题（1）的局部最优解，
且ci (x*)(i A(x*) E I (x*))线性无关，则必存在i (i 1,2,, m),
？ 极值的条件
设n元函数f (x) f (x1, x2,, xn ) 具有偏导数，
点x* (x1*, x2*,, xn*) Rn
梯度
f (x) [ f , f ,, f ]T x1 x2 xn
Hesse矩阵
2 f

x12
2 f
2
f
(x)


两边除k，取极限得cj (x)T d 0
i E, ci (x) 0，等价于ci (x) 0且 ci (x) 0,故，ci (x)T d 0
同样可证性质2 设fi(x)在x*处可微，且取得局部极小值，则
d SFD(x*, X )，有f (x*)T d 0
令
A f xx (x0 , y0 ), B fxy (x0 , y0 ), C f yy (x0 , y0 )
则 (1) AC B2 0 时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0
时有极小值。
(2) AC B2<0时没有极值
(3)AC B2 0 不能确定
n元函数取得
可方行向使： 得
x*kdk X
且有dk d和k 0，则称d是X在x *处的序列可行方向
X在x*处的所有序列可行方向的集合记为SFD(x*, X )
序列可行方向的性质
性 设ci(x)在x处可微，则 d SFD(x, X )有
Hale Waihona Puke 质 1ccj (jx)T d 0, (j I (x)T d 0, (j
( x)) E)
证明 d SFD(x, X ), dk (k 1,2,)和k 0(k 1,2,)，
使得x k dk X ,且有dk d和k 0，则
j I(x),由Taylor公式，有
0 c j (x kdk ) c j (x) kcj (x)T dk o(k )
x *td X , t [0, ]
则称d是X在x*处的可行方向。X在x*处的所有可行方向集合记为FD(x*, X )
指 设x X，令 E {1,2,, me}
标 集
I {me 1,, m}
I (x) { j | c j (x) 0, j I}
起作用集 x X，集合A(x) E I(x)称为在x处的起作用集。
必要条件
若 函 数 f(x,y) 在 点 P(x0,y0) 存 在 两 个 偏 导 数 ， 且
P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则
驻点
fx(x0, y0 ) 0 与 f y(x0, y0 ) 0
充分条件 若函数z= f(x,y) 在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一
阶及二阶偏导数，又 fx(x0, y0 ) 0 与 f y(x0, y0 ) 0
c j (x) 0, j me 1,, m
几个概念：
其中，x Rn , f (x), ci (x)都是n元函数
可行域：X {x | x Rn,ci (x) 0,cj (x) 0,i 1,2,, me; j me 1,, m}
可行方向： 设x* X ,0 d Rn ,如果存在 0，使得
二阶条件 设n元函数f (x)存在二阶连续偏导数，x*是极小
值点，则 f (x*) 0,且2 f (x*)半正定
证明：f (x*) 0显然。
d Rn ,令x x * d，由Taylor公式有 0 f (x) f (x*) 1 2d T2 f (x * d )d
x2x1 2 f
xnx1
2 f x1x2

2 f
x1xn

2 f
x22 2 f

2 f
x2xn 2 f

xnx2
xn2
必要条件 一阶条件
若n元函数f(x)在存在偏导数，且x*是函数f(x)的极值
点，则 f (x*) 0
起作用约束在x的领域限制了可行点的范围。当点沿某些方向稍微 离开x时，仍能满足约束条件；而沿另一些方向离开x时，不论步长 多么小，都将违背这些约束。
对于非起作用约束（ci(x)>0），x是否是局部最优解与这些非起作 用约束无关。
序列设x* X , d Rn ,如果存在序列dk (k 1,2,)和k 0(k 1,2,
证明: 设x是x *邻域内任意一点，不妨设x x *d，则
f (x) f (x*) 1 2d T2 f (x * d )d 2
由于函数f (x)二阶连续偏导数，且2 f (x*)正定,则可选择, 使得x*d U (x*,)，且dT2(x*d)d 0
所以 f (x) f (x*)，即x*是f (x)的严格极小值点。
对于多元函数的条件极值，在高等数学中给出Lagrange乘子法。 Lagrange乘子法只给出可能极值点，没有给出判别这些点究竟是否 是极值点的方法，也没有给出判别是极大值点还是极小值点的方法。
问题： 对于一般的有约束极值问题，取得极值的条件是什么？
一般的 (1) 约束极 值问题：
min f (x) st. ci (x) 0,i 1,2,me
2
两边同除 1 2，取极限得 2
d T2 f (x*)d 0,d Rn
二阶充分条件
设n元函数f (x)存在二阶连续偏导数，f (x*) 0,则
(1)当2 f (x*)正定时，x*是f (x)的严格极小值点； (2)当2 f (x*)负定时，x*是f (x)的严格极大值点； (3)当2 f (x*)不定时，x*不是f (x)的极值点；