广东省名校2021届高三联考数 学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面内，复数)2(+i i 对应的点的坐标为（ ）．A ．)2,1(B ．)2,1(-C ．)1,2(D ．)1,2(-2．已知R 为实数集，集合)}3lg(|{+==x y x A ，}2|{≥=x x B ，则∁=)(B A R （ ）．A ．}3|{->x xB ．}3|{-<x xC ．}3|{-≤x xD ．}32|{≤≤x x 3．设R x ∈，则“1|2|<-x ”是“0322>-+x x ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件 4．10)1(x x-的展开式中4x 的系数是（ ）． A ．210-B ．120-C ．120D ．2105．若1>>>c b a ，且2b ac <，则（ ）．A ．a c b c b a log log log >>B ．c b a a c b log log log >>C ．a b c c a b log log log >>D ．c a b a b c log log log >>6．已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比为q ，且11>a ，217676>+>+a a a a ，记}{n a 的前n 项积为n T ，则下列选项错误的是（ ）．A ．10<<qB ．16>aC ．112>TD ．113>T 7．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积比值为（ ）． A ．35B ．932C ．34D ．925 8．已知圆1C ：1)22()3(22=-+-y x 和焦点为F 的抛物线2C ：x y 82=，点N 是圆1C 上一点，点M 是抛物线2C 上一点，点M 在1M 时，||||MN MF +取得最小值，点M 在2M 时，||||MN MF -取得最大值，则=||21M M （ ）． A ．22B ．23C ．17D ．24二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9．已知向量)1,1(=+b a ，)1,3(-=-b a ，)1,1(=c ，设a ，b 的夹角为θ，则（ ）．A ．||||b a =B ．c a ⊥C ．c b //D ．︒=135θ 10．已知函数x x x x x f 22cos cos sin 32sin )(-+=，R x ∈，则（ ）．A ．2)(2≤≤-x fB ．)(x f 在区间),0(π上只有一个零点C ．)(x f 的最小正周期为πD ．直线3π=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴11．已知双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线过点)23,26(P ，点F 为双曲线C 的右焦点，则下列结论正确的是（ ）． A ．双曲线C 的离心率为26B ．双曲线C 的渐近线方程为02=-y xC ．若点F 到双曲线C 的渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为12422=-y xD ．设O 为坐标原点，若||||PF PO =，则223=∆POF S 12．已知)(x f 是定义域为R 的函数，满足)3()1(-=+x f x f ，)3()1(x f x f -=+，当20≤≤x 时，x x x f -=2)(，则下列说法正确的是（ ）． A ．函数)(x f 的周期为4 B ．函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称 C ．当40≤≤x 时，)(x f 的最大值为2 D ．当86≤≤x 时，)(x f 的最小值为21- 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f ． 14．已知正数a ，b 满足1=+b a ，则ba b 1+的最小值为 ． 15．有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种．16．已知直线b kx y +=是曲线xe y =的一条切线，则b k +的取值范围是 ． 四．解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且32=c ，3)32sin(2=-πC ．⑴若22=a ，求角A ； ⑵求△ABC 面积的最大值．18．（12分）从①前n 项和p n S n +=2)(R p ∈；②116=a 且212+++=n n n a a a 这两个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答．在数列}{n a 中，11=a ， ，其中*N n ∈． ⑴求数列}{n a 的通项公式；⑵若m n a a a ,,1成等比数列，其中*,N n m ∈，且1>>n m ，求m 的最小值． （注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）19．（12分）已知三棱锥ABC M -中，22====AC MC MB MA ,2==BC AB ,O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且BC BN 32=． ⑴求证：⊥BO 平面AMC ； ⑵求二面角C AM N --的余弦值．20．