圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+， （2）双曲线：222c b a =+3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。

从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解，或者带入曲线求解 （3）利用三角形的相似关系 （4）利用点线距离关系4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的坐标是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。

如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、考点一：求离心率 方法一：焦点三角形问题例1（1）：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．3 B ．6 C ．13 D ．16答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。

（2）：椭圆(2221012x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。

（3）：设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49答案：B（4）．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为椭圆的右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )方法二：利用坐标运算例2（1）．已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1·k 2|＝14，则椭圆的离心率为________．（2）：如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .答案：275e =- 方法三：三角形的相似关系例3．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )方法四：利用点线距离关系例4．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．例3：如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）A.32 B. 23 C. 30 D. 5答案：B考点二：求离心率的取值范围方法一：通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式例1（1）.椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．（2）．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )（3）：已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+D ． ()2,12+答案：B小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题方法二：题目中某点的坐标是否有范围要求例2（1）：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若椭圆上存在点P 使1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. ()21 B. 2⎫⎪⎪⎝⎭ C. 2⎛ ⎝⎭D. )21,1答案：D（2）：已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 55⎫⎪⎢⎪⎣⎭B. 22⎫⎪⎪⎣⎭C. 50,5⎛ ⎝⎦D. 20,2⎛ ⎝⎦思路一：考虑在椭圆上的点P 与焦点连线所成的角中，当P 位于椭圆短轴顶点位置时，12F PF ∠达到最大值。

所以若椭圆上存在12PF PF ⊥的点P ，则短轴顶点与焦点连线所成的角90θ≥，考虑该角与,,a b c 的关系，由椭圆对称性可知，2452OPF θ∠=≥，所以22tan 1OF cOPF OPb∠==≥，即22222c b c b c a c ≥⇒≥⇒≥-，进而2212c a ≥即212e ≥，解得22e ≥，再由()0,1e ∈可得22e ⎫∈⎪⎪⎣⎭思路二：由12PF PF ⊥可得1290F PF ∠=，进而想到焦点三角形12F PF 的面积：122212tan 2F PF F PFSb b ∠==，另一方面：121212F PF P P SF F y c y =⋅⋅=⋅，从而22P P b c y b y c ⋅=⇒=，因为P 在椭圆上，所以[],P y b b ∈-，即2P b y b b c c =≤⇒≤，再同思路一可解得：22e ⎫∈⎪⎪⎣⎭思路三：12PF PF ⊥可想到120PF PF ⋅=，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。

设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -，则有()()12,,,PF c x y PF c x y =---=--，则222120PF PF x y c ⋅=+-=，即P 点一定在以O 为圆心，c 为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径r b ≥时才可有交点，所以c b ≥，同思路一可解得2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭注：本题对P 在圆上也可由12PF PF ⊥判定出P 在以12F F 为直径的圆上，进而写出圆方程思路四：开始同思路三一样，得到P 所在圆方程为222x y c +=，因为P 在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：222222222b x a y a b x y c⎧+=⎪⎨+=⎪⎩代入消去x 可得：()2222222b c y a y a b -+=，整理后可得：422422b c y b y c =⇒=，由[],y b b ∈-可得：4222b y b c b c =≤⇒≥，同思路一即可解得：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭答案：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解（3）．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )（4）：设点12,A A 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，若在椭圆上存在异于点12,A A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0,2⎛ ⎝⎭ C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D. 2⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：D小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标 三、好题精选1、（2016，新余一中模拟）已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A. 21+B.212+ C. 512- D. 51- 2、已知12,F F 分别是双曲线()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．()21,-+∞ B ．()21,++∞ C ．()1,12+ D ．()31,++∞3、设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线左支上存在一点M ，使得()110F M OM OF ⋅+=，O 为坐标原点，且1233MF MF =，则该双曲线的离心率为（ ） A. 31+ B.31+ C. 62+ D.622+ 4、（2016四川高三第一次联考）椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆22222bt x y c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，（c 为椭圆的半焦距）对任意[]1,2t ∈恒有四个交点，则椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A. 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 4,15⎛⎫⎪⎝⎭ C. 170,17⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ D. 174,175⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5、（2015，新课标II ）已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则E 的离心率为（ ）A. 5B. 2C. 3D. 26、（2016，宜昌第一中学12月考）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M在双曲线的左支上，且217MF MF =，则此双曲线离心率的最大值为（ ） A ．43 B ．53 C ． 2 D ．737、（2015，山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 离心率为________8、（2014，浙江）设直线()300x y m m -+=≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点,A B ，若点(),0P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是______ 习题答案： 1、答案：A解析：由抛物线方程可得：()()0,1,0,1A B -，过P 作准线的垂线，垂足为M ，所以PB PM =，所以1sin PA m PBPAM==，可知m 取得最大值时，PAM ∠最小，数形结合可知当AP 与抛物线相切时，PAM∠最小。