《数学物理方法》教学大纲
适应专业：物理学、光信息科学与技术
课程编号：090802
计划学时：72 其中授课：72
参考教材：1.《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社
2.《数学物理方法》，吴崇试编著，北京大学出版社
3.《数学物理方法》，管平，计国君，黄骏，高等教育出版社
先修课程：普通物理 高等数学
一、课程的性质与目的
该课程介绍复变函数的基础知识和物理学中常遇到的偏微分的基本求解方 法，使得学生通过学习该课程能够掌握常见偏微分方程的基本解法，为理论物理 课程所遇到的偏微分方程求解奠定基础， 同时培养学生数学建模能力和解决数理 问题的基本素质。

二、授课内容及学时分配建议
（一） 解析函数 建议学时：5 学时
授课内容：
1.复变函数的六则运算
2.复数领域上的初等函数
3.复变函数的的极限、连续、微分、可导
4.解析函数，调和函数，C-R条件
5.多值函数的支点、黎曼面和单值支的概念
教学基本要求：
1.熟练掌握复数的各种表示方法及六则运算。

2.掌握复变函数及其极限、连续、可导的概念。

3.掌握邻域等概念，理解复变函数的几何意义。

4.正确理解解析面数的定义，判断函数的解析性掌握并熟练运用C-R条件。

5.掌握解析函数与调和函数的关系及有关复势的基本概念。

6.掌握初等函数的定义、性质和解析性。

7.理解多值函数有关支点、黎曼面和单值支的概念。

教学重点、难点：
重点：复变函数的运算与几何意义，解析函数与C-R条件。

难点：多值函数有关支点、黎曼面。

（二）复变函数积分 建议学时：5 学时
授课内容：
1. 复变函数的积分
2. 柯西定理、柯西公式
3. 复变函数的环路积分
教学基本要求：
1.掌握复变函数积分的定义、基本性质及计算方法。

2.记住并能熟练地运用公式 î í ì = = p = - ò 0 n 0 1 n , i 2 ) a z ( dz l n 。

3.牢固地掌握柯西定理、柯西公式及解析函数的任意阶导数存在性。

4.熟练地运用柯西定埋、柯西公式
5.计算复变函数的环路积分
教学重点、难点：
重点：柯西定埋、柯西公式。

难点：复变函数积分的定义。

（三） 无穷级数 建议学时： 7 学时
授课内容：
1、绝对收敛和一致收敛
2、幂级数和Taylor 级数，收敛半径
3、孤立基点和可去基点、极点，孤立基点的分类
4、解析延拓
教学基本要求：
1.了解在复数范围内级数及级数的收敛、发散、绝对收敛、一致收敛的概念 及有关性质，会使用收敛判据。

2.正确确定幂级数的收敛半径，并了解幂级数的性质。

3.掌握Taylor 级数与解析函数的关系及Taylor 展开的方法， 理解其收敛半 径与孤立奇点的关系。

4.掌握劳林级数与奇点存在的关系及劳林展开的方法， 理解其收敛环与孤立 奇点的关系。

5.正确地判断孤立奇点的类型。

6.了解解析延拓的概念。

教学重点、难点：
重点：劳林级数及展开方法，孤立基点的分类，收敛半径的杜额定方法。

难点：绝对收敛，一致收敛，解析延拓。

（四） 留数理论 建议学时： 6 学时
授课内容：
1、留数，留数定理，Jordan 引理及小弧引理
2、留数定理得应用
教学基本内容：
1.正确理解留数的概念，熟练掌握计算留数的方法。

2.熟练地掌提留数定理、Jordan 引理及小弧引理，并能正确应用于计算复 变函数的环路积分和某些实定积分。

3.掌握用留数定理计算实定积分的一般方法， 学会根据具体情况适当的选择
辅助函数和积分环路来计算实定积分。

4．重点掌握已总结出的各类典型积分公式及适用条件。

教学重点、难点：
重点：留数定理的应用。

难点：留数定理的应用。

（五） 傅里叶变换 建议学时： 5 学时
授课内容：
1、 Fourier级数
2、 Fourier积分与Fourier变换，频谱概念
3、 δ函数的基本性质
教学基本要求：
1.掌握Fourier级数的展开方法和物理意义。