（12分）在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第5局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方 2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲乙两队进行排球比赛：⑴若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局．接下来两队赢得每局比赛的概率均为21，求甲队最后赢得整场比赛的概率；⑵若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局比赛．在决胜局（第5局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为52，乙发球时甲赢1分的概率为53，得分者获得下一个球的发球权．设两队打了x （4≤x ）个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率)(x P ．21．（12分）已知21,F F 分别是椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点． ⑴若P 是第一象限内该椭圆上的一点，4521-=⋅PF PF ，求点P 的坐标； ⑵设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．22．（12分）设函数x a ax x f ln )(2--=，其中R a ∈．⑴讨论)(x f 的单调性；⑵确定a 的所有可能取值，使得xe xx f -->11)(在区间),1(+∞内恒成立（ 718.2=e 为自然对数的底数）.数学参考答案一、单项选择题：1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D 7.B 8.C 二、多项选择题：9.B,D 10.A,C,D 11.A,C 12.A,B,C 三、填空题：13. -2 14. 3 15. 36 16.(]e ，∞-17．【解】(1)由题意，得)2,0(,23)32sin(ππ∈=-C C ， 即)32,3(32πππ-∈-C ，所以332ππ=-C ，解得⋅=3πC（2分）由正弦定理，得3sin32sin 22π=A ，解得22sin =A .（4分）又a<c ，所以30π=<<C A ，所以4π=A . （6分）(2)在△ABC 中，3,32π==C c ，则由余弦定理，得c 2= a 2 +b 2-2ab cos C ， 即ab ab b a ≥-+=2212（8分）所以33sin 21≤=∆C ab S ABC （当且仅当a =b 时，即△ABC 为等边三角形时，等号成立）， 所以△ABC 的面积的最大值为33.（10分)18．【解】选择①：(1)当n =l 时，由S 1=a =1 =1，得p =0．（2分） 当2≥n 时，由题意，得21)1(-=-n S n ， （3分） 所以)2(121≥-=-=-n n S S a n n n .（5分）经检验，a 1 =1符合上式， 所以*)(12N n n a n ∈-=.（6分） (2)由a 1，a n ，a m 成等比数列，得m na a a 12=， （8分） 即)12(1)12(2-⨯=-m n .（9分）化简，得21)21(212222+-=+-=n n n m . (11分)因为m ，n 是大于1的正整数，且m >n ， 所以当n =2时，m 有最小值5．(12分)选择②：(1)由2a n +1=a n +a n+2，得a n +1- a n = a n +2- a n +1 所以数列{ a n }是等差数列．（2分）设数列{ a n }的公差为d ． 因为a 1 =1，a 6 =a 1+5d =11， 所以d =2．(4分) 所以)*(12)1(1 N n n d n a a n ∈-=-+=.(6分) (2)因为a 1，a n ，a m 成等比数列，所以m na a a 12=， （8分） 即)12(1)12(2-⨯=-m n .（9分）化简，得2121212222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=n n n m .（11分）因为m ，n 是大于1的正整数，且m >n ， 所以当n =2时，m 有最小值5．（12分）19．(1)【证明】连接OM .在△ABC 中，22,2===AC BC B A , .,2,90AC OB BO ABC ⊥==∠∴（2分）在△MAC 中,22===AC MC MA ,O 为AC 的中点，6,且AC OM ⊥∴.（3分）在△MOB 中，22,6,2===MB OM BO ,222MB OM BO =+∴ , OM OB ⊥∴.（4分）O OM AC = ，AMC AC 平面⊂，AMC OM 平面⊂,AMC OB 平面⊥∴.（5分）(2)【解】由(1)知OB ，OC ，OM 两两垂直，以点O 为坐标原点，分别以OB ， OC ，OM 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系O －xyz ，如图． （6分）22====AC MC MB MA ,2==BC AB).0,2,0(),6,0,0(),0,0,2(),0,2,0(C M B A -∴（7分）)0,322,32(,32N BC BN ∴=，)0,325,32(=∴AN ,)6,2,0(=AM ,)0,0,2(=OB . 