案例分析与数学教师的专业发展顿继安1裴艳萍2(1.北京教育学院数学系 2.北京市门头沟区新桥路中学)在平凡的数学教学生活中,经常会发生一些让老师有所触动的故事.这些故事可以成为被抛进平静湖面的小石子,虽然激起了丝丝涟漪,但是很快会消逝于深邃的湖底;也可以通过多角度地分析与解读,成为引领我们思考和认识数学教育基本规律的的璀璨明珠.下面就是一个这样的故事:在讲完分式通分后,P 老师留了书上的练习为作业,题目都是常规问题,P 认为很简单.当晚9点多,P 正忙着写计划时,邓同学打来电话:a a +b ,b a -b 最简公分母是什么?P 很诧异:这怎么不会呢?不就是(a +b)(a -b)吗?!邓当时迟疑了一下,然后 啊!了一下,放下了电话.类似地讨论:要使过点(a,b)的曲线的切线有两条,则方程(*)有两相异实根,显然a ∀0,当t =0,t =a 时,函数g (t)取得极(大或小)值,要使方程(*)有两相异实根,函数g (t)的极大(小)值中有一个为零,即下面两种情况:a +b =0或#b -f (a)=0,亦即:结论5 中心切线y =-x 除对称中心上的所有的点,或曲线y =f (x )上除对称中心上的所有的点.至此中心切线y =-x ,直线x =0,三次曲线y =f (x )将坐标平面划分的几个区域,过该区域内一点可作曲线的切线的条数如下图所示.生6提出问题(六):探究任意的三次曲线f (x )=ax 3+bx 2+cx +d(a ∀0)直线x =-b3a ,中心切线,将平面分成的几个区域中,过区域内的点作曲线的切线,切线的条数有怎样的结论?可得出:结论6 该三次曲线的下方,与中心切线的上方的公共区域,或该三次曲线的上方,与中心切线的下方的公共区域,存在三条不同切线;三次曲线上,中心切线上,除对称中心上的所有的点的区域存在两条不同切线;其余的区域,及对称中心只有一条切线.这几个区域关于对称中心对称.(建议同学们课后加以证明)对于本堂课产生的效果是令人欣慰的,一是学生探究的积极性很高,敢于猜想,有力地激发了学生的探究性思维,培养了探究能力,二是探究的结论科学性强,可以享受数学的对称美.392010年 第49卷 第2期 数学通报 本文为北京市教育科学十一五规划重点课题 三维目标与单元教学设计!成果.由于当时太忙,P并没有过多的思考学生为什么问出这个问题,接着写计划.第二天上课本应讲分式加减法混合运算,P 首先提问:如何进行异分母加减法运算?!学生:异分母的加减法运算首先要转化为同分母,那就需要通分.P又问:通分同学们有问题吗?本来以为学生会爽快地说:没有问题!这时,陈同学(学习成绩总在班上的前三名)站起来:老师,昨天,作业上有一道题我感觉没有办法通分.P问:哪一道?陈同学说:21页1题(2)P打开书,发现是aa+b,b a-b.P马上想起昨晚的电话,意识到一定学生在哪里出了问题,于是马上追问:你为什么说没有办法通分呢?陈说:分母不是乘积形式,没有办法确立最简公分母.P马上构思并讲解:将a+b,a-b看作一个整体,或者看作1∃(a+b),1∃(a%b)不就行了!!接下来想马上进入新课.然而,此时,周同学站了起来:老师,我认为您这样解释他还是不会明白,而且这不是他不会的&根儿∋.其实,a+b,a-b是互质的,就像2和3!.很多学生呼应道:对,所以是它俩的积!P看到了陈同学的表情豁然开朗,感到很高兴,认为这下可以进入新课了.没想到,又有一位齐同学问:1x2+y2,1(x+y)2如何通分?!其他同学异口同声:那不就是周说的吗!互质,乘积!((类似的故事相信在许多初中教师的课堂上都发生过,a+b,a-b看作一个整体,或者看作1∃(a+b),1∃(a-b)不就行了!!,面对遇到学生的问题,P老师的反应也是一般老师们的常见反应%%%把学生的问题归因于缺乏整体思想!.但是,整体思想!的本质是什么?为什么这么多的学生缺乏整体思想!?数学上还有哪些知识的学习存在着类似的困难?((如果我们能够这样追问下去,也许会赋予这个故事以不同的意义.下面,我们就对上面的故事从多个视角进行解读.视角1 数学知识从数学知识的角度看,分式通分的意义似乎简单而清楚,即对异分母分式ca+db(这是分式通分的原型问题)做加减运算时,需要按照代数式恒等变形的原则统一分母后再相加:ba+bc=bcac+adac=bc+adac这里的字母a、b、c、d表示任何一个数,也可以表示任何一个代数式,所以上述的过程适用于任何两个异分母分式的加减法,P老师布置的作业,是学习了分式通分!后的常规题目.然而这样的解释只反映了数学知识的结论,却掩盖了人类探索知识过程中的思维过程,不利于发挥知识的育人价值.在上面的故事中,老师们希望学生掌握的是整体思维!,指的是将一个代数式用一个字母表示,其中包含把一个缺乏结构的问题转化为一个结构化的问题的思维过程.然而,教师往往采用把a+b,a-b看作一个整体!