2a12
也无意义,但这时方程中已经不含交叉项,就用不到转轴变换了.
A
11
例 利用转轴变换,消去二次曲线x2+2xy+y2-4x+y-1=0中的交叉项.
解 设旋转角为,由决定方程得
可取 , 故转轴公式为： 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为
A
பைடு நூலகம்
12
4.2.3 二次曲线的判别
（Quadratic curve discriminant）
❖ 注：当I2≠0时,上一方程组就有唯一解,这时曲线称为中心型二 次曲线；当I2=0时,方程组就没有解或有无穷多解,这时曲线称 为非中心型二次曲线或无心型二次曲线。
A
7
例2 求二次曲线 x2xyy23x6y30的中心.
解 (x0,y0)是对称中心必须且只需满足中心方程,即
F1(x0
,
y0
)
x0
1 2
6x2 y2 12
标准方程是
x2 y2 1 2 12
O'
O"
x'
O
x
这是一个椭圆,如图所示.
作图要点：要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形,必须掌 握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角.本题中坐标 系O-xy平移到(2,1)成O'-x'y',再把坐标系O'-x'y'旋转角得 O"x"y".在新坐标系O"-x"y" 中根据椭圆的标准方程作图.
cos =1/51/2，sin = 2/51/2
2、得转轴公式为
A
24
代入原方程化简整理得转轴后的新方程为
配方得：
3、再做移轴变换
曲线方程就化为最简形式 4、写成标准方程为：
x2 5y
A
25
这是一条抛物线.它的顶点是新坐标系O"-x"y" 的原点,原方 程的图形可以根据它在坐标系O"-x"y" 中的标准方程作出,如图 所示.
由上节讨论，知道一般的坐标变换可以分解为移轴和 转轴两部分。因此，将分别考察移轴变换和转轴变换对方程 系数的影响。
A
5
1) 平移变换下二次曲线方程的系数的变化规律
将平移公式：x = x+x0 ，y = y+y0 代入曲线方程，化简整理， 设曲线方程变为 F(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0
cot 2 a11 a22
2a12
上式中的 不是唯一的，为确定起见，一般规定0≤ ≤
需要说明的是,我们为什么不用
tan2θ
2a12 a11 a22
?
这是因为当
a11=a22
时,
该式没有意义,而
cot 2 a11 a22
2a12
0
完全可以决定旋转角θ= /4.当a12=0时,虽然
cot 2 a11 a22
则方程中没有交叉乘积项。
注：若要通过旋转变换消去交叉项，只须旋转角 满足：
a12=(a22-a11)cos sin +a12(cos2 -sin2)=0,
即
(a22-a11)sin2 + 2a12cos2 =0
从而得旋转角 满足
A
10
因为余切的值可以是任意实数，所以一定存在 满足上式。
这就是说，一定可以通过转角 消去交叉项。
y0
3 2
0,
F2
x0
,
y0
1 2
x0
y
0
3
0.
解得(x0,y0)=(0,3).
所以(0,3)是曲线的中心 .
A
8
2) 旋转变换下二次曲线方程的系数的变化规律
将旋转公式： x = xcos – ysin , y = xsin + ycos 代
入曲线方程，化简整理，曲线方程变为
F(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比较方程系数，得旋转变换下曲线方程系数的变化规律:
a11 A a12
a12 a22
a13 a23
a13
a23
a33
为二次曲线(4.2-1)的系数矩阵,或称F (x,y) 的矩阵
再引入几个记号：
A
3
例1 试求二次曲线 6 x y 8 y2 1x2 2y6 1 1 0的系数矩阵A,
F1(x,y), F2(x,y) , F3(x,y), I1 , I2, I3, 和K1. 解 由以上记号知,
变,一次项系数变为0。 3、再做转轴变换消去xy项，令
得 tan =1/2 或 tan =-2 取 tan =1/2，可得 cos =2/51/2，sin = 1/51/2
A
16
4、转轴变换公式 ： x
2 x 5
1 y , 5
y
1
x
2
y .
y y"
y'
5
5
代入,可将方程化简为
x"
解 因为I2＝<0,所给的二次曲线是双曲型的. 中心方程组 2x3y100,
3x2y100.
