图形的面积 .
解: 由
y2 x y x2
得交点 (0, 0) , (1, 1)
d A ( x x2)dx
y
因此， A
1
( xx2)dx
0
2
x
3 2
1 x3
1
3 30
1
3
y2 x (1,1) y x2
O xx d x1 x
a
8
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形 的面积 .
0
2
8a2 π sin4 u du 0
π
16a2 2 sin4 u du 0
O
(令u t ) 2
2πa x
16a2 3 1 π 3π a2 42 2
a
11
二、 极坐标系下的面积公式
设 r( ) C[ , ] , r( ) 0 , 求由曲线 r r( ) 及
射线 , 围成的曲边扇形的面积 . 在区间[ , ]上任取小区间 [ , d ]
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 r( )2 d
2
d
所求曲边扇形的面积为
r r( )
A 1 r2( )d
2
O
x
a
12
例5. 计算心形线 r a(1 cos ) (a 0) 所围图形的
面积 .
解: A 2 π 1 a2 (1 cos )2 d 02
(利用对称性)
a2 π 4cos4 d
y c ,y d(c d )围成, 则在[c, d]上任取小区间 [y,ydy], 得到面微元
dA | g2( y) g1( y) |dy y
所求面积是：
d
A c g2 ( y) g1( y) dy
d
ydy y
c
x g1( y)
x g2(y)
O
x
a
7
例1. 计算两条抛物线 y2 x , y x2 在第一象限所围
“分割，近似，取极限”
n
的方法求出
F lim x 0 i1
f (i )xi
这样就归结为求 f 定积分:
b
n
a
f (x) dx
lim
x 0 i1
f (i )xi
a
3
二 、微元法
第一步 用“分割、近似”的方法求出 F 在 [x,xdx] 内的近似值： d F f (x) dx 称为所求量 F 的微元. 第二步 将微元从 a 到 b 进行“ 无限累加 ”，得出 F 的精确值，即 f 的积分表达式：
解: 由 y2 2x 得交点 y x4
(2, 2) , (8, 4)
y y2 2x (8,4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
d
A
(
y
4
1 2
y2)
dy
A
4 2
(
y
4
1 2
y2)dy
O
yx4 x
(2, 2)
1 2
y2
4y
1 6
y3
4 2
18
a
9
例3.
求椭圆 x2 a2
y2 b2
第六章 定积分的应用
利用微元法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
a
1
第一节 微元法
第六章
一、很多实际问题归结为定积分问题 二 、微元法
a
2
一、很多实际问题归结为定积分问题
1) 如果所求量 F 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有
有关的一个整体量 ; 2) F 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
0
2
(令 t
2
)
π
8a2 2 cos4t dt 0
d
8a2 3 1 π 3 πa2
O
2a x
422 2
a
13
心形线
例6. 计算心形线 r a(1 cos ) (a 0) 与圆 r a
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A 1 πa2 2
在[a, b]上任取小区间 [x,xdx], 则在 [x,xdx]
上的面积微元是：
dA | f2(x) f1(x) |dx 所求面积是：
y y f1(x) y f2 (x)
b
A a f2 (x) f1(x) dx
a
6
O axxdx b x
若平面图形由连续曲线 xg1(y)与 xg2(y) 及直线
2
π
π 2
1 2
a2
(1
cos
)2
d
1 2
(1
cos
2
)
1 πa2 a2 2
π
π 2
(3 2
2 cos
1 2
cos
2
y
)
d
1 π a2 a2 3 π 2
2
4
5 πa2 2a2 4
O
a 2a x
a
15
例7. 求双纽线 r 2 a 2cos 2 所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
A 4
π 4
1
a2
cos2
d
02
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 )
0
π
O
ax
a2sin 2 4 a2
0
π 4
如何 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 ？
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
π 4
π 6
1 a2 2
cos 2
d
a
16
1
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A y dx
y
b
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
O
ax
x a cost (0 t 2 π)
y bsin t
应用定积分换元法得
A 4
0
π bsin t (a sin t) dt
4ab
π
2 sin2 t dt
0
4
2
ab
1 2
b
F a f (x) dx
这种分析方法称为微元法 (或元素法). 微元法在几何和物理中有很多应用.
a
4
第二节
第二节
第六章
平面图形的面积
一、 直角坐标系下的面积公式 二、 极坐标系下的面积公式
a
5
一、直角坐标系下的面积公式
设两条连续曲线 y f1(x)与 y f2(x) 及直线
x a , x b (a b) 所 a = b 时得圆面积公式
a
10
例4. 求由摆线 x a (t sin t), y a (1 cost) (a 0)
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
A
2π
a (1 cost) a (1 cost)dt
0
a2 2π (1 cost)2 dt 0
y
4a2 2π sin4 t dt