材料力学总复习
第二章轴向拉伸与压缩
• 基本概念： • 轴向拉伸与压缩的特点：杆件所受外力或 其合力作用线沿杆的轴线,杆件的主要变 形为轴向伸长或缩短。 • 拉压杆的内力——轴力（轴力是横截面位 置x的函数） • 截面法：利用假想平面将杆截成两端，对 每一段进行分析，求解杆的轴力（内力） • 截面法求轴力绘制轴力图
• 应力集中现象：由于截面急剧变化所引 起的局部应力聚增的现象 • 安全系数、许用应力、强度条件 • 极限应力：材料丧失正常工作的能力时 的应力。 [σ]＝ σu /n • n-安全系数, [σ]-许用应力 • σ<= [σ]-强度条件 • 计算三类强度计算问题： • 1、强度校核；2、设计截面尺寸；3、确 定许可载荷
y Z y1 τmax h
第五章 弯曲变形
• 挠度和转角的概念：横截面形心在垂直于 轴线（x轴）方向的线位移称为挠度y；横 截面的角位移称为转角θ 。 • 挠曲线方程：y=y(x);y“=M (x) /EI; EI称为抗 弯刚度 • 利用积分法求挠曲线： • θ ＝y´= ∫ M (x) /EI＋C1； • y= ∫ ∫ M (x) /EI＋C1x+C2 • 利用边界条件确定常系数C1 、C2
• • • • • • • • • •
圆轴扭转时的切应力计算公式： 距离圆心任意距离ρ处的切应力： τ ρ＝ T ρ/I ρ ＝MT ρ/I p ，I p极惯性矩 在距离圆心同位置处切应力大小相等， 方向与半径垂直。当ρ＝R处切应力最大： τmax＝ T R/I p ＝ T /W ρ W ρ ＝ I p /R 。 W ρ为抗扭截面模量 实心圆轴I p ＝ πD4 /32； W ρ ＝ πD3 /16 空心圆轴I p ＝ πD4 /32（1-α4） W ρ ＝ πD3 /16（1-α4） 薄壁圆轴： I p ＝2 πR30t； W p ＝2 πR20t
• 拉压杆的变形：∆l=l1-l； l1为变形厚的长 度， l为变形前的长度 • 线应变：单位长度的伸长或缩短成为线 应变。用ε表示。 ε＝ ∆l/l，适用于均匀变 形受拉变形为正，受压变形为负。 ε＝ d （∆l）/dx适用于线性或非线性变形。 • 轴向变形量的计算公式∆l＝FNl/EA就称为 胡克定律。E为杨式模量， EA称为抗拉 刚度 • 对于非等直杆∆l＝∫FNdx/EA=∑ FNili/EiAi • 胡克定律普遍形式σ＝E ε 。 • 泊松效应：µ＝| ε ‘/ε |
外伸梁 规律：梁上任一截面的剪力，等于 该截面左（右）侧梁段全部横向力 • 梁内力的求法：首先确定约束反力，利 的代数和，符号为：凡向上(下)的 外力为正，反之为负； 用截面法建立剪力和弯矩方程，求解每 梁上任一截面的弯矩，等于该截面 个截面位置处的剪力和弯矩 左（右）侧梁段全部外力对截面型 心之力矩代数和，符号为：凡顺 • 剪力和弯矩的正负号规定：
C
6、待定常系数确定后，将其代入到挠曲线方程，求指定点的挠度和转 、待定常系数确定后，将其代入到挠曲线方程， 角
• 叠加法求梁的变形，也可以求支反力、 内力，应力和变形。 • 成立的条件：小变形和材料服从胡克定 律。 • 基本步骤： • 1、复杂载荷的分解 q
q/2 q/2
+ +
2、外伸梁的分解 、
• 应力的概念：应力是分布内力在一点的 集度。应力是矢量：a、截面不同位置应 力不同；b、同一点不同方位应力不同。 单位（Mpa）or（N/m2） • 计算公式：σ＝P/A。P是轴向载荷；A是 横截面面积。拉应力为正、压应力为负 • 任意斜截面上的应力计算公式： • σα＝ σcos2α；正应力 τα＝ σsin2α/2；切应 力
• (2)当梁上一段q=const时，Fs为x的一次函 数，剪力图为斜直线。相应的弯矩图为x 的二次函数，弯矩图为抛物线： • a. q>0，剪力图为上升斜直线，弯矩图为 凹口向上的曲线（凹弧），Fs>0，弯矩 图为上升凹弧 ；Fs<0，弯矩图为下降 凹弧 。 • b. q<0，剪力图为下降斜直线，弯矩图为 凹口向下的曲线（凸弧） ，Fs>0，弯 矩图为上升凸弧 ；Fs<0，弯矩图为下 降凸弧 。
• 求解步骤：首先求支反力，然后在 “控 制点”处分段，接着建立每段的弯矩方 程，最后积分求解挠曲线方程，根据边 界条件和连续性条件确定待定常系数。
• 用积分法求解指定点的θD、 θC和yC q A l/2 D l/2 l/2
ql/2
