培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） ABC ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2PF PF F F = 且122a PF PF =+，122c F F =，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C．(1,1D．(2,1【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE ac =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．对点增分集训一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ） A．3B．2CD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理， 化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a==D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ===，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ==．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥选C ．7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ②联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b ==a =，c e a =．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．( B．(C．)+∞D．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有c e a =>=，则双曲线的离心率的取值范围为)+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） AB ．2 CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△，由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 60BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以1BF =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）y =；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得ce a==223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△．【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知111x x λ=-+，221xx μ=-+，2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++． ②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S △． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯==△， 令211t k =+>，则OABS ==△因为()10,1t ∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故32OAB S ≤<△，综上32OAB S ≤<△．。