3-1 概述
钻杆
螺丝刀刀杆
气动攻丝机
多轴攻丝器
传动轴
扭转的概念：受扭转杆件的力学模型为:
T
T
受力特点：杆件两端作用一对大小相等、转向相反、 作用面垂直于杆轴线的力偶。
变形特点：杆件的任意两个横截面绕杆轴线发生 相对转动。
具有上述特征的变形称为扭转变形。
扭转角 : 扭转时杆件两个横截面相对转动的角度
12
* 100
2
zc 80
( 20 1003 302 20 100) 12
z 20
5.333 106 mm4
Iz (Iz )1 (Iz )2
(100 203 1102 100 20) ( 201003 502 20100)
12
12
30.933 106 mm4
例A-5
图示三角形截面，I z
z z1
dA y1
z1 z cos y sin
y
z1
Iz1 y12dA
z
cos2 y2dA 2cos sin yzdA sin2 z2dA
Iz
Iy 2
Iz
2
Iy
cos 2
I yz
s in 2
I
I y1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I yz
s in 2
I 90
n
n
Ayc Sz Szi A i yci
i 1
i 1
n
n
Az c Sy Syi A i zci
i 1
i 1
y
A2
A1
A
An
Ai
组合图形的形心坐标为：
z
n
o
n
yc
Sz A
ห้องสมุดไป่ตู้Ai
i 1 n
yc i
Ai
zc
Sy A
Ai
i 1 n
zc i
Ai
i 1
i 1
例A-2 试确定图示截面的形心的位置。
l
横截面上任意点的切应力的方向
和半径垂直。
（4）扭转切应力公式推导 变形几何关系： — 切应变
表面 dx dR 内部 dx d
d dx
物理条件：
G
G
d dx
平衡条件： dM n dA
Mn dMn AdA
A G
d dx
dA
dA
G
d dx
A 2dA
Mn
G
d dx
I
p
d Mn dx G I p
若功率的单位为马力，转速n的单位为转/分：
T 7024 P ( N m ) n
T
3.2.2 扭矩和扭矩图
扭转内力：扭矩Mn
T
Mn＝T
扭矩的正负号符号规则 : 按右手螺旋法则，扭矩
（+）Mn
n
的矢量方向与横截面外法 线方向一致时为正。反之
T
为负。
T
扭矩图：
（-）Mn
n
T
M（n +）
n T
T
Mn（-）
Mn
d
Mn
Mn
dx
Mn Ip
Mn Ip
极惯性矩Ip:
实心圆轴:
I
p
D 4 32
I p
2dA
A
Mn
空心圆轴:
I
p
32
D4 d 4
D4 32
1 4
d D
3.3.2 圆轴扭转的强度条件
max
Mn Ip
抗扭截面系数Wp
R
:
Mn Wp Wp
Wp
Wp
D 3 16 D3 16
Ip R
解：Sz
ydA
A
h ydyb 1 bh2
0
2
Sz2
h/2 h/2
z2
dy z1
y
Sz1
h/ 2
ydyb 0
h/ 2
Sz2
0 ydyb 1 bh2
h
2
z b
A.1.2 形心的计算
Sz A ydA yc A
S y
zdA
A
zc
A
结论：
yc Sz A zc S y A
y
z dA
20
1
10080 y 2 20dy 80
5.333 106 mm4
* 100
2
zc 80
Iz (Iz )1 (Iz )2
10020 y2100dy 100 y2 20dy
100
0
30.933 106 mm4
z 20
A-3 平行移轴公式
I zc A yc2dA
C（b，a） y
1 ，bh试3 求
12
。I z1
解：（1）求过形心轴的轴惯矩
z1
Iz
I zc
( h )2 3
1 2
bh
h
*
zc z
I zc
1 bh3 12
1 bh3 18
1 bh3 36
b
（2）再次利用平行移轴公式求Iz1
I z1
I zc
(2 3
h)2
(1 2
hb)
1 4
bh3
错误：
I z1
Iz
h2
(1 2
hb)
I y1 Iz1 I y Iz C
I z1 y1
Iz
Iy 2
sin2
I yz
cos
2
主惯轴：惯性积Iyz＝0的这一对坐标轴y、z称为主惯轴
主惯矩：图形对主惯轴的惯性矩称为主惯矩
形心主惯轴：通过截面形心的主惯轴 形心主惯轴矩
今日作业
A-4 A-5 A-6
第 3 章 扭转（Torsion）
1 4
Mn
强度条件：max
Mn Wp
例3-2 圆轴直径d =50mm，转速n＝120转/分，若 该轴最大切应力max=60MPa，试求该轴所传递的 功率。（用千瓦表示）
解：设功率为P，则
Mn
T
9549P n
max
Mn Wp
Wp
d 3 16
P
d 3
Mn 9549 n max W p max 16
工程上，以扭转变形为主的杆件称为轴（Shaft）。
3.2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
3.2.1 功率、转速和外力偶矩之间的关系
功率：P 角速度： 转速：n 外力偶矩：T
功率、转速和外力偶矩之间的关系：
T P P 2n
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转/分：
T 9549 P ( N m ) n
zc
Sy A
S y1 S y2 A1 A2
A1zc1 A2 zc2 A1 A2
19.7 mm
yc
Sz A
Sz1 Sz2 A1 A2
A1 yc1 A2 yc2 A1 A2
39.7 mm
A-2 惯性矩和惯性积
定义：
y
I
p
2dA A
截面图形面积A对坐标原 点的极惯性矩；
z dA y
I p
2dA
A
(
A
y2
z2
)dA
Iz
I
y
若有一个轴为对称轴，则 Iyz＝0
矩形截面对形心轴的惯性矩:
y
bh3 I z 12
hb 3 I y 12
h/2
惯性矩＝(与所对轴平行的边长)(与所对 h/2
z
轴垂直的边长)3 / 12
圆形截面对形心轴的惯性矩:
b/2 b/2
y
y
实心
z
空心 d
z
D
I
p
D4 32
Iy
Iz
Ip 2
D4 64
D
Ip
D4 32
(1
4 )
d D
Iy
Iz
D4 64
(1 4)
n
n
组合截面的惯性矩： Iz Izi I y I yi
i1
i1
例解A：-I3zc试计(I算zc )图1 示(ITzc形)2 截面的惯性矩Izc、Iz。100y
1008020 y2100dy 10080
Mn2 ＝－TA － TB ＝ －702N•m
TA
TB
Mn2
Mn3 －TD＝0
n
Mn3 ＝TD＝468N•m
2. 绘扭矩图 Mnmax=702 N•m Mn(N•m) 讨论：若交换主动轮和从动
Mn3
468
TD
（＋）
轮的位置，试问主动轮放在
（－）
-351
x
哪一位置最合理？
-702
3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
（1）I yc , Izc ,是I y对czc 形心轴的惯性矩、惯性积； （2）轴y，z分别与形心轴yc、zc 平行；
例A-4 试用平行移轴公式计算例A-3 。
y
解：利用公式： I z
bh3 12
100
20
1
I zc ( I zc )1 ( I zc )2
100 203 (
302
100 20)
D4 15 15D4 64 16 1024
D
I yc I yc1 I yc2 I y A1zc2 I y2 A2( D 4 D 12)2
D4
D2
D2
D
4
D2
D
2
64 4 144 64 2 16 3
119 D4 9216
A-4 转轴公式、主惯轴和主惯矩 y 转轴公式： y1 y cos z sin y1