的方式进行教学,这是把思想方法作为具体的解题方法进行教学的表现,学生通过训练掌握了这些具体方法并不意味着就能领会到方法背后的思维活动,因此并不一定能灵活运用这些方法.以故事中的整体思想!为例,面对找不到最简公分母!和没有办法通分!的困惑,如果我们能够引领学生去思考通分的目的、分式通分可以利用的资源,体会目的和资源关系的实质是实现通分,需要找公分母,帮助学生以分式通分原型问题的结构为基础去寻找新问题的解决方案,理解原型问题对于数学解决问题活动的作用与价值,进而理解把加减算式看成是乘法算式的意义,那么就能够揭示出整体思想!的思想性、过程性的价值.视角2 学生的认知这个故事让我们看到,即使是优秀的学生陈受到了分母不是乘积形式!的影响,认为没有办法确定最简分母!,而已经独立将问题解决的周同40数学通报 2010年 第49卷 第2期学也是借助了具体的数以及数中的互质!概念来帮助自己理解的.实际上,影响学生学习的一个关键因素是学生认知水平的发展,按照瑞士心理学家皮亚杰的研究成果,儿童认知的发展分为四个阶段:感知运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段、形式运算阶段.其中,形式运算阶段发展起来的重要能力就是抽象思维能力,这种能力是学习初中数学的基础.皮亚杰的研究还表明,形式运算阶段开始于11% 12岁,一直持续到成人期,而且个体之间存在着巨大的差异,许多初一、初二学生(甚至有的初三学生)的认知发展处于具体运算阶段和形式运算阶段的过渡期,因此,在领会可以用一个字母表示表示数的代数式!的整体思想!的过程中,许多学生会遭遇认知发展上的障碍,外在的操作活动不断与内在的认知活动发生冲突,表现为一会儿明白、一会儿糊涂!,一旦挺过这一困苦期,他们就进入了一个新的认知发展阶段.这个平凡的小故事具有不寻常的意义:它是学生认知发展上某个重要的过渡阶段的典型表现,也让我们对数学学习在学生认知发展中的独特价值产生了新的认识.老师,我认为您这样解释他还是不会明白,而且这不是他不会的根儿!.其实,a+b,a-b是互质的,就像2和3!,同样蹒跚前行的周同学不但主动建构自己的理解,还在建构自己是怎么理解的!!这又使我们想到了弗雷登塔尔的话:数学是系统化了的尝试!,一个聪明的儿童自己就能创造出许多的数学知识!,实际上,学生通过生活和数学学习经验自发产生了许多数学思想,当面对新的对象时,他们的头脑中总会重现与之有关的数学经验,并努力用这些经验对新的对象进行解读,比如周同学自发通过类比,用整数来解释整式,而邓同学和陈同学则对分式的通分要求分母必须是积的形式!的认识便成为他们理解新问题的障碍.视角3 教师的观念与行为为什么老师认为很简单!的问题却出现了大面积的困难?为什么周同学的说法引起了共鸣? P老师讲述这个故事后说:如果我当时能象周同学那样,讲就好了.也会有些老师对上面的现象不以为然,提出这样教、那样教!的具体的教学建议.然而,仅仅从怎么教!的角度去解释是难以真正解决问题的,比如,上面的案例中,全班同学似乎已经在周同学的启发下产生了大梦初醒的感觉,但还是有齐同学仍然张着迷惑的双眼在求助?正如前面的分析,学生的困难是由数学知识自身的抽象性和学生的认知水平矛盾导致的,是一种规律性困难,学生认知发展之间的巨大差距更决定了我们不可能找到一个放之四海而皆准!的教学方法.正如著名特级教师刘景昆的感言:重要的概念不是我教会的,而是学生自己悟出来的!,唯一有效的教学就是使得知识与学生的已有认知产生关联而变得有意义,因此,教师的选择就是努力了解学生已经具备的知识基础和建构能力,给学生更多的自主选择、自己发现和自我调节的机会,必要时给予适当的帮助.好在P老师容忍了学生多次制止!了她想讲新课!的行为,给了学生将自己的理解和困难进行了充分地表达的机会,这一由学生主导的过程也是对学生主体地位的诠释%%%有效的学习需要围绕着学生思想认识上的困难和需要指导的地方进行,如果教师能够自觉认识到这一点,就会由被动生成变为主动设计.类似上面的故事经常发生在我们身边.故事虽小,但真实而深刻地展示了教师与学生的对话与互动过程,为我们理解初中生(这是一个认知发展的特殊阶段)的数学思维和教师的教学思维提供了一个窗口;通过聚焦于数学知识、聚焦于学生的认知、聚焦于教师的教,明察发生在身边现象的价值,敏感于问题的深层结构,进而根本性地解决问题.养成积累这些故事的习惯,在解读故事中不断谋求专业知识的学习与发展,形成对数学教育深入、系统的理解,提高我们的专业化水平.参考文献1.王长沛.学生如何理解战略性概念.人民教育,2006,52.斯腾博格著,张厚粲译.教育心理学.北京:中国轻工业出版社,2003,53.郑毓信等著.数学思维与数学方法论.成都:四川教育出版社,2001,44.王长沛.数学教育与素质教育.北京:中华工商联出版社,1999,95.弗赖登塔尔著,陈昌平等译.作为教育任务的数学.上海:上海教育出版社,1999,8412010年 第49卷 第2期 数学通报。