c2
(
f2
f1) (2 1)c1 (2 3)
12
p
1 2(13c1c2)
然后，原区间再缩短，进行多次的插值计算，
使 的点 列p {
*
}不*p1， 断逼*p2近原函数的极小点
二、区间的缩短
1、计算
f
p
fp f( p)(f(4)f4)
13
2、比较：
与
2
两 点函数值的大小。两者 p
较小者相应的点为新的 点2 ( 与 2
p
均有可能)。以此新点左右两邻点为新的 1
和 点3 ，缩短后的新区间[ ]1，3
3、讨论：
步骤2比较 f 2与
f
p
的大小，按照
相
p
对于 2 的位置，区间缩短分下面4种情况：
14
1） p(4)2:
a.f2fp (f4) [1 ， 3]1 b .f2fp (f4) [1 ， 3]1
1,2不变 3 ， p(4) 1 2， 2 p;3不变
一元函数 f (： ) 初始区间 [1： ,3]
7
试 点t1 ： _t2_t3
t1 1 t3 3 t2 2 1 2 (13 )
相应函数值：
f1f(1) f2f(2) f3f(3)
插值节点：
P 1(1 ， f1);P 2(2,f2) P 3(3,f3)
8
2、 过“ P1 - P-2 ”P点3 构造一个二次曲线
a (3 2 )23 f1 (1 3 )13 f2 (2 1 )12 f3 (1 பைடு நூலகம்2 )2 ( 3 )3 ( 1 )
b(2 23 2)f1 (3 21 2)f2 (1 22 2)f3 (12)(23)(31)
c (23 )f1 (31 )f2 (12 )f3 (12 )( 23 )( 31 )
p() 逼 近 f ()
p()abc2 p() —“逼近函数”
式中：a、b、c—待定系数
根据插值原理：
p(1)ab1c12 p(2)ab2c22
ff12
p(3)ab3c32 f3
（1）
9
f ()
p()
P1(1，f1)
f () P3(3，f3)
f1
P2(2，f2)
f3
f2
O
1
* 2
p
3
10
解方程组（1）得：
18
迭代精度为 0.1
1、 0.618 法：
解：⑴ 取内分点 x11、求x1相2 应的函数值
f(x11 )、 f(x12)
x11x10.38(2x3x1)1.50.38(27.51.5) 3.792
x12x10.61(8x3x1)1.50.61(87.51.5) 5.208
19
f1f(x11 )x12110 x1135 1.1459264 f2f(x12 )x12210 x1235 1.0043264
f
p
f2
O
1
p
2
1
p()
f3
3
f1
f
p
O
1
p
f2
2
2 3
f3
3
16
当缩短后的新区间确定后，既可重复前述的
插值计算。这样，多次重复“插值——区间缩
短——插值”的计算循环。插值函数的
p
就极
其接近目标函数的最优点 。 最* 后可按终止准则
规定的精度满足要求而终止计算
三、终止准则
1 、点距准则
f ()
p()
f ()
f ()
f ()
f1
f3
f1
f3
f2
f
p
f2
f
p
O
O
1
2
p
3
1
2
p
3
3
1 2
15
2）p(4)2：
c.fp (f4)f2 [1， 3]1
1 p,2，3不变
f ()
f ()
d.fp (f4)f2 [1 ， 3]1
3 2， 2 p(4)， 1不变
f ()
f ()
f1
p()abc2
11
3、 求插值函数 p(的)极小点 ： p
p()abc2
p()b2c0
p
b 2c
p1 2((2 2 2 3 2 3 ) )ff1 1 ( (3 2 3 1 1 2 ) )ff2 2 ( (1 1 2 2 2 2 )) ff3 3
令： c1 (f3 f1) (3 1)
第一次缩短时的原区间：
(1 ) 1
1;
(1 )
3
3
区间缩短的终止条件：
设：K—区间缩短次数， ε—迭代精度，按点距准则：
3 ( k ) 1 ( k ) k (3 1 ) 0 .6k ( 1 3 8 1 )
4
4 一维优化方法 4.4 二次插值法(近似抛物线法)
一维优化方法例题分析
⑵ 缩短区间
f1 f 2，舍去： [x1，x11 ]，
并做置换 :
x (1) 1
x11
： 初始区间 [1, 3]
111 123
x21 x12 x3(1)不变
f1
f2
x 1
x11
新 [ x 1 区 ,x 3 ] 1 x 1 ( 1 ) , 间 x 3 ( 1 ) x 1
5
1、进一步体会一维优化方法的基本思想 2、明确黄金分割法和二次插值法之间的区别 3、熟悉二次插值法的基本思想及应用条件
6
4.4 二次插值法 (近似抛物线法)
插值基本原理： 多项式逼近原理
利用目标函数在一些点的函数值等信息来构 造一个低次插值多项式，以此多项式的最优点 作为原函数的最优点的近似解 一、 二次插值函数的构成 1、取点且计算相应函数值(构造插值节点)
4 一维优化方法
4.1 概 述 4.2 初始搜索区间的确定 4.3 黄金分割法
1
实用的一维优化方法分类
1、消去法： 不断的消去部分搜索区间，逐步缩小最优点所
在的范围，最终找到最优点 （如：黄金分割法、Fibonacci法）
2、近似法： 用一个多项式来代替目标函数，并用多项式的
极小点作为目标函数的近似最优点 （如：二次插值法）
(k1) p
(k) p
(k1)
17
上式:满 f* 足 * f( p (k* ))
2、函数下降量准(教 则 科： 书中的框 ) 图使
四、二次插值法计算框图 (见教科书)
〈例题分析〉
分别用黄金分割法与二次插值法求目标函数 f(X)x210 x35的最优解初始区间为[1.5，7.5]
2
黄金分割法(0.618法)的基本原理
l l
(1)l
初始区间：[1 ,3 ]
111123
f1
f2
1
11
12
3 1
22 3
新区 [间 1, 3]1
f1
f2
11 12
3
1
21
新区 [ 间 1,3]1 3
内分点的取点原则为：
1 1 1 (1 ) (1 )( 3 (1 )1 (1 ))1 (1 ) 0 .3(8 3 (1 ) 21 (1 )) 1 2 1 (1 )(3 (1 )1 (1 )) 1 (1 ) 0 .6(1 3 (1 ) 81 (1 ))