2015-2016学年广东省潮州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列方程是一元二次方程的是( )A．（x+2）（x﹣1）=1 B．y2+x=1 C．+x2=1 D．2x+1=02．下面两个电子数字成中心对称的是( )A． B． C． D．3．抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为( )A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=﹣1 D．直线x=﹣14．有下列四个命题①直径相等的两个圆是等圆②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通过圆心的弦④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是( )A．①③B．①③④ C．①④D．①5．下列事件中是必然事件的是( )A．明天我市天气晴朗B．两个负数相乘，结果是正数C．抛一枚硬币，正面朝下D．在同一个圆中，任画两个圆周角，度数相等6．将关于x的方程x2﹣4x﹣2=0进行配方，正确的是( )A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x+2）2=6 D．（x﹣2）2=67．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为( )A．40°B．50°C．80°D．100°8．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）与点Q关于原点对称，则点Q的坐标为( ) A．（﹣2，﹣3）B．（3，﹣2）C．（2，3）D．（2，﹣3）9．在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组作摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表示请估算口袋中白球约是只．A．8 B．9 C．12 D．1310．二次函数y=kx2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是( )A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠0二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0的一根是1，则a=__________．12．将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为__________．13．将抛物线y=x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是__________．14．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，6）的对应点A′的坐标是__________．15．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是__________．16．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解为__________．三、解答题（共9小题，满分66分）17．用公式法解方程：x2+x﹣1=0．18．甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，请用列举法求出甲站在合影中间的概率．19．如图，在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为10cm，求点O到弦AB的距离及弧AB 的长度．20．在同一平面直角坐标系中，请按要求完成下面问题：（1）△ABC的各定点坐标分别为A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），请画出它的外接圆⊙P，并写出圆心P点的坐标；（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′．21．如图，点O是△ABC内一点，AC=BC，∠BOC=a，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，AO．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a为150°时，请判断△ADO的形状并说明理由．22．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点为（﹣1，0），与y 轴的交点为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，若函数值y随x的增大而减小，求自变量x的取值范围．23．2013年，某市某楼盘以每平方米6000元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米4860元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款25万元，张强的愿望能否实现？为什么？（房价每平方米按照均价计算）24．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，延长BC到点F，连接AF，使∠ABC=2∠CAF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x﹣3经过坐标轴上A，B，C三点，动点P 在抛物线上．（1）求证：OA=OC；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，直接写出△DEF外接圆的最小面积．2015-2016学年广东省潮州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列方程是一元二次方程的是( )A．（x+2）（x﹣1）=1 B．y2+x=1 C．+x2=1 D．2x+1=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、（x+2）（x﹣1）=1是一元二次方程，故A正确；B、y2+x=1是二元二次方程，故B错误；C、+x2=1是分式方程，故C错误；D、2x+1=0是一元一次方程，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．下面两个电子数字成中心对称的是( )A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合，再结合各个选项的图形特点即可得出答案．【解答】解：A、B、和D选项中的两个电子数字旋转180度后的图形不能和原图形完全重合，故不是中心对称图形；只有C选项中的两个电子数字所组成的图形是中心对称图形．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合，属于基础题，比较容易解答．3．抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为( )A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=﹣1 D．直线x=﹣1【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【分析】根据顶点式二次函数解析式写出对称轴解析式即可．【解答】解：抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为x=﹣1．故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式解析式是解题的关键．4．有下列四个命题①直径相等的两个圆是等圆②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通过圆心的弦④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是( )A．①③B．①③④ C．①④D．①【考点】命题与定理．【分析】根据圆的有关性质和等弧的定义即可求出答案．【解答】解：①直径确定圆的大小；②弧度还得相同；③圆中最大的弦是通过圆心的弦即直径；④一条弦（直径）把圆分成两条弧，这两条弧也可能是等弧；①③正确．故选A．【点评】本题考查了真命题的定义．解决本题要熟悉直径、弧、弦等概念．5．下列事件中是必然事件的是( )A．明天我市天气晴朗B．两个负数相乘，结果是正数C．抛一枚硬币，正面朝下D．在同一个圆中，任画两个圆周角，度数相等【考点】随机事件．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【解答】解：A，C，D选项，是可能发生也可能不发生事件，属于不确定事件．B是必然事件的是两个负数相乘，结果是正数．故选B．【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．将关于x的方程x2﹣4x﹣2=0进行配方，正确的是( )A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x+2）2=6 D．（x﹣2）2=6【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】在本题中，把常数项﹣2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=2+4，配方得（x﹣2）2=6．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为( )A．40°B．50°C．80°D．