初中数学：切线长定理练习题一、选择题1．如图K－27－1，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝10，CD切⊙O于点E，与PA，PB 分别交于C，D两点，则△PCD的周长是( )图K－27－1A．10 B．18 C．20 D．222．如图K－27－2，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O 与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，则AF的长为()图K－27－2A．5 B．10 C．7.5 D．43．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB的长为()A．4 B．4 2 C．4 3 D．2 34．如图K－27－3，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )图K－27－3A．∠1＝∠2 B．PA＝PBC．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO5．如图K－27－4，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC.下列结论：①∠DOC＝90°；②AD＋BC＝CD；③S∶S△BOC＝AD2∶AO2；④OD∶△AODOC＝DE∶EC；⑤OD2＝DE·CD.其中正确的有( )图K－27－4A．2个 B．3个C．4个 D．5个二、填空题6．如图K－27－5，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD 的周长为________．图K－27－57．如图K－27－6所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC长为8，BC长为15，则△ABC的内切圆⊙O的直径是________．图K－27－68．如图K－27－7，P是⊙O的直径AB的延长线上的一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝________°.图K－27－79．如图K－27－8所示，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15 cm，则△PEF的周长是________ cm；若∠P＝50°，则∠EOF＝________°.图K－27－810．如图K－27－9所示，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．图K－27－9三、解答题11．如图K－27－10，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC＝BC.图K－27－1012．如图K－27－11，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求：(1)∠BOC的度数；(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径.图K－27－1113．如图K－27－12，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O3.求：(1)BF＋CE；(2)△ABC的周长．图K－27－1214．如图K－27－13，AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O 5，AD＝2.(1)求BC的长；(2)延长AE交BC的延长线于点G，求EG的长．图K－27－13探究存在题如图K－27－14，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E.(1)求证：EB＝EC＝ED.(2)在线段DC上是否存在点F，使得BC2＝4DF·DC？若存在，求出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．图K－27－14详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] C ∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ， ∴PA ＝PB ＝10，CA ＝CE ，DE ＝DB ，∴△PCD 的周长是PC ＋CD ＋PD ＝PC ＋AC ＋DB ＋PD ＝PA ＋PB ＝10＋10＝20.故选C. 2．[解析] A 设AF ＝x ，根据切线长定理得AD ＝x ，BD ＝BE ＝9－x ，CE ＝CF ＝CA －AF ＝6－x ，则有9－x ＋6－x ＝5，解得x ＝5，即AF 的长为5.3．[解析] C 如图，PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点．∵OA ＝4，PO ＝8，∴AP ＝82－42＝43，∠APO ＝30°，∴∠APB ＝2∠APO ＝60°， ∴△PAB 是等边三角形，∴AB ＝AP ＝4 3.4．[解析] D 如图，连接OA ，OB .∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ， ∴△ABP 是等腰三角形．易证∠1＝∠2，∴AB ⊥OP .故A ，B ，C 均正确．设OP 交AB 于点D ，易证△PAD ∽△POA ，∴PA ∶PO ＝PD ∶PA ，∴PA 2＝PD ·PO .故D 错误．5．[解析] C 连接OE .∵AD ，BC ，CD 分别与⊙O 切于点A ，B ，E ，∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，DA ＝DE ，EC ＝BC ，∠ADO ＝∠EDO ，∠ECO ＝∠BCO ，∴∠OAD ＝∠OED ＝∠OEC ＝∠OBC ＝90°，∴∠AOD ＝∠EOD ，∠BOC ＝∠EOC .①∵∠AOD ＋∠EOD ＋∠BOC ＋∠EOC ＝180°，∴∠DOC ＝∠EOD ＋∠EOC ＝90°，∴①正确；②∵DA ＝DE ，EC ＝BC ，∴AD ＋BC ＝DE ＋EC ＝CD ，∴②正确；③∵∠AOD ＋∠BOC ＝90°，∠AOD ＋∠ADO ＝90°，∴∠BOC ＝∠ADO .又∵∠OAD ＝∠CBO ＝90°，∴△OAD ∽△CBO ，∴S △AOD ∶S △BOC ＝AD 2∶BO 2＝AD 2∶AO 2，∴③正确；④∵△OAD ∽△CBO ，∴OD OC ＝ADOB＝DEOB.∵OB≠EC，∴④不正确；⑤∵∠DOC＝∠OED＝90°，∴∠EOD＋∠EDO＝90°，∠CDO＋∠DCO＝90°，∴∠EOD＝∠DCO，∴△OED∽△COD，∴ODCD＝DEOD，即DE·CD＝OD2，∴⑤正确．综上，正确的有①②③⑤.故选C.6．[答案] 44[解析] ∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD＋BC＝AB＋CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD＋BC＋AB＋CD＝44.7．[答案] 6[解析] ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB＝AC2＋BC2＝17，∴△ABC的内切圆⊙O的直径为15×817＋15＋8×2＝6.