B 解：1、求支反力 A=0; RB=5ql/4;2、分两段，AB、BC段 、求支反力R 、分两段， 、 段 3、建立弯矩方程：AB:0<=x1<=l;M(x1)=-qx12/2； 、建立弯矩方程： ； BC: l<=x2<=3l/2;M(x2)=-ql*(x2-l/2)+5ql/4*(x2-l) 4、积分求挠曲线 : AB:y(x1)=-qx14 /24+C1x1+C2 ; 、 BC: y(x2)=-ql(x2-l/2)3 /6+5ql(x2-l)3 /24+D1x2+D2 5、边界条件求待定常系数C1 、C2 、D1、 D2 、边界条件求待定常系数 、 在y=0|x1=0; y=0|x1=l ; θ1= θ 2|x1=l ; y=0|x2=l
画轴力图 2p
习题讲解
求各段应力及总变形
p p
3A 1.5KN 2m
2A
A 5KN
1m
1.5m
第三章扭转
• 扭力矩的概念：直杆在受到垂直与杆轴 线平面内的力偶作用时，杆发生扭转变 形，将外力偶矩称为扭力矩。 • 相对扭转角概念：任意两横截面相对转 过的角度。 • 扭矩：在扭力矩作用下任意横截面上的 内力偶矩称为扭矩
习题
主要是计算扭矩，绘制扭矩图， 进行强度校核和刚度校核
M1=1.5KN.m M3=9KN.m M2=3KN.m M4=4.5KN.m
L1=0.8m
L2=1.0m
L3=1.2m
D=105mm [τ]=80MPa [θ]=0.3o/m G=80GPa 1、校核圆轴的刚度和强度 2、轮1和轮4之间的扭转角
a
P a P
Pa +
3、阶梯梁的分解 、
• 基本步骤： • （1）将梁在其支撑点、集中力与集中力 偶作用点、分布载荷的起点与终点处分 段。剪力图和弯矩图的“控制点” • （2）用截面法求出这些控制点处的剪力 值和弯矩值。在集中力、力偶作用点处 要考虑左右相邻截面处内力值的突变 • （3）确定两相邻控制点之间剪力图和弯 矩图的大致形状，并据此连接二相邻控 制点处剪力值或弯矩值，从而画出梁的 剪力图和弯矩图。
Fs
P/3
-Pa/3
M -2P/3
Pa/3
2Pa/3
• 利用分布载荷、剪力、弯矩之间的微分 关系绘制剪力、弯矩图 • dM/dx=Fs(x);dQ/dx=q(x); d2M/dx2=q(x) • 由微分关系可以得到以下结论： • (1)当梁上一段q=0时，Fs为常数，剪力图 为水平直线，响应的弯矩M为x的一次函 数，弯矩图为斜直线。Fs>0时，弯矩图 为上升斜直线，Fs<0时，弯矩图为下降 斜直线
(逆)时针外力为正，反之为负；
基于求内力的“设正法”得 平面弯曲梁的分类：简支梁、悬臂梁、 到：
左上右下，剪力为正
Fs>0
Fs<0 ห้องสมุดไป่ตู้顺右逆，弯矩为正
M>0
M<0
• 根据剪力和弯矩方程绘制剪力图和弯矩 图： a P a a
A C D Pa B
解：首先求支反力，然后进行分段，利用截面法建立每段的剪力方程和弯矩方程， 最后绘制剪力图和弯矩图。第一步，求支反力：RA=P/3,RB=2P/3；第二不，分段， 分成AC段、CD段和DB段；第三步由截面法求剪力和弯矩方程AC：0=<x<=a ; Fs(x)=1/3P;M(x)=Px/3;CD: a=<x<=2a; Fs(x)=-2/3P;M(x)=Px/3-P(x-a)=P(a-2x/3);DB: 2a=<x<=3a; Fs(x)=-/3P;M(x)=2P/3(3a-x);第四步：绘制剪力图和弯矩图：
max
h
M σmax b
矩形截面的惯性矩： 矩形截面的惯性矩：Iz＝ bh3/12;Wz=bh2/6 圆形截面：Iz＝Ip2;Wz=Wp
• 弯曲切应力： • 对于矩形截面：距离中性轴坐标为y处的 切应力计算公式τ＝FsS z*/Izb; 式中Fs为截 面的剪力， S z* 为距离中性轴y处以外的 面积对中性轴的静矩；Iz为截面对Z轴的 惯性矩，b为宽度。 • 矩形截面梁的切应力分布：
• 材料在拉伸和压缩时的力学性能： • 低碳钢在拉伸时的力学性能 • 应该能够画出低碳钢在拉伸时的应力— 应变图，或σ— ε 图，指出（1）弹性阶 段比例极限σp、弹性极限σe；（2）屈服 阶段塑性极限σs；（3）强化阶段，强度 极限σb ； （4）颈缩阶段 • 材料的塑性：材料能够经受较大的塑性 变形而不破坏的能力。表征材料塑性能 力用伸长率δ和断面收缩率ψ表示
P=3KN
m1=2KN.m
q=1KN/m C B 2m 2m D
m2=6KN.m
图示外伸梁，
E 2m A 2m
作出剪力图
第一步：求支反力RA=5KN;RB=4KN
和弯矩图 第二步：分段，EA,AC,CB,BD四段
第三步：利用截面法求控制点处的内力，E点：FsE=-3KN,ME =0, A点： FsA+=-3KN; FsA-=2KN; MA =-6KN.m; FsC-=-0KN; MC+ =-4KN.m, MC- =-6KN.m FsB-=-2KN; FsB+=2KN ;MB =-8KN.m； FsD=0KN；MD =-2KN.m, 第四步：根据q,Fs,M之间的关系绘制剪力图和弯矩图