2.了解δ函数的基本性质， 掌握Fourier积分与Fourier变换方法及物理意 义。

教学重点难点：
重点: Fourier级数和Fourier积分的展开方法。

难点: Fourier级数和Fourier积分的物理意义。

(六) 定解问题 建议学时： 8 学时
授课内容:
1、三类典型数理方程的推导
2、 初始条件, 边界条件, 衔接条件
3、达朗贝尔公式的推导及物理意义
教学基本要求:
1.掌握用数理方程描绘研究物理问题的一般步骤。

2.掌握三类典型数理方程的推导过程和建立(导出)数理入程的一般方法、 步 骤。

3.正确写出物理问题的定解问题和定解条件。

4.会导出并记住波动方程的通解。

5.学握达朗贝尔方法公式的应用及物理意义。

6.掌握行波法的解题要领并会用之求解某些定解问题。

教学重点、难点:
重点：建立方程的基本方法，写出初始条件和边界条件的基本方法。

难点：建立方程的基本方法，写出初始条件和边界条件的基本方法。

（七） 分离变量法 建议学时： 10 学时
授课内容:
1、分离变量法
2、一维波动方程、热传导方程和二维拉普拉斯方程的求解
3、非齐次一维波动方程、热传导方程求解
教学基本要求:
1.掌握分离变量法的精神、解题步骤和适用范围。

2.记住二阶常微分方程几类常见本征问题的本征值和本征函数。

3.熟练地应用分离变量法求解(带合成不带有初始条件的)各类齐次定解问 题，记住并会应用其中某些典型的结论。

4.会用本征函数展开法求解非齐次方程。

5.掌握将具有非齐次边界条件的定解问题化为具有齐次边界条件的定解问 题来求解的入法。

教学重点、难点:
重点：分离变量法的解题步骤，一维波动方程、热传导方程和二维拉普拉斯 方程的求解方法。

难点：非齐次一维波动方程、热传导方程求解。

（八） 二阶常微分方程级数解法 建议学时：8 学时
授课内容：
1、Livouvile方程
2、连带Livouvile方程
3、Bessel方程
教学基本要求：
1.了解Livouvile方程、连带Livouvile方程和Bessel方程的形式。

2.掌握三类方程与定解问题的关系。

教学重点、难点:
重点：三类方程解的形式。

难点：三类方程的导出。

（九） 球 函 数 建议学时： 5 学时
授课内容：
1、缔合Lgendre函数
2、球函数的定义及性质，展开定理
3、拉普拉斯方程在球坐标系中的分离变量的解
教学基本要求：
1.掌握缔合Lgendre函数、球函数的定义及它们的正交归一性和展开定理。

2.掌握拉普拉斯方程在球坐标系中的分离变量的解、 并用之于具体的物理问 题。

教学重点、难点:
重点：Lgendre函数和球函数性质。

难点：展开定理的应用。

（十）柱函数 建议学时： 8 学时
授课内容：
1、Bessel函数
2、递椎公式，正交性、展开定理
3、拉普拉斯方程在柱坐标系中的解
教学基本要求：
1.掌握 Bessel 函数的母函数关系式、主要递椎公式、正交性、展开定理及 其应用。

2.掌握拉普拉斯方程在柱坐标系中的分离并量的解， 并用之于具体的物理问
题。

教学重点、难点:
重点：拉普拉斯方程在柱坐标系中的分离并量的解。

难点：Bessel函数的母函数关系式。

（十一）Green 函数法 建议学时： 5 学时
授课内容：
1、Green函数的定义，构造各类定解问题的Green函数基本方法
2、用电像法求Green函数
3、DirichIet-Green函数及物理意义
4、含时定解问题的积分公式
教学基本要求：
1.正确理解Green函数的定义，学会构造各类定解问题的Green函数．含时 定解问题的积分公式。

2.掌握DirichIet-Green函数的物理意义和用电像法求Green函数的方法， 记住几种典型区域。

3.初步了解含时定解问题的积分公式的构造及其应用。

教学重点、难点:
重点：构造各类定解问题的Green函数基本方法。

难点：Green 函数的定义，DirichIet-Green 函数和含时定解问题的积分公 式的物理意义。

三、说明
1.考试方式：
1）平时段落考环节以笔试形式；
2）讨论课评价以口试形式；
3）上机实践评价以作品成果形式；
4）期末考以撰写论文形式。

2.学生成绩评定：
平时考试、作业成绩、讨论课成绩和上机实践成绩占总成绩的80%， 期末撰写小论文，占总成绩的20%。