2017年吉林省延边州高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{﹣2，4}C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4}2．（5分）若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4 C．﹣ D．43．（5分）下列说法中正确的是（）A．命题“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题B．命题“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“∃x°∈（0，+∞），2x°≤1”C．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2＜b2，则a＜b”D．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的必要而不充分条件4．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m∥n，n⊥α⇒m⊥α5．（5分）执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣16．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=4，AC=2，E，F为线段BC的三等分点，则•=（）7．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为（）A．2 B．1 C．D．48．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则等于（）A．3 B．9 C．27 D．819．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣1，1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）∪（1，3）11．（5分）设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（+）•=0（O为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为（）12．（5分）已知定义在R上的函数满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知=dx，那么（x2﹣）n的展开式中的常数项为．14．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．15．（5分）已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n，若直线y=a1x+m与圆x2+（y﹣1）2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列（）的前100项的和为．16．（5分）关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线对称③y=f（x）的最大值是；④f（x）即是奇函数，又是周期函数．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f （x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．20．（12分）已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，当P在M上运动时，求的最小值．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x+y+3=0，以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出圆M的直角坐标方程及过点P（2，0）且平行于l的直线l1的参数方程；（Ⅱ）设l1与圆M的两个交点为A，B，求+的值．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=|x﹣a|，a∈R（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围．2017年吉林省延边州高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2017•延边州一模）已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{﹣2，4}C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4}【分析】由A与B交集的元素为4，得到4属于A且属于B，得到a2=4，求出a的值，确定出A与B，即可确定出两集合的并集．【解答】解：∵集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，∴a2=4，解得：a=2或a=﹣2，当a=2时，A={2，4}，B={2，4}，不合题意，舍去；当a=﹣2时，A={﹣2，4}，B={2，4}，则A∪B={﹣2，2，4}．故选：C【点评】此题考查了交、并集及其运算，是一道基本题型，熟练掌握交、并集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017•延边州一模）若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4 C．﹣ D．4【分析】直接利用复数的代数形式混合运算，以及复数的模的求法化简求解即可．【解答】解：复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，可得（3+4i）（3﹣4i）x=（3﹣4i）=5（3﹣4i），可得25x=5（3﹣4i）．∴x=i．则x的虚部为：．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．3．（5分）（2017•延边州一模）下列说法中正确的是（）A．命题“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题B．命题“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“∃x°∈（0，+∞），2x°≤1”C．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2＜b2，则a＜b”D．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的必要而不充分条件【分析】A．命题“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个均为假命题，；B，“＞1”的否定是“≤“；C，“＞”的否定是“≤“；D，设x∈R，x＞时2x2+x﹣1＞0成立，2x2+x﹣1＞0时，x＞或x＜﹣1；【解答】解：对于A．命题“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个均为假命题，故错；对于B，命题“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“∃x°∈（0，+∞），2x°≤1”，正确；对于C，命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2≤b2，则a≤b”，故错；对于D，设x∈R，x＞时2x2+x﹣1＞0成立，2x2+x﹣1＞0时，x＞或x＜﹣1，故错；故选：B．