1. 直角坐标系中点电荷电量为Q ,坐标为()c b a ,,,写出Q 所产生的电场在空间任一点的电场强度。
解:画出坐标系及空间任一点()z y x P ,,,则该点相对于点电荷的位矢为 ()c z b y a x r ---=,,ϖ,由点电荷Q 产生的电场在P 点处的场强分量为 ()()()[]2322204c z b y a x ax Q E x -+-+--⋅=πε()()()[]2322204c z b y a x by Q E y -+-+--⋅=πε()()()[]232224c z b y a x cz Q E z -+-+--⋅=πε该场强的方向沿r ϖ方向:()()()k c z j b y i a x r )))ϖ-+-+-=。
在求解给定具体坐标的特殊问题时,往往用分量形式直接计算更直观更方便,还不易出错。
矢量形式固然很标准化很简洁(尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程),但一般只用于做基本证明和推导的过程,因为矢量方程与所取的任一坐标无关。
2. 一电偶极子的电偶极矩为l q P ϖϖ=,P 点到偶极子中心的距离为r ,r ϖ与l ϖ的夹角为θ,在l r >>时,求P 点的电场强度E ϖ在P O r ρϖ=方向的分量r E 和垂直于r ϖ方向的分量θE 。
解:在极坐标系下,设点()θ,r P 相对于q +和q -的位矢分别为+r ϖ,-r ϖ,它们与r ϖ的夹角分别为α和β,由点电荷的场强公式有2041++⋅=r q E πε,2041--⋅=r q E πε, -++=E E E ϖϖϖ在极坐标下,E ϖ可以分解为:βαcos cos -+-=E E E r , βαθsin sin -++=E E E其中,+-=r l r θαcos 2cos ,-+=r l r θβcos 2cos ,+=r lθαsin 2sin , -=r l θβsin 2sin又因为l r >>,在此近似下有2r r r ≈⋅-+,r r r 2≈+-+,θcos l r r ≈-+-,带入以上各式,化简得30cos 241r P E r θπε⋅=,30sin 41r P E θπεθ⋅=。
此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。
对于电偶极子的问题,联系电势一节的内容,我们可以做一些归纳,下面我们从最常用的直角坐标系出发,来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。
以偶极子两电荷连线中点为原点,以偶极矩方向为x 轴方向取直角坐标系中任一点()z y x P ,,,由点电荷的电势叠加可得:()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+=-+22222202241z y l x q z y l x qU U P U πε考虑到l r >>的条件,有2222z y x r ++=,212222211121-⎪⎭⎫⎝⎛-=-≈++⎪⎭⎫ ⎝⎛-r xl r xl r zy l x上式右边经过二项展开,并略去l 的高阶项(二阶及以上),得⎪⎭⎫⎝⎛+≈++⎪⎭⎫ ⎝⎛-222221121r xl r zy l x则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈+20214r xl r qU πε,⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈-20214r xl r q U πε 则P 点的偶极子势为()2030cos 4141r P l q r x U U P U θπεπε⋅=⋅⋅⋅=+=-+ 可写成矢量表达形式:()30204141r rP r r P P U ϖϖ)ϖ⋅⋅=⋅⋅=πεπε (*)下面求电偶极子的电场强度:由()()P U P E -∇=ϖ,将上式带入,有()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⋅+⋅∇=∇3301141r r P r P r U ϖϖϖϖπε 其中,()P r P ϖϖϖ=⋅∇,54333311rrrr rr r dr d r ϖϖ-=⋅-=∇⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇,则()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=350341r P r r r P P E ϖϖϖϖϖπε (#)。
以上(*)和(#)式为偶极子的一般计算式。
可以在具体的坐标系中直接带入计算。
变换到球坐标系()ϕθ,,r 中,由于轴对称性可知,U 与ϕ无关,则E ϖ的分量为:30cos 241r P r U E r θπε⋅=∂∂-=,30sin 411r P U r E θπεθθ⋅=∂∂-=0sin 1=∂∂-=ϕθϕUr E 。
1. 计算3r rϖ的散度:解:03311325333=+-=⋅∇+⋅∇=⋅∇rr r r r r r r r ϖϖϖ。
2. 如图所示,无限大带电层,且电荷密度()x ρρ=,试求其产生的场强。
解:此题需分三个区域进行计算:取垂直于带电层的坐标OX 。
(1)a x ≤,取'x 到''dx x +之间的带电平面,取单位面积的电荷面密度为σ,则()''dx x ρσ=,则该平面在x 处形成的电场强度为:()()0''22ερεσdx x x dE ==,()()''021dx x x E ba⎰-=⇒ρε(负号代表取坐标负向。
