1. 〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？2. 代数结构〈I ，+〉与〈N ，·〉是否同构？3. 设X 为集合，证明〈P （X ），∩〉与〈P （X ），∪〉是同构的。

4. 求出〈N 6，+6〉的所有自同态。

1. 给定代数结构〈I ，+，·〉，定义I 上的二元关系R 为：i R j 当且仅当 | i | = | j | ,关于加法运算 +，R 是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？2. 设R 是N 3上的等价关系。

若R 关于 +3具有代换性质，则R 关于·3也一定具有代换性质。

求出N 3上的一个等价关系S ，使其关于·3具有代换性质，但关于 +3不具有代换性质。

3. 试确定I 上的下述关系R 是否为〈I ，＋〉上的同余关系： a) x R y 当且仅当 (x ＜0∧y ＜0＝∨(x ≥0∧y ≥0)； b) x R y 当且仅当 | x ·y |＜10；c) x R y 当且仅当 (x = 0∧y = 0)∨(x ≠0∧y ≠0)； d) x R y 当且仅当 x ≥ y 。

第二章2. 在以下给出的N 上的关系R 中，哪些是么半群〈N ，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。

a ) aRb 当且仅当 a －b 是偶数。

b ) aR b 当且仅当 a ＞b 。

c ) aR b 当且仅当 存在r ∈I 使a = 2 r ·b 。

d ) aR b 当且仅当 10整除a －b 。

3. 设〈S ，*〉是半群，a ∈S ，在S 上定义二元运算·如下：x ·y = x * a * y ， x ，y ∈S证明〈S ，·〉也是半群。

4. 设〈M ，*〉是么半群且＃M ≥2。

证明M 中不存在有左逆元的左零元。

5. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=R a a T R b a b a S |000,,|00，·为矩阵的乘法运算。