设平面MAN 的法向量为n =（x ，y ，z ）,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=•=•=+=•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=•.062),,()6,2,0(,032532),,(0,325,32z y z y x n AM y x z y x n AN 令3=y ，则1-=z ，35-=x ，得)1,3,35(--=n .（9分）,ABC BO 平面⊥)0,0,2(=∴OB 为平面AMC 的一个法向量．（10分）)1,3,35(--=∴n 与)0,0,2(=OB 所成角的余弦值⋅-=⨯-=⋅793527965,cos OB n（11分）∴二面角N －AM －C 的余弦值为792375 （12分）20．【解】(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第4局赢或第4局输第5局赢， 所以甲队最后赢得整场比赛的概率为43212121=⨯+. （4分）(2)根据比赛规则，x 的取值只能为2或4，对应比分分别为16：14，17：15．比分为16：14是两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第1个球甲发球甲得分，打第2个球甲发球甲得分，此时概率为⋅=⨯=2545252)2(P （8分）比分为17：15是两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第1个球甲发球甲得分，打第2个球甲发球甲失分，打第3个球乙发球甲得分，打第4个球甲发球甲得分，或打第1个球甲发球甲失分，打第2个球乙发球甲得分，打第3个球甲发球甲得分，打第4个球甲发球甲得分，此时概率为⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=625725252535352535352)4(P （12分）21．【解】(1)因为椭圆方程为1422=+y x ，所以3,1,2===c b a ，可得),0,3(),0,3(21F F -设0,0)(,(>>y x y x P ,（2分）则453),3(),3(2221-=-+=--•---=•y x y x y x PF PF , 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,14,472222y x y x解得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==,23,,43,122y x x y x（4分）即⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1P . （5分）(2)显然x=0不满足题意，可设l 的方程为2+=kx y ，（6分）),(),,(2211y x B y x A -联立,01216)41(,2,142222=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k kx y y x（7分）由.43,012)41(4)16(222>>•+-=∆k k k 得 （8分） ⋅+=+-=+2212214112,4116k x x k k x x（9分）又∠AOB 为锐角，即0>•OB OA ，即0212>+y y x x i ，0)2()2(2121>+++kx kx x x， ,041)4(44)4116(24112)1(4)(2)1(2222221212>+-=++-+++=++++kk k k k k k x x k x x k（10分）可得42<k .又432>k ，即为4432<<k ，解得)2,23()23,2( --∈k .（12分）22．【解】(1)).0(1212)('2>-=-=x x ax x ax x f（1分） 当a ≤0时，0)('<x f ，)(x f 在),0(+∞内单调递减. （2分） 当a <0时，由0)('=x f ，有a x 21= 此时，当⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 21,0 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减;.当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21.a x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增. （4分） （2令,11)(1--=x e x x g x e x s x -=-1)(.则1)('1-=-x e x s .而当1>x 时，0)('>x s ，所以)(x s 在),1(+∞内单调递增. （5分） 又由0)1(=s ，有0)(>x s ，从而当1>x 时，0)(>x g ..当0≤a ，1>x 时，0ln )1()(2<--=x x a x f .故当)()(x g x f >在区间),1(+∞内恒成立时，必有0>a . （6分） 当210<<a 时，121>a .由(1)有0)1(21(=<⎪⎭⎫⎝⎛f a f ，而,021>⎪⎭⎫⎝⎛a g所以此时)()(x g x f >在区间),1(+∞内不恒成立. （8分） 当21≥a 时，令)1)(()()(≥-=x x g x f x h ，当1>x 时，01212111112)('2223212>+->+-=-+->-+-=-x x x xx x x x x x e x x ax x h x , 因此，)(x h 在区间),1(+∞内单调递增.又因为0)1(=h ，所以当1>x 时，0)()()(>-=x g x f x h ， 即)()(x g x f >恒成立.综上，a 的所有可能取值为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.（12分）。