【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．4．（5分）（2017•延边州一模）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m∥n，n⊥α⇒m⊥α【分析】根据m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，可得该直线与直线可以平行，相交或异面，平面与平面平行或相交，把平面和直线放在长方体中，逐个排除易寻到答案．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A、若平面AC是平面α，平面BC1是平面β，直线AD是直线m，点E，F分别是AB，CD的中点，则EF∥AD，EF是直线n，显然满足α∥β，m⊂α，n⊂β，但是m与n异面；B、若平面AC是平面α，平面A1C1是平面β，直线AD是直线m，A1B1是直线n，显然满足m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，但是α与β相交；C、若平面AC是平面α，直线AD是直线n，AA1是直线m，显然满足m⊥α，m⊥n，但是n∈α；故选D．【点评】此题是个基础题．考查直线与平面的位置关系，属于探究性的题目，要求学生对基础知识掌握必须扎实并能灵活应用，解决此题问题，可以把图形放入长方体中分析，体现了数形结合的思想和分类讨论的思想．5．（5分）（2017•延边州一模）执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣1【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=1时，满足进行循环的条件，s=22﹣2，k=2；当k=2时，满足进行循环的条件，s=23﹣2，k=3；当k=3时，满足进行循环的条件，s=24﹣2，k=4；当k=4时，满足进行循环的条件，s=25﹣2，k=5；当k=5时，满足进行循环的条件，s=26﹣2，k=6；当k=6时，满足进行循环的条件，s=27﹣2，k=7；当k=7时，满足进行循环的条件，s=28﹣2，k=8；当k=8时，满足进行循环的条件，s=29﹣2，k=9当k=9时，满足进行循环的条件，s=210﹣2，k=10；当k=10时，满足进行循环的条件，s=211﹣2，k=11；当k=11时，不满足行循环的条件，故输出的s值为211﹣2，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．6．（5分）（2017•延边州一模）在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=4，AC=2，E，F为线段BC的三等分点，则•=（）A．B．4 C．D．【分析】根据题意，得到三角形为直角三角形，由、求出，，即可求出•的值．【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，平方得||2+||2+2•=||2+||2﹣2•，即•=0，则∠BAC=90°，由于E，F为BC的三等分点，则=﹣，=，，又有=，=，则=，=，又由AB=4，AC=2，故•===，故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，根据条件判断三角形是直角三角形以及熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键．7．（5分）（2017•延边州一模）如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为（）A．2 B．1 C．D．4【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥，根据棱锥内切球半径公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥，棱锥的体积V=×3×3×4=12，棱锥的表面积S=3×3+2××3×4+2××3×5=36，故棱锥的内切球半径r==1，故该几何体的内切球的直径为2，故选：A．【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积，锥的内切球半径，简单几何体的三视图，难度中档．8．（5分）（2017•延边州一模）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则等于（）A．3 B．9 C．27 D．81【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，根据3a1，a3，2a2成等差数列，可得3a1+2a2=2×a3，即a1（3+2q）=，解得q，进而得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵3a1，a3，2a2成等差数列，∴3a1+2a2=2×a3，∴a1（3+2q）=，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=3．则=q=3．故选：A．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•延边州一模）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．【解答】解：=（3+4+5+6）==4.5，则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据回归直线的性质分别进行判断是解决本题的关键．比较基础．10．（5分）（2017•延边州一模）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣1，1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）∪（1，3）【分析】圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和．【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得2﹣2+，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选D．【点评】体现了转化的数学思想，将问题转化为：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交．11．（5分）（2017•延边州一模）设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（+）•=0（O为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．5【分析】根据（+）•=0得到△F1PF2是直角三角形，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．【解答】解：设PF2的中点为A，则+=2，若（+）•=0∴2•=0，即⊥，∵OA是△F1PF2的中位线，∴OA∥PF1，且PF1⊥PF1，∵3||=4||，∴||=||，∵||﹣||=||﹣||=2a，即||=6a，则∴||=||=8a，∵在直角△F1PF2中，||2+||2=|F1F2|2，∴36a2+64a2=4c2，即100a2=4c2，则c=5a，则离心率e==5，故选：D【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的应用判断三角形是直角三角形是解决本题的关键．