100°【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得∠BOC=2∠A，进而可得答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，∴∠A=∠B0C=50°．故选b．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是准确把握圆周角定理即可．8．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）与点Q关于原点对称，则点Q的坐标为( ) A．（﹣2，﹣3）B．（3，﹣2）C．（2，3）D．（2，﹣3）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点P（﹣2，3）与点Q关于原点对称，则点Q的坐标（2，﹣3），故选：D．【点评】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．9．在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组作摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表示A．8 B．9 C．12 D．13【考点】利用频率估计概率．【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6，进而可估计口袋中白球的个数．【解答】解：根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，则可估计口袋中白球的个数约为20×0.6=12（个）故选C．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确，求出摸到白球的概率是解题关键．10．二次函数y=kx2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是( )A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠0【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数y=kx2﹣2x+1的图象与x轴有两交点，可知kx2﹣2x+1=0时的△＞0，且k≠0，从而可以求得k的取值范围．【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣2x+1的图象与x轴有交点，∴kx2﹣2x+1=0时，，解得k＜1且k≠0．故选B．【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，能将抛物线与一元二次方程建立关系以及注意二次项系数不等于0是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0的一根是1，则a=．【考点】一元二次方程的解．【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．【解答】解：把x=1代入x2+ax+a﹣2=0，得12+a+a﹣2=0，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．12．将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为．【考点】概率公式．【分析】让英文单词theorem中字母e的个数除以字母的总个数即为所求的概率．【解答】解：∵英文单词theorem中，一共有7个字母，其中字母e有2个，∴任取一张，那么取到字母e的概率为．故答案为．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．13．将抛物线y=x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y=（x+2）2或y=x2+4x+4．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=（x+2）2+2；再向下平移2个单位为：y=（x+2）2+2﹣2，即y=x2+4x+4．故答案为：y=（x+2）2或y=x2+4x+4．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，6）的对应点A′的坐标是（6，2）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．【解答】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°，∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′，∴∠AOC=∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，，∴△ACO≌△A′C′O（AAS），∴AC=A′C′，CO=C′O．∵A（﹣2，6），∴AC=2，CO=6，∴A′C′=2，OC′=6，∴A′（6，2）．故答案为：A′（6，2）．【点评】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．15．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是12π．【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【分析】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积．即可求解．【解答】解：阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=12π．故答案为：12π．【点评】本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积是解题的关键．16．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解为x1=1，x2=﹣3．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是x=﹣1，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解．【解答】解：观察图象可知，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x=﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=1，x2=﹣3．故本题答案为：x1=1，x2=﹣3．【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法．一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交点的横坐标的值．三、解答题（共9小题，满分66分）17．用公式法解方程：x2+x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a=1，b=1，c=﹣1，∵△=1+4=5，∴x=，则x1=，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．18．甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，请用列举法求出甲站在合影中间的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】利用列举法写出所有6种等可能的结果，再找出甲站中间的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：三位好朋友合照的站法从左到右有：（甲乙丙），（甲丙乙），（乙甲丙），（乙丙甲），（丙甲乙），（丙乙甲），共有6种等可能的结果，其中甲站中间的结果有2种，记为事件A，所以P（A）==．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．19．如图，在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为10cm，求点O到弦AB的距离及弧AB 的长度．【考点】垂径定理；勾股定理；弧长的计算．【分析】过点O作OC⊥AB于点C，由在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为10cm，可得△OAB是等边三角形，继而求得∠AOB的度数，然后由三角函数的性质，求得点O到AB的距离，由弧长公式求出弧AB的长度即可．【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，如图所示：∵OA=OB=AB=10cm，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴OC=OA•sin60°=10×=5（cm），的长度==；即点O到弦AB的距离为5cm，弧AB的长度为cm．【点评】此题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角函数、弧长公式．熟练掌握垂径定理，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．20．在同一平面直角坐标系中，请按要求完成下面问题：（1）△ABC的各定点坐标分别为A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），请画出它的外接圆⊙P，并写出圆心P点的坐标；（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′．【考点】作图-旋转变换；作图—复杂作图．