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2０1２年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（本大题共5小题,每小题6分共30分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤)
(1）求极限
(2)求通过直线 的两个互相垂直的平面 和 ，使其中一个平面过点 。
(3)已知函数 ,且 。确定常数 和 ，使函数 满足方程
(4）设函数 连续可微, ，且 在右半平面与路径无关,求 。
七、（１5分）已知 满足 ，且 ,求函数项级数 之和.
八、(10分）求 时,与 等价的无穷大量.
２０10年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、(２5分，每小题5分）
(１)设 其中 求
（2）求 。
（3)设 ，求 。
(４）设函数 有二阶连续导数, ,求 。
(5)求直线 与直线 的距离。
二、（15分）设函数 在 上具有二阶导数，并且
求 的导数
七、（本题１4分）设 与 为正项级数,证明:
(1)若 ，则级数 收敛;
（2)若 ,且级数 发散，则级数 发散。
２013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、解答下列各题(每小题6分共24分，要求写出重要步骤）
1.求极限 .
２．证明广义积分 不是绝对收敛的
3．设函数 由 确定，求 的极值。
4．过曲线 上的点A作切线,使该切线与曲线及 轴所围成的平面图形的面积为 ,求点A的坐标。
-大学生数学竞赛真题(非数学类)
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200９年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题５分，共20分)
１．计算 ___＿__＿__＿__，其中区域 由直线 与两坐标轴所围成三角形区域.
2.设 是连续函数,且满足 ,则 __＿____＿____．
３．曲面 平行平面 的切平面方程是_____＿__＿_.
4．设函数 由方程 确定,其中 具有二阶导数,且 ，则 ＿＿＿＿_____＿_____＿．
2、（5分）求极限 ,其中 是给定的正整数.
三、(１5分）设函数 连续， ，且 ， 为常数,求 并讨论 在 处的连续性.
五.(本题16分）已知S是空间曲线 绕ｙ轴旋转形成的椭球面的上半部分( )取上侧, 是S在 点处的切平面, 是原点到切平面 的距离, 表示Ｓ的正法向的方向余弦。计算:
（1) ;（2)
六.(本题１2分）设f(x)是在 内的可微函数,且 ,其中 ,任取实数 ，定义 证明: 绝对收敛。
七.（本题15分）是否存在区间 上的连续可微函数ｆ（x),满足 ，
(5）求极限
二、（本题10分）计算
三、求方程 的近似解,精确到0.00１．
四、(本题１2分)设函数 二阶可导，且 , ， ,求 ，其中 是曲线 上点 处的切线在 轴上的截距。
五、(本题12分）求最小实数 ,使得满足 的连续函数 都有
六、(本题12分)设 为连续函数, 。区域 是由抛物面
和球面 所围起来的部分。定义三重积分
四、(1５分）已知平面区域 ， 为 的正向边界，试证:
（1） ;
(２) .
五、（10分)已知 ， , 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
6、(10分）设抛物线 过原点.当 时, ，又已知该抛物线与 轴及直线 所围图形的面积为 .试确定 ,使此图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
且存在一点 ,使得 。
3、（15分)设函数 由参数方程 所确定，其中 具有二阶导数,曲线 与 在 出相切,求函数 。
四、(15分)设 证明：
(1）当 时,级数 收敛；
（2）当 且 时，级数 发散。
五、(15分)设 是过原点、方向为 ,(其中 的直线，均匀椭球
,其中（ 密度为1）绕 旋转。
(1）求其转动惯量;
（1).求 ;
（2）.求 ;
(3）已知 ，求 。
二．(本题10分）求方程 的通解。
三．(本题15分）设函数ｆ(ｘ）在ｘ=0的某邻域内具有二阶连续导数,且 均不为０,证明:存在唯一一组实数 ,使得 。
四．（本题１7分）设 ，其中 ， , 为 与 的交线,求椭球面 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
（2）求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值。
六、(15分）设函数 具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 上，曲线积分 的值为常数。
(1）设 为正向闭曲线 证明
（2）求函数 ；
（3）设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 。
２011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一．计算下列各题(本题共3小题,每小题各５分,共15分）