解得中心坐标为 (－ 2,2) .作移轴变换 x x 2,
y
y
2,
原方程化为 x23xyy210
再作转轴变换 得旋转角为
，.故c转ot轴2θ变1换31为0
x
1 ( x y ), 2
4
y
1
( x y ).
(1) 椭圆型：I2>0， (2) 双曲型：I2<0， (3) 抛物型：I2=0。 注：二次曲线类型判别的严格证明，参看后文的利用不变量化 简曲线方程部分。
A
13
4.2.4 二次曲线的化简与作图
（Simplification and graphing of Quadratic curves）
根据坐标变换下方程系数的变化规律，对于中心型二 次曲线，可以先求出曲线的中心，通过移轴变换消去一次项， 然后再作转轴变换时，就不用整理一次项了。而对于非中心 型二次曲线，由于曲线没有中心，只能先作转轴变换。这就 是说，要根据曲线的类型，采用不同的化简方法。
A
17
注：本题转轴时若取tanθ＝-2，
则可得cos =1/51/2，sin = -2/51/2 ，所得的转轴公式是
得到的标准方程为
,
图形相对于原坐标系的位置不变。此时Ox轴的正向恰好是图 中y 轴的反向。
A
18
例 化简二次曲线方程x2-3xy+y2+10x-10y+21=0,写出坐标变换公 式并作出它的图形．
从前面的讨论可知，二次曲线化简的关键是如何消去方 程中的交叉项xy和一次项。化简一般二次曲线方程，首先要 判别二次曲线的类型，然后根据曲线的类型，采用不同的坐 标变换。 心 以型下二曲3次种线曲类；线型当的：I类2=型0时可,二以次用曲I2来线判是别非：中当心I型2≠曲0时线,二.又次可曲以线细是分中为
比较方程系数，得平移变换下曲线方程系数的变化规律： (1) 二次项系数不变； (2) 一次项系数变为F1(x0,y0), F2(x0,y0)； (3) 常数项变为F(x0,y0).
A
6
若取新坐标原点O (x0,y0)满足方程
❖ 则在新坐标系下,方程中将无一次项,曲线对称于原点,点(x0,y0) 就是曲线的对称中心。如果对称中心是唯一的,称为曲线的中 心。此时方程称为中心方程。
A
4
4.2.2 直角坐标变换下，二次曲线方程的系数变 换规律
（Variation low of coefficients equation of quadratic curves under Descartes coordinates）
为了选择适当的坐标变换来化简二次曲线的方程，需要 了解在坐标变换下方程的系数是怎样变化的。
A
14
1)中心型二次曲线(I2≠0)的化简与作图：
对于中心型二次曲线，采用“先移后转”，较为简便。 其具体步骤是： 1、解中心方程组，求出曲线的中心(x0,y0) ； 2、作平移变换，消去一次项；
3、利用旋转角公式，求出cos 、sin ；
4、作旋转变换，消去交叉项，得到曲线的标准方程； 5、将旋转变换代入平移变换，得到直角坐标变换公式； 6、作出新旧坐标系O-xy、O-xy和O-xy ，在新坐标系下 按照标准方程作出曲线的图形。
综上所述,利用直角坐标变换化简二次曲线方程,不仅可以得到 二次曲线的标准方程,还可以写出所作的坐标变换公式,并作 出曲线的图形,这正是直角坐标变换的优势所在.
A
27
4.2.5 二次曲线方程的分类
（Classification of equation of Quadratic curves)
需要将新旧坐标系同时画出.
A
26
例 化简二次曲线方程 2x2+xy-3y2-13x-2y+21=0
解 计算得I2 < 0, I3 = 0,可知所给二次曲线是退化的双曲型曲线, 表示两条相交直线．直接将原方程左边分解因式,得 (x-y +3)(2x + 3y-7) = 0,
故原二次曲线的方程表示两条相交直线 x-y + 3 = 0 和 2x + 3y-7 = 0.
所表示的曲线，称为一般二次曲线（a11，a12和a22不全 为零）。
A
1
4.2.1 一些常用记号 （Notations）
为了以后讨论问题和书写的方便,引进下面的一些记号：
A
2