12．（5分）（2017•延边州一模）已知定义在R上的函数满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣12【分析】将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可．【解答】解：∵f（x）=，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣2=又g（x）=，则g（x）=2，∴，当x≠2k﹣1，k∈Z时，上述两个函数都是关于（﹣2，2）对称，；由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的实根有5个，x1满足﹣7＜x4＜﹣6，x2满足﹣5＜x2＜﹣4，x3=﹣3，x4满足0＜x4＜1，x2+x4=﹣4，x5满足2＜x5＜3，x1+x5=﹣4∴方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实根之和为﹣11．故答案为；C．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2017•延边州一模）已知=dx，那么（x2﹣）n的展开式中的常数项为15．【分析】利用定积分求出n，再求出展开式通项，令x的指数为0，即可求出展开式中的常数项．【解答】解：n=dx=6lnx=6，（x2﹣）n的展开式通项为T r=，+1令6﹣3r=0，则r=2，∴（x2﹣）n的展开式中的常数项为=15．故答案为：15．【点评】本题考查展开式中的常数项，考查二项式定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）（2013•大纲版）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4] ．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15．（5分）（2017•延边州一模）已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n，若直线y=a1x+m与圆x2+（y﹣1）2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列（）的前100项的和为．【分析】通过直线y=a1x+m与直线x+y﹣d=0垂直可知a1=1，利用直线x+y﹣d=0必过圆心可知d=1，求出等差数列的前n项和，再由裂项相消法求得数列{}的前100项的和．【解答】解：依题意，直线x+y﹣d=0的斜率为﹣1，则a1=1，又∵直线y=a1x+m与圆x2+（y﹣1）2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，∴直线x+y﹣d=0必过圆心，即0+1﹣d=0，d=1，∴数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列，∴S n=n+=，∴，∴数列{}的前100项的和为，故答案为：．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（5分）（2017•延边州一模）关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是①②④①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线对称③y=f（x）的最大值是；④f（x）即是奇函数，又是周期函数．【分析】①根据中心对称的定义，验证f（2π﹣x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；②根据轴对称的条件，验证f（π﹣x）=f（x）成立与否即可判断其正误；③可将函数解析式换为f（x）=2sinx﹣2sin3x，再换元为y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；④利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明．【解答】解：①∵f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，∴①正确；②∵f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的图象关于x=对称，故②正确；③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，则y=g （t）=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，则y′=2﹣6t2，令y′＞0解得，故y=2t﹣2t3，在[]上递增，在[﹣1，]和[]上递减，又g（﹣1）=0，g（）=，故函数的最大值为，∴③错误；④∵f（﹣x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，∴函数即是奇函数，又是周期函数，∴④正确．综上知，说法中正确的是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查与函数有关的性质的判断，要求熟练掌握中心对称，轴对称性成立的条件，利用导数求函数在闭区间上的最值，函数奇偶性与周期性的判定，涉及到的知识较多，综合性强．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2017•延边州一模）已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx +sin2ωx=sin（2ωx ﹣）．令2ωx ﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．∴f（x）=sin （x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f （）=sin（A ﹣）=，∴sin（A ﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．∴S△ABC ==≤．∴△ABC 面积的最大值是．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，解三角形，属于中档题．18．（12分）（2017•延边州一模）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）根据分布直方图、频率分布表的性质，列出方程组，能确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图．（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有4人，“非网购达人”有6人，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据题意，有，解得x=9，y=6，∴p=0.15，q=0.10，补全频率分布图有右图所示．（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10×=4人，“非网购达人”有10×=6人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：Eξ==．【点评】本题考查读图表、分层抽样、概率、离散型随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．19．（12分）（2017•延边州一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．