【专题】作图题．【分析】（1）作AC和BC的垂直平分线得到点P，然后以点P为圆心，PA为半径作⊙P，则⊙P为△ABC的外接圆，再写出P点坐标；（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A′、C′即可得到△A′BC′．【解答】解：（1）如图，⊙P为所作，P点坐标为（﹣1，0）；（2）如图，△A′BC′为所作．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了复杂作图．21．如图，点O是△ABC内一点，AC=BC，∠BOC=a，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，AO．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a为150°时，请判断△ADO的形状并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．【分析】（1）根据旋转的性质可得OC=CD，∠OCD=60°，然后根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形判定即可；（2）根据旋转的性质可得∠ADC=α，然后求出∠ADO=90°，即可得解．【解答】（1）证明：由题意，利用旋转的性质可得△BOC≌△ADC∠OCD=60°，∴OC=DC，∴△COD为等边三角形；（2）解：△ADO为直角三角形，理由：由（1）可得∠BOC=∠ADC，∠ODC=60°，∵∠BOC=a=150°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=150°﹣60°=90°，∴△ADO为直角三角形．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的两底角相等的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．22．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点为（﹣1，0），与y 轴的交点为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，若函数值y随x的增大而减小，求自变量x的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）把点（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．【解答】解：（1）把点（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，所以二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）因为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以抛物线的对称轴为直线x=1，若函数值y随x的增大而减小，则x的取值范围为x＞1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．23．2013年，某市某楼盘以每平方米6000元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米4860元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款25万元，张强的愿望能否实现？为什么？（房价每平方米按照均价计算）【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意得到6000（1﹣x）2=4860，然后可求得下调的百分比；（2）计算出2016年下调后每平方米的价格，然后求得住房的总价，然后与45元进行比较可得到答案．【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为x，依题意得：6000（1﹣x）2=4860，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9=190%（不合题意，应舍去）．答：平均每年下调的百分率为10%．（2）张强的愿望能够实现．理由：购买的住房费用：4860×（1﹣10%）×100=437400（元）现金及贷款为：20+25=45（万元）．∵45万元＞437400元，∴张强的愿望能够实现．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的应用，根据根据2013年和2015年每平方米的价格列出方程是解题的关键．24．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，延长BC到点F，连接AF，使∠ABC=2∠CAF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接BD，由圆周角定理得出∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABC=2∠ABD，得出∠ABD=∠CAF，证出∠CAF+∠CAB=90°，BA⊥FA，即可得出结论；（2）连接AE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，设CE长为x，则EB长为3x，AB=BC=4x．由勾股定理可得AE=，在Rt△AEC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°，∵BA=BC，∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD∵∠ABC=2∠CAF，∴∠ABD=∠CAF，∵∠ABD+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，∴AF是⊙O的切线；（2）解：连接AE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°，即△AEB为直角三角形，∵CE：EB=1：3，设CE长为x，则EB长为3x，BC长为4x．则AB长为4x，在Rt△AEB中由勾股定理可得AE=，在Rt△AEC中，AC=4，AE=，CE=x，由勾股定理得：，解得：，∵x＞0∴，即CE长为．【点评】本题主要考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质；熟练掌握切线的判定方法，运用勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x﹣3经过坐标轴上A，B，C三点，动点P 在抛物线上．（1）求证：OA=OC；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，直接写出△DEF外接圆的最小面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点的坐标，可得答案；（2）①以A为直角顶点时，根据根据等腰三角形的性质，可得∠2的度数，∠3的度数，根据对顶角的性质，可得∠4的度数，根据等腰直角三角形的性质，可得P1H1=H1G，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②当C为直角顶点时，根据角的和差，可得∠P2CH2=45°，根据等腰直角三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据矩形的性质，可得OD与EF的关系，根据垂线段的性质，可得OD的长，根据圆的面积公式．【解答】（1）证明：由抛物线y=x2+2x﹣3令y=0，则x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，所以A（﹣3，0），即OA=3；令x=0，则y=﹣3，所以C（0，﹣3），即OC=3；所以OA=OC；（2）解：①当A为直角顶点时，过点A作AP1⊥AC，交抛物线于点P1，交y轴于点G，过P1作P1H1⊥y轴于点H1，如图1所示，由（1）OA=OC，∠AOC=90°∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠1=∠2=45°．∵∠P1AC=90°，∴∠P1AO=45°，∠3=45°，∴∠4=∠3=45°，∴∠H1P1G=45°△AOG，△P1H1G为等腰直角三角形即OA=OG=3，P1H1=H1G，设P1（a，a2+2a﹣3）则a=a2+2a﹣3﹣3，解得a1=2，a2=﹣3（舍）此时a2+2a﹣3=5所以P1坐标是（2，5）；②当C为直角顶点时，过点C作CP2⊥AC，交抛物线于点P2，过P2作P2H2⊥y轴于点H2，如图2所示，∵∠1=45°，∠P2CA=90°，∴∠P2CH2=45°．∵∠P2H2C=90°，∴△P2H2C为等腰直角三角形．即P2H2=H2C设P2（a，a2+2a﹣3）则﹣a=﹣a2﹣2a+3﹣3，解得a1=﹣1，a2=0（舍去），此时a2+2a﹣3=﹣4所以P2坐标是（﹣1，﹣4）综上所述，点P坐标是（2，5）或（﹣1，﹣4）．（3）△DEF的外接圆面积最小等于．如图3所示，因为△DEF为直角三角形，则它外接圆的直径为线段EF，要使圆的面积最小，则直径EF 必须取最小值，又因为EF与OD是矩形OEDF的对角线，所以EF=OD．因为点到线的距离，垂线段最短，得=，OD最小值故EF=时，△DEF的外接圆面积最小，得π（）2=，△DEF的外接圆面积最小等于．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系得出A、C点的坐标是解题关键；利用等腰三角形的性质得出关于a的方程式解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用矩形的性质得出OD与EF的关系是解题关键，又利用了垂线段的性质．。