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本章讲授内容
4.1 证券市场的单因素模型 4.2单指数模型 单指数模型 4.3估计单指数模型 估计单指数模型 4.4投资组合的构建与单指数模型 投资组合的构建与单指数模型 4.5指数模型在投资组合管理中的实际运 指数模型在投资组合管理中的实际运 用
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4.1 证券市场的单因素模型
4.1.1 马科维茨模型的输入表 投资组合选择的规则能否成功取决于输 入表的质量，即预期收益率和协方差的 入表的质量， 估计值 假如证券分析师分析50只股票的输入表 假如证券分析师分析 只股票的输入表 将包括： 将包括：N=50个期望收益的估计 个期望收益的估计 n=50个方差估计 个方差估计 n(n-1)/2=1225个协方差估计 个协方差估计 1325个估计值 合计 个估计值 4
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4.2 单指数模型
单因素的代理指标是什么？ 单因素的代理指标是什么？ 标准普尔500指数的收益率 标准普尔 指数的收益率 S&P500是一个股票组合，其价格和收益率均 是一个股票组合， 是一个股票组合 可观测， 可观测，可将其视为共同宏观经济因素的一个 有效代理指标。使用这种方法， 有效代理指标。使用这种方法，可以得出一个 与单因素模型类似的方程， 与单因素模型类似的方程，该方程称为单指数 模型， 模型，因为它采用市场指数作为共同因素的代 理指标。 理指标。
同样，投资组合的超额收益率可以 用以下(8 − 11)式求得 RP = α P + β P RM + eP (8 − 11)
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现在需要解释：
随着投资组合所包含股票数量的增加， 随着投资组合所包含股票数量的增加， 非市场因素引起的投资组合风险变得 由非市场因素引起的投资组合风险变得 越来越小了，然而市场风险 市场风险却不论投资 越来越小了，然而市场风险却不论投资 组合所包含公司的数量多少依然保持不 变。 现以等权重投资组合为例解释以上结论， 现以等权重投资组合为例解释以上结论， 组合中每种证券的权重为1/n,其超额收 组合中每种证券的权重为 其超额收 益率为： 益率为：
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4.1.2收益分布的正态性与系统风险 收益分布的正态性与系统风险
任何证券的收益率 i通常被分解为各种预期 与非预期收益率之和， 即 ri = E ( ri ) + ei (8 − 1) 式中，非预期收益率 ei的均值为 0， 标准差为 σ i (衡量证券收益率的不确 定性 )
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如果相关证券的收益率 能够很好地 为正态分布所刻画，那 么这些证券 服从联合正态分布。任 何时刻的证 券收益都由一个或多个 变量共同决 定，本章介绍由一个变 量推动的单 因素证券市场的简单情 形。
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假设， 假设，引起证券市场收益变化的不确定 因素分解为 整个经济系统的不确定性 宏观经济变量m) （宏观经济变量 特定公司的不确定性（ 和 特定公司的不确定性（ i）
e
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式（8－1）可以变为式（ 8－2）： ri = E ( ri ) + m + ei (8 − 2 ) 宏观经济因素 m 衡量未预期的突发事件 ， 同样，其均值为 0，标准差为 σ m ei 仅衡量特定公司的突发 事件。 注意 m 指的是影响所有证券 的共同因素。 m 与 ei 相互独立。
第四章 指数模型
Markowitz procedure存在两大缺陷： 存在两大缺陷 存在两大缺陷： 第一， 第一，该模型的协方差矩阵需要大量的 估计值 第二， 第二，该模型对预测证券的风险溢价没 有任何指导作用，因为难以根据历史收 有任何指导作用， 益来确定未来预期收益。 益来确定未来预期收益。而风险溢价是 构建风险资产有效边界的关键因素。 构建风险资产有效边界的关键因素。
(8 − 7)
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单一证券收益的正态性本身就可以证明 投资组合收益也服从正态分布， 投资组合收益也服从正态分布，而且证 券收益与共同因素之间存在线性关系， 券收益与共同因素之间存在线性关系， 这大大简化了投资组合的分析过程。 这大大简化了投资组合的分析过程。现 在需要找一个变量来代表共同因素， 在需要找一个变量来代表共同因素，为 了能够估计其波动性以及特殊证券对其 价值变化的敏感度， 价值变化的敏感度，该变量必须是可观 测的。 测的。
σ (2e )
i
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对于n只证券需要计算的结果是： (1) (2) (3) (4) (5) n个敏感性系数β i 估计 n个公司特有方差σ (2ei )估计 1个市场溢价估计
3n + 2个估计，即
n个市场外预期超额收益α i 估计
2 1个共同宏观经济因素σ M 估计
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指数模型的优缺点 大幅度地缩减参数估计量， 种证券组合的 大幅度地缩减参数估计量，50种证券组合的 参数估计量？马科维茨模型要估计多少参数？ 参数估计量？马科维茨模型要估计多少参数？ 指数模型缩减参数估计量的能力对把握证券分 析的重点是十分重要的 指数模型除了两股票的残差项外其余各项均十 分精确 缺点： 缺点：简单的二分法过于简化了现实世界的不 确定性。 确定性。
