数学试卷 第1页(共14页) 数学试卷 第2页(共14页)绝密★启用前上海市2017年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共150分.考试时长120分钟.一、填空题:本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分. 1.已知集合{1,2,3,4}A =,{3,4,5}B =,那么A B = . 2.若排列数6654m P =⨯⨯,则m = .3.不等式11x x->的解集为 .4.已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于 .5.已知复数z 满足30z z+=的定义域为 .6.设双曲线2221(0)9x yb b-=>的焦点为1F 、2F ,P 为该双曲线上的一点,若1||5PF =,则2||PF = .7.如图,以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若1DB 的坐标为(4,3,2),则1AC 的坐标是 .8.定义在(0,)+∞上的函数()y f x =反函数为1()y f x -=,若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-=⎨⎩≤>为奇函数,则1()2f x -=的解为 .9.已知四个函数:①y x =-,②1y x=-,③3y x =,④12y x =,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .10.已知数列{}n a 和{}n b ,其中2na n =,n ∈*N ,{}n b 的项是互不相等的正整数,若对于任意n ∈*N ,{}n b 的第na 项等于{}n a 的第nb 项,则149161234lg()lg()b b b b b b b b == . 11.设1a 、2a ∈R ,且121122sin 2sin(2)a a +=++,则12|10π|a a --的最小值等于 .12.如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合1234{P ,P ,P ,P }Ω=,点P ∈Ω,过P 作直线P l ,使得不在P l 上的“▲”的点分布在P l 的两侧.用1D (P l )和2D (P l )分别表示P l 一侧和另一侧的“▲”的点到P l 的距离之和.若过P 的直线P l 中有且只有一条满足1D (P l )2D =(P l ),则Ω中所有这样的P 为 .二、选择题:本大题共4小题,每题5分,共20分.13.关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为( )A .0543B .1024C .1523D .605414.在数列{}n a 中,12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,n ∈*N ,则lim n n a →∞ ( )A .等于12-B .等于0C .等于12D .不存在15.已知a 、b 、c 为实常数,数列{}n x 的通项2n x an bn c =++,n ∈*N ,则“存在k ∈*N ,使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是( )A .0a ≥B .0b ≤C .0c =D .20a b c -+=16.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=.P 为1C 上的动点,Q 为2C 上的动点,w 是OP OQ 的最大值.记{(,)}P Q Ω=,P 在1C 上,Q 在2C 上,且OP OQ w =,则Ω中元素个数为( )A .2个B .4个C .8个D .无穷个毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页(共14页) 数学试卷 第4页(共14页)三、解答题:本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分.17.如图,直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形,两直角边AB 和AC 的长分别为4和2,侧棱1AA 的长为5.(1)求三棱柱111ABC A B C -的体积;(2)设M 是BC 中点,求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18.已知函数221()cos sin 2f x x x =-+,(0,π)x ∈. (1)求()f x 的单调递增区间;(2)设ABC △为锐角三角形,角A所对边a =角B 所对边5b =,若()0f A =,求ABC △的面积.19.根据预测,某地第()n n ∈*N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b (单位:辆),其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+=⎨-+⎩≤≤≥,5n b n =+,第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;(2)已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+(单位:辆).设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?20.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:14x y Γ+=,A 为Γ的上顶点,P 为Γ上异于上、下顶点的动点,M 为x 正半轴上的动点.(1)若P在第一象限,且||OP =P 的坐标;(2)设83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭,若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形,求M 的横坐标;(3)若||||MA MP =,直线AQ 与Γ交于另一点C ,且2AQ AC =,4PQ PM =,求直线AQ 的方程.21.设定义在R 上的函数()f x 满足:对于任意的1x 、2x ∈R ,当12x x <时,都有12()()f x f x ≤.(1)若3()1f x ax =+,求a 的取值范围;(2)若()f x 是周期函数,证明:()f x 是常值函数;(3)设()f x 恒大于零,g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数,M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明:“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.数学试卷 第5页(共14页) 数学试卷 第6页(共14页)上海市2017年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题 1.【答案】{3,4}解析:利用交集定义直接求解。
【考点】交集的求法。
2.【答案】3m =解析:36654P =⨯⨯,故3m =. 【考点】实数值的求法。
3.【答案】(,0)-∞ 【解析】由11x x->得:11110x x x ->⇒⇒<0<。
【考点】解分式不等式 4.【答案】9π【解析】代解:球的体积为36π, 设球的半径为R ,可得34π36π3R =, 可得3R =,该球主视图为半径为3的圆, 可得面积为2π9πR =. 故答案为:9π.【考点】球的体积公式,以及主视图的形状和面积求法。
5.【解析】设i(,)z a b a b =+∈R ,代入23z =-,由复数相等的条件列式求得a ,b 的值得答案.【考点】复数代数形式的乘除运算。
6.【答案】11【解析】根据题意,由双曲线的方程可得a 的值,结合双曲线的定义可得12||||||6PF PF -=,解可得2||PF 的值,即可得答案.【考点】双曲线的几何性质。
7.【答案】(4,3,2)-【解析】解:如图,以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点, 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系, ∵1DB 的坐标为(4,3,2),∴(4,0,0)A ,1(0,3,2)C , ∴1(4,3,2)AC =-. 故答案为:(4,3,2)-.【考点】空间向量的坐标的求法。
8.【答案】89【解析】由奇函数的定义,当0x >时,0x -<,代入已知解析式,即可得到所求0x >的解析式,再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反,即可得到所求值. 【考点】函数的奇偶性和运用。
9.【答案】13【解析】从四个函数中任选2个,基本事件总数246n C ==,再利用列举法求出事件A :“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数,由此能求出事件A :“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率. 【考点】概率的求法。
10.【答案】2数学试卷 第7页(共14页) 数学试卷 第8页(共14页)【解析】2n a n =,n ∈*N ,若对于一切n ∈*N ,{}n b 中的第n a 项恒等于{}n a 中的第n b 项,可得2()n n a b n b a b ==.于是111b a ==,224()b b =,239()b b =,2416()b b =.即可得出.【考点】数列递推关系、对数的运算性质。
11.【答案】π4【解析】由题意,要使121122sin 2sin 2αα+=++,可得1sin 1α=-,2sin 21α=-.求出1α和2α,即可求出12|10π|αα--的最小值. 【考点】三角函数性质,有界限的范围的灵活应用 12.【答案】134P P P 、、【解析】根据任意四边形ABCD 两组对边中点的连线交于一点, 过此点作直线,使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧,则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等;由此得出结论. 【考点】数学理解力与转化力的应用问题。
二、选择题 13.【答案】C【解析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解。
【考点】线性方程组的系数行列式的求法。
14.【答案】B【解析】解:数列{}n a 中,1,2nn a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭*N ,则1lim lim 02nn n n a →∞→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 故选:B .【考点】极限的定义与应用问题。
15.【答案】A【解析】由100k x +,200k x +,300k x +成等差数列,可得:2001003002k k k x x x +++=,代入化简即可得出.【考点】等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法。
16.【答案】D【解析】设出(6cos ,2sin )P αα,(cos ,3sin )Q ββ,02παβ≤≤,由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域,可得最大值及取得的条件,即可判断所求元素的个数.【考点】椭圆的参数方程的运用,以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域。