故答案为6.8．[答案] 60[解析] 连接OC.∵PA＝6，⊙O的半径为2，∴OP＝PA－OA＝6－2＝4.∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，∴∠OPC＝∠OPD，OC⊥PC，∴sin∠OPC＝24＝12，∴∠OPC＝30°，∴∠CPD＝60°.9．[答案] 30 65[解析] ∵PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，∴PA＝PB＝15 cm，ED＝EA，FD＝FB，∴PE＋EF＋PF＝PE＋ED＋PF＋FD＝PA＋PB＝30 cm，即△PEF的周长是30 cm；连接OA，OB，OD.∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠P＝50°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝12∠AOB＝65°，即∠EOF＝65°.10．[答案] 2[解析] 如图，设⊙O与AB，AC的延长线及BC边分别相切于点F，D，E.连接OD，OE.∵⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，∴AF＝AD，BE＝BF，CE＝CD，OD⊥AD，OE⊥BC.∵∠ACB＝90°，∴四边形ODCE是正方形．设OD＝r，则CD＝CE＝r.∵BC＝3，∴BE＝BF＝3－r.∵AB＝5，AC＝4，∴AF＝AB＋BF＝5＋3－r，AD＝AC＋CD＝4＋r，∴5＋3－r＝4＋r，解得r＝2，则⊙O的半径是2.11．证明：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC，∴AC＝BC.12．解：(1)连接OF.根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.(2)由(1)知，∠BOC＝90°.∵OB＝6 cm，OC＝8 cm，∴由勾股定理，得BC＝OB2＋OC2＝10 cm，∴BE＋CG＝BC＝10 cm.(3)∵OF⊥BC，由三角形的面积公式，得12OB·OC＝12BC·OF，∴OF＝OB·OCBC＝4.8 cm.13．解：(1)∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∴BF＝BD，CE＝CD，∴BF＋CE＝BD＋CD＝BC＝7.(2)如图，连接OE，OF，OA.∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∴∠OEA＝90°，∠OAE＝12∠BAC＝30°，∴OA＝2OE＝2 3.由勾股定理，得AF＝AE＝OA2－OE2＝3，∴△ABC的周长是AB＋BC＋AC＝AF＋AE＋CE＋BF＋BC＝3＋3＋7＋7＝20，即△ABC的周长是20.14．[解析] (1)过点D作DF⊥BC于点F，由切线长定理可得DE＝AD＝2，CE＝BC.设BC＝x，在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2，即可得方程(2＋x)2＝(x－2)2＋(2 5)2，解此方程即可求得答案；(2)易证得△ADE∽△GCE，由相似三角形的对应边成比例，可得AE∶EG＝4∶5，由勾股定理即可求得AG的长，继而求得答案．解：(1)过点D作DF⊥BC于点F.∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF＝AB＝2 5，BF＝AD＝2.∵DE与⊙O相切，∴DE＝AD＝2，CE＝BC.设BC＝x，则CF＝BC－BF＝x－2，DC＝DE＋CE＝2＋x.在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2，即(2＋x)2＝(x－2)2＋(2 5)2，解得x＝52，即BC＝52.(2)∵∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC，∴△ADE∽△GCE，∴ADGC＝DECE，AEEG＝ADGC.∵AD＝DE＝2，∴GC＝CE＝BC＝5 2，∴BG＝BC＋CG＝5，AEEG＝45.在Rt△ABG中，AG＝AB2＋BG2＝3 5，∴EG＝59AG＝535.[点评] 此题考查了切线的性质与判定、切线长定理以及勾股定理等知识，难度适中，注意掌握辅助线的作法与方程思想的应用．[素养提升][解析] (1)连接BD，已知ED，EB都是⊙O的切线，由切线长定理可证得OE垂直平分BD，而BD⊥AC(圆周角定理)，则OE∥AC.由于O是AB的中点，可证得OE是△ABC的中位线，即E 是BC的中点，那么在Rt△BDC中，DE就是斜边BC的中线，由此可证得所求的结论．(2)由(1)知：BC＝2BE＝2DE，则所求的比例关系式可转化为(BC2)2＝DF·DC，即DE2＝DF·DC，那么只需作出与△DEC相似的△DFE即可，这两个三角形的公共角为∠CDE，只需作出∠DEF＝∠C即可．①当∠DEC＞∠C，即180°－2∠C＞∠C，0°＜∠C＜60°时，∠DEF的EF边与线段DC相交，那么交点即为所求的点F；②当∠DEC＝∠C，即180°－2∠C＝∠C，∠C＝60°时，点F与点C 重合，点F仍在线段DC上，此种情况也成立；③当∠DEC＜∠C，即180°－2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，∠DEF的EF边与线段DC的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的点F.解：(1)证明：连接BD.∵ED，EB是⊙O的切线，由切线长定理，得ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，∴OE垂直平分BD.又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∴AD∥OE，即OE∥AC.又O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴EB＝EC，∴EB＝EC＝ED.(2)存在．在△DEC中，∵ED＝EC，∴∠C＝∠CDE，∴∠DEC＝180°－2∠C.①当∠DEC＞∠C时，有180°－2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在满足条件的点F.在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．证明：在△DCE和△DEF中，∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，∴△DEF∽△DCE，∴DEDC＝DFDE，∴DE2＝DF·DC，即(12BC)2＝DF·DC，∴BC2＝4DF·DC.②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°，此时，点C即为满足条件的点F，于是，DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF·DC.③当∠DEC＜∠C，即180°－2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.。