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α i 代表市场超额收益率为0时证券的
预期超额收益率，
β i 代表证券对指数的敏感度, 指数超额
收益率增长 / 下降1 ％所引起的证券超额 收益率增长 / 下降的比率。 ei 被称为残差，代表t时刻（零均值） 的公司特有突发实践对证券收益的影响。
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4.2.2 期望收益与 β 值 之间的关系
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1 n RP = ∑ wi Ri = ∑ Ri n i =1 i =1 1 n = ∑ (α i + β i RM + ei ) n i =1 1 n 1 n 1 n = ∑ α i + ( ∑ β i ) RM + ∑ ei n i =1 n i =1 n i =1
2 σ i2 = β i2σ M + σ (2e )
i
协方差＝证券 β 值的乘积 × 市场指数风险
2 Cov (ri , r j ) = β i β jσ M
(8 − 10 )
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相关系数＝特殊证券与市场指 数的相关系数的乘积
β i β jσ Corr ( ri , r j ) = σ iσ j
2 M
2 Cov(ri , rj ) = Cov(m + ei , m + e j ) = σ m
(8 − 4)
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不同的证券对宏观经济因素的敏感性不一样， 用β i 来表示公司i的敏感性系数（敏感度）， 式(8 − 2)就可以变形为以下单因素模型： ri = E (ri ) + β i m + ei (8 − 5)
β iσ β = Corr ( ri , rM ) × Corr ( r j , rM ) 式(8 − 9)与式(8 − 10)显示：单指数模型 所需估计的参数为特殊 证券的 α，β 和σ（e）, 以及市场指数的风险溢 价和方差。
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4.2.4 单指数模型所需的估计量 表8－2 P163
如果n为 如果 为100种，则要估计的值为 种 则要估计的值为5150个 个 这是令人生畏的工作 另外， 另外，协方差系数的估计误差可能导致无意义 的结果， 的结果，这也是马科维茨模型应用到实践中所 面临的难题。 面临的难题。如果避免协方差矩阵系数集合间 彼此的矛盾， 彼此的矛盾，则估计的协方差矩阵输入量必须 是彼此不相容的。 是彼此不相容的。但实际的协方差系数矩阵通 常是相容的， 常是相容的，这一难点促使学者去探寻容易实 现的模型来取代之。 现的模型来取代之。
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指数模型（单因素模型）的优点 指数模型（单因素模型）
第一， 第一，简化了协方差矩阵的估计 第二， 第二，加强了对证券风险溢价的分析 第三， 第三，它将风险分解为系统风险和公司 特有的非系统风险， 特有的非系统风险，这样就可以比较清 楚地表达资产分散化地利弊 第四， 第四，该模型还可以用来衡量特殊证券 和投资组合的风险
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指数模型将单一证券的风险溢价分解为 市场和非市场两个部分， 市场和非市场两个部分，这样就清楚地 阐明了整个经济的运行过程， 阐明了整个经济的运行过程，同时也大 大简化了整个投资公司的证券分析过程。 大简化了整个投资公司的证券分析过程。
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4.2.3 单指数模型的风险 和协方差
由式8－8可以得出每种证券的总 风险中包含 的系统与公司特有成分 ，以及任意两种证券 的协方差。方差和协方 差均由证券的 β 值和市 场指数的特性决定。 总风险＝系统风险＋非 系统风险
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概念检查题1、2 p163课堂练习
注意：单只股票与指数之间的协方差与该只股 注意： 票的系统风险的区别： 票的系统风险的区别
Cov ( R A , R M ) = β Aσ Cov ( R B , R M ) = β B σ
2 2 2 σ A = β A σ M + σ (2e 2 2 2 σ B = β B σ M + σ (2e
因为E (ei )＝0，将式(8 − 8)两边取期望值， 可得单因素指数模型的 期望值与β值之间的关系， 即 E ( Ri ) = α i + βi E ( RM ) (8 − 9) (8 − 9)式右边第二项表示证券 的风险溢价部分源于 指数的风险溢价，即市 场风险溢价乘以单一证 券的 相对敏感度β，这一项被称为系统风 险溢价，因为它 来自于刻画整个市场的 风险溢价，代表了整个 经济状况。
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式（8－5）意味着证券 i系统风险取决于它的 β 系数， 证券 i的系统风险为 β σ , 总风险即为
2 i 2 m 2 σ i2 = β i2σ m + σ (2e )
i
(8 − 6)
那么，任意两种证券间 的协方差也取决于其 β 系数， 即
2 Cov ( ri , r j ) = Cov ( β i m + ei , β j m + e j ) = β i β jσ m