)若()常数αρ=,则()02εαlx E -=;(2)b x ≥,同理可得()()''021dx x x E ba⎰=ρε(负号代表取坐标正向。
)若()常数αρ=,则 ()02εαlx E =;(3)b x a <<,对于带电层中间的区域,要注意x x <'和x x >'的情况不一样,故要进行分段积分:()()()''0''2121dx x dx x x E bxxa⎰⎰-=ρερε若()常数αρ=,则 ()()αε022b a x x E +-=。
3. 求无限长均匀带电柱体周围的场强,已知延高方向单位长度电荷密度为λ,圆柱底面半径为R 。
解:取半径为r 、高为l 的同轴圆柱面为高斯面,分以下两种情况考虑:(1)R r ≤时,由高斯定理,有2επq rlE s d E S==⋅⎰⎰ϖϖ而222Rlr l r q λρπ==,则 2022R lr rlE ελπ= 得202R r E πελ=(2)当R r ≥时,l q λ=,同理得到 r E 02πελ=。
4. 求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布,设球壳带电总量为q ,半径为R 。
解:以无穷远处作为电位零点,即()0=∞U , 由真空中带电球壳的场强分布:⎪⎩⎪⎨⎧<>⋅=R r R r r q E ,0,4120πε根据电位的定义求解:对于R r >时,()r qdr r q l d E r U r r020414πεπε=⋅=⋅-=⎰⎰∞∞ϖϖ;对于R r <时,()R q dr r q l d E l d E r U R R r R 020414πεπε=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-=⎰⎰⎰∞∞ϖϖϖϖ。
5. 求无限大均匀带电平面(电荷面密度为σ)的电势分布。
解:确立原点在平面上的坐标OX ,设空间任一点P 位于r 处。
取)(00r P 为电位零点,由无限大均匀带电平面的场强公式,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->=0,20,20r r E εσεσ下面以0>r 的情况来讨论:由电位定义有:()()()r r l d E l d E P U P U P A AP-=⋅+⋅=-⎰⎰00020εσϖϖϖϖ。
本题中电位零点的取法很关键,注意到:求无限大带电体周围的电位时,不能取无穷远处为电位零点。
6. 一半径为R 的均匀带电圆面,电荷总量为q ,求轴线(OX )上的电位分布,并画出x U -曲线。
解:在圆面上取dr r r +-的圆环,由于圆面的电荷面密度:2R qπσ=,故该圆环所带电量为:rdr Rq rdr R q rdr dq 22222=⋅=⋅=πππσ 而圆环在轴线上的电位分布可以根据电位叠加法,取圆环上dl l l +-的一段,取无穷远处为电位零点,由点电荷的电位公式:220'0''44Rx dq rdq dU +==πεπε,得圆环在轴线上的电位分布为:220'220'44'R x q Rx dq U q +=+⎰πεπε=环现在将此电位作为圆面在轴线上电位的积分元,即令'q dq =,环U dU =,作圆面上半径的积分,可得整个圆面在轴线上的电位:()xR xR qRx R qrdr Rx dq dU U RRR -+=+=+=⎰⎰⎰2220220222002424επεππε=。
7. 电量q 均匀分布在长为l 2的细直线上,求下列各处的电位:(1) 中垂面上离带电线段中心O 为r 处,并用梯度求r E ; (2) 延长线上离中心O 为为z 处,并用梯度求z E ; (3) 通过一端的垂直面上离该点为r 处,并用梯度求r E 。
解:根据题意,以O 为原点中垂线所在直线作为x 轴、延长线所在直线作为y 轴建立坐标系,取无穷远处为电位零点。
(1) 求()0,r P 点的电位()P U 及r E :设直线上dy y y +-的一段所带的电量为dy lqdq 2=,由点电荷电位公式,它在()0,r P 点的电位为:22022084yr l qdy yr dq dU +=+=πεπε则整段直线在()0,r P 点的电位为:r l r l l qyr l qdy dU U ll ll 220220ln 48++=+=⎰⎰--πεπε= 则有 2204l r r qr U E r +=∂∂-=πε。
(2)求()z P ,0点的电位()P U 及z E :线元dy y y +-的电量仍然为dy lqdq 2=,由点电荷电位公式,它在()z P ,0点的电位为:()()y z l qdzy z dq dU -=-=0084πεπε则整段直线在()z P ,0点的电位为:()()l z l z lz l q y z l qdz dU U ll ll>-+=-=⎰⎰--ln8800πεπε= 则有 ()2204l z q z U E z -±=∂∂-=πε,(+号对应l z >,—号对应l z -<)。
(3)求()l r P ,点的电位()P U 及r E : 同样取线元dy y y +-,其电量仍然为dy lqdq 2=,由点电荷电位公式,它在()l r P ,点的电位为:22022084yr l qdy yr dq dU +=+=πεπε则整段直线在()l r P ,点的电位为:r l r l l qyr l qdydU U ll 220202202042ln 48++=+=⎰⎰πεπε= 则有 22044l r r qr U E r +=∂∂-=πε。