证明： 1)〈S ，·〉为么半群； 2)〈T ，·〉为么半群； 3)〈T ，·〉是〈S ，·〉的子半群，但〈T ，·〉不是〈S ，·〉的子么半群。

9. 试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。

定理2.2.5 设〈G ，*〉为群。

若k ∈I 且a ∈G 的阶为n ，则a k = e 当且仅当 n ｜k 。

定理2.2.6 设〈G ，*〉为群且a ∈G 。

若k ∈I 且a 的阶为n ，则a k 的阶为 n /（k ，n ）。

推论 设〈G ，*〉为群。

若a ∈G ，则a 与a －1的阶相同。

定理2.2.7设〈G，*〉为交换群且a，b∈G。

若a的阶为m，b的阶为n且（m，n）=1，则ab的阶为mn。

定理2.2.8有限群〈G，*〉的每个元素的阶为有限的，并且不超过＃G 。

习题2.22. 设〈G，*〉是群，u∈G，定义G上的二元运算·如下：a·b = a* u－1 * b，a，b∈G证明〈G，·〉也是群。

3. 设〈G，*〉为群，如果对任意a∈G均有a2 = e，则〈G，*〉为交换群。

4. 设〈G，*〉为群，证明〈G，*〉是交换群，当且仅当对任意a，b∈G，均有(ab)2 = a2 b2。

5. 设〈G，*〉为群，且对任意a，b∈G均有(ab)3 = a3b3且(ab)5 = a5b5。

证明〈G，*〉为交换群。

5.设〈G，*〉是群，a，b∈G，a不是G的么元且a4b = ba5。

证明ab≠ba。

6.证明每个元素都可约的有限半群是群。

7.证明有限多个群的积代数结构仍是群。

10. 设〈G，*〉是群，a，b，c∈G。

证明1)a和b－1ab的阶相同；2)ab和ba的阶相同；3)abc，bca和cab的阶相同。

11. 有限群中阶大于2的元素个数必为偶数。

12. 证明〈N n－{0}，·n〉是群，当且仅当n为素数。

13. 设d，m∈I+ 。

证明d是m的因子当且仅当d是〈N m，＋m〉中某元素的阶。

14. 求下列群中每个元素的阶：1)〈N5，＋5〉；2)〈N12，＋12〉；3)〈N7－{0}，·7〉；4)〈N13－{0}，·13〉。

定理2.3.2若H为群G的非空子集，则H≤G，当且仅当对任意a, b∈H皆有a * b－1∈H。

定理2.3.3若群G的非空有穷子集H关于G的二元运算封闭，则H≤G。

定理2.3.5设f是群G1到G2的群同态，e i 为G i的幺元（i = 1, 2）。

i）f (e1) = e2 。

ii）若a∈G1，则f (a－1 ) = ( f (a ) )－1 。

iii）若H≤G1，则f [H]≤G2 。

iv）若f为群单同态且a∈G1，则a的阶与 f (a ) 的阶相同。

习题2.31.找出下列各群的所有子群。

a) 〈N12，+12〉；b) 〈N5，+5〉；c) 〈N7－{0}，·7〉；d ) 〈N 11－{0}，·11〉。

2. 求下列各群上的自同态。

1) 〈N 8，+8〉； 2) 〈N 6，+ 6〉； 3) 〈N 5－{0}，·5〉； 4) 〈N 7－{0}，·7〉。

3. 设f 是群〈G 1，*〉到〈G 2，·〉的群同态，a ∈G 1 。

a 与f (a ) 的阶一定相同吗？证明你的断言。

4. 设H 1和H 2是群G 的子群，证明H 1∩H 2 也是G 的子群。

H 1∪H 2是G 的子群吗？证明你的断言。

5. 设H 是群G 的非空子集，并且H 中每个元素的阶都有限，则H 为G 的子群的充分必要条件是H 关于G 的乘法封闭。

6. 设f 和g 均为群G 1到G 2的群同态，令H = { a ∈G 1 | f (a ) = g (a ) }证明H 是G 1的子群。

7. 设G 是群，H 和K 是G 的子群。

a ) HK 和KH 必为G 的子群吗？试证明或给出反例；b ) HK 是G 的子群，当且仅当HK ＝KH 。

8. 设〈G ，*〉是群，令C (G ) = { x ∈G | 若y ∈G ，则x * y = y * x }证明C (G ) 是G 的子群。

C (G ) 称为 群G 的中心。

9. 设H 为群G 的子群，a ∈G ，令aHa －1 = { aha －1 | h ∈H }证明aHa －1 是G 的子群。

aHa －1 称为H 的共轭子群。

10. 设H 为群G 的子群，令N (H ) = {a ∈G | aHa －1 = H }证明N (H ) 是G 的子群。

N (H ) 称为H 的正规化子。

11. 群G 的自同构是从G 到G 的同构。

证明G 的所有自同构的集合关于函数的合成运算构成群。

12. 设G 是有限群，H 是G 的子群，a ∈G 。

证明存在最小正整数m 使a m ∈H ，且m 是a 的阶n 的因子。

13. 设a 是群G 的阶为n 的元素，H 是G 的子群。

证明：如果a m ∈H 且 (m ，n ) =1，则a ∈H 。

2. 求下列置换：a) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13424321 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛12344321 b) 3136254654321⎪⎪⎭⎫⎝⎛c) (1 2 3 4 5) (2 3 4) d) (3 6 2) (1 5) (4 2)e) 1435612654321-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f) (1 2 4 6 5 7)－23. 将下列置换表示为无公共元素的循环的乘积：a) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛543216654321 b) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛37516427654321 c) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛6153724989876543214. 除么元外，每个元素的阶都是2的四阶群称为克莱因（Klein ）四元群。

a) 列出克莱因四元群的运算表； b) 找出克莱因四元群的所有子群； c) 找出与克莱因四元群同构的置换群。

5. 指出下列群是否为循环群？若是循环群，则给出其一个生成元： 1) 有理数加群〈Q ，+〉；2) 正有理数乘法群〈Q+ ，·〉； 3) 〈G n ，·〉，其中G n = {x | x ∈C 且x n =1}，n 为正整数，·为复数的乘法。

4) 〈I ，*〉，其中a * b = a + b －2，a ，b ∈I 。

6. 设G 为群，a ，b ∈G ，a 的阶为素数p 且a ∉(b )。

证明 (a )∩(b ) = {e }。

8. 设H = (a m )，K = (a n ) 是循环群G = (a ) 的两个子群，且d = [m ，n ]。

证明H ∩K ＝ (a d )。

9. 任一无限群必有无穷多个子群。

10. 证明循环群的子群必为循环群。

11. 证明无限循环群恰有两个生成元。

12. 无限循环群的子群除{e }外均为无限循环群。

13. 设存在代数结构〈G ，·〉到〈G ′，*〉的满同态，如果〈G ，·〉是循环群，则〈G ′，*〉也是循环群。

14. 设G 是无限循环群，G ′是任意循环群。

证明存在G 到G ′的满同态。

定理2.5.4（拉格朗日定理） 如果H 是有限群G 的子群，则＃H 整除 ＃G ，并且＃G = ＃H ·［G ∶H推论1 有限群G 的每个元素的阶整除G 推论2例4 若将同构的群视为一个群，则只存在两个4阶群，并且都是交换群。

例5 若H 和K 是群G 的子群且K △G ，则H ∩K △H定理2.5.6 设H △G ，则G 关于H 的陪集关系R 是G 定理2.5.7 设H 为群〈G ，·〉的不变子群，则〈G ，·〉关于H 的陪集关系的商代数结构 〈G / H ，⊙〉是群，并称为G 关于H 的商群。

其中对任意a ·H ，b ·H ∈G / H ， (a ·H ) ⊙ (b ·H ) = (a ·b )·H 。

定理2.5.8 设R 是群〈G ，·〉上的同余关系，则［e ］R △G ，并且R 是G 关于［e ］R的陪定义2.5.3 设f 是群G 1到G 2的群同态，集合 {g ∈G 1｜f (g ) = 2G e } 称为f 的同态核，记为Ke r f ，其中2G e 为G 2的幺元。

定理 2.5.9 设f ：G1 →G2 i) Ke r f △G １ii) f 是内射 当且仅当 Ke r f = {1G e }定理2.5.10 （群第一同构定理） 设f 是群〈G 1 ，·〉到〈G 2 ，*〉的群同态，则商群〈G 1 / Ke r f ，⊙〉同构于〈 f ［G １］，*这只是定理1.5.2定理2.5.12 若H ，K 是群G 的有限子群，则｜H K ｜=｜H ｜·｜K ｜/｜H ∩K ｜。