【分析】（1）设BC1的中点为F，连接EF，DF．得到EF是△BCC1中位线，说明EF∥DA，ADFE 是平行四边形，推出AE∥DF，即可证明直线AE∥平面BDC1．（2）建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，求出相关点的坐标，求出平面BDC1的一个法向量，平面ABC的一个法向量．设平面BDC1和平面ABC所成二面角的大小为θ，通过向量的数量积求解平面BDC1和平面ABC所成二面角的正弦值即可．【解答】解：（1）证明：设BC1的中点为F，连接EF，DF．则EF是△BCC1中位线，根据已知得EF∥DA，且EF=DA．∴四边形ADFE是平行四边形∴AE∥DF，∵DF⊂平面BDC1，AE⊄平面BDC1，∴直线AE∥平面BDC1．（2）建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，由已知得．∴．设平面BDC 1的一个法向量为，则．∴，取z=﹣1，解得．∴是平面BDC的一个法向量．由已知易得是平面ABC的一个法向量．设平面BDC1和平面ABC所成二面角的大小为θ，则．∵0＜θ＜π，∴．∴平面BDC1和平面ABC所成二面角的正弦值为．【点评】本题考查向量的二面角的大小，直线与平面平行的判断，考查计算能力以及空间想象能力．20．（12分）（2017•延边州一模）已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，当P在M上运动时，求的最小值．【分析】（Ⅰ）动点A满足椭圆的定义，由此能求出动点A的轨迹M满足的方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），△PBC的内切圆为⊙O1，半径为r1；△PBC的外接圆为⊙O2，半径为r2，推导出，，从而，由此能求出的最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意知，动点A满足椭圆的定义（1分）所以，有|F1F2|=|BC|=2c=2，|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4，（2分）且a2=b2+c2解得（3分）所以，动点A的轨迹M满足的方程为（4分）没有写出y≠0或x≠±2扣（1分）（Ⅱ）设P（x0，y0），△PBC的内切圆为⊙O1，半径为r1；△PBC的外接圆为⊙O2，半径为r2，∵，∴，（6分）线段PB的垂直平分线方程为（7分）又线段BC的垂直平分线方程为x=0，两条垂线方程联立求得（8分）∵，∴，∴⊙O2的圆心为∴（9分）∴，（10分）∵，∴，∴∴，此时．（12分）方法不一样，只要过程正确，答案准确给满分【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形内切圆与接圆面积之比的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线、圆等知识点的合理运用．21．（12分）（2017•延边州一模）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．【分析】（1）求函数的导数，根据函数的单调减区间是（，1），建立导数关系即可，求实数a的值；（2）将f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，利用参数分离法求函数的最值，求实数a的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值，最值和导数之间的关系，求出函数的最值即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则要使h（x）的单调减区间是则，解得a=3；另一方面当a=3时，由h'（x）＜0解得，即h（x）的单调减区间是．综上所述a=3．（2）由题意得x2﹣ax≥lnx（x＞0），∴．设，则，∵y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，且x=1时，y=0．∴当x∈（0，1）时φ'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）内是增函数．∴φmin=φ（1）=1∴a≤φmin=1，即a∈（﹣∞，1]．（3）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则∴方程2x2﹣ax+1=0（x＞0）有两个不相等的实根x1，x2，且又∵，∴，且设，则，∴φ（x）在（1，+∞）内是增函数，∴，即h（x1）﹣h（x2），∴，则m的最大值为．【点评】本题主要考查函数的极值，最值和导数之间的关系，考查导数的综合应用，运算量大，综合性较强．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•延边州一模）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x+y+3=0，以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出圆M的直角坐标方程及过点P（2，0）且平行于l的直线l1的参数方程；（Ⅱ）设l1与圆M的两个交点为A，B，求+的值．【分析】（Ⅰ）极坐标方程ρ=2sinθ两边同乘ρ，得ρ2=2ρsinθ，从而能求出⊙M的直角坐标方程，直线x+y+3=0的倾斜角为，由此能求出过点P（2，0）且平行于x+y+3=0的直线的参数方程．（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，由参数t 的几何意义能求出+的值．【解答】解：（Ⅰ）极坐标方程ρ=2sinθ两边同乘ρ，得ρ2=2ρsinθ（1分）其中ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ（2分）所以⊙M的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0…①（3分）又直线x+y+3=0的倾斜角为，所以过点P（2，0）且平行于x+y+3=0的直线的参数方程为即，（t为参数）…②（5分）直线的参数方程不唯一，只要正确给分（Ⅱ）把（Ⅰ）中的②代入①整理得（6分）设方程的两根为t 1，t2，则有（7分）由参数t 的几何意义知PA+PB=t1+t2，PA*PB=t1t2（8分）所以（10分）若直线的参数方程不是标准型，没有利用几何意义，但通过其他方法得出结论的给分【点评】本题考查圆的直角坐标方程和直线的参数方程的求法，考查代数式的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的性质及互化公式的合理运用．选修4-5：不等式选讲23．（2017•延边州一模）设f（x）=|x﹣a|，a∈R（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式，然后解绝对值不等式，根据绝对值不等式的解法解之即可；（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式的解法去绝对值，然后利用图象研究函数的最小值，使得1﹣2m大于等于不等式左侧的最小值即可．【解答】解：（I）a=5时原不等式等价于|x﹣5|≤3即﹣3≤x﹣5≤3，2≤x≤8，∴解集为{x|2≤x≤8}；（II）当a=1时，f（x）=|x﹣1|，令，由图象知：当时，g（x）取得最小值，由题意知：，∴实数m的取值范围为．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法、存在性问题以及分段函数求最值，处理的方法是：利用图象法求函数的最值，属于中档题．。