一、典例分析，融合贯通典例1 【2016年山东卷理科第13题】已知双曲线)>,>(=:0012222b a by －a x E ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC 3=AB 2，则E 的离心率为 【解法1】直接法由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得1492222=b c －a c ，在由2c b a =+22得E 的离心率为2==a ce .【点睛之笔】直接代入，少走弯路！ 【解法2】通径法易得2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以22b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以离心率为 2.e =【点睛之笔】通径法，此径通幽！【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来！ 【解后反思】解法1：直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！ 解法2：利用通径，减少计算量！ 解法3：利用数形结合法，以形助数！典例2 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线12222=-by a x (a ＞0, b ＞0)的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A.3 C.5 D.6【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！ 【解法2】导数法 设切点00(,)P x y'2,y x = ∴切线斜率02bk x a== ∴02b x a=∴20022,21,2b by xa abya⎧==⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+⎪⎪⎝⎭⎩224b a∴= .∴又2222222,45c a b c a a a=+∴=+=5cea∴==，故选C.【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！【解后反思】解法1:设而不求法，再也不求人！解法2：利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！3.典例3双曲线12222=-byax的离心率为e1,双曲线12222=-axby的离心率为e2, 则=+222111ee_________, e1+e2的最小值为______. e1·e2的最小值为______ .由双曲线离心率定义知：bbaeabae222221,+=+= , 故有2212111e e+=.【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！【解法2】换元法不妨设1,121>=>=y e x e ，则问题相当于：,11122=+y x 求y x +、xy 的最小值。

由均值不等式得：xy yx y x 21121112222=⋅≥+=，∴ 2≥xy ，等号成立，当且仅当y x = ，即 21e e =，进而推出 ,b a =即122e e ==时.而 822222)(222222=⋅+≥+=++=+xy y x xy y x y x 82222=⋅+≥，∴ 22≥+y x ，等号成立，当且仅当122e e ==时取等号（由,11122=+yx 去分母可得：2222y x y x =+） .故答案依次为：1,22,2 . 【点睛之笔】换元法，换了都说好！ 【解后反思】解法1：一正二定三相等，解起题来不需等！ 解法2：换元法，越换越简练，越换越明了！ 二、精选试题，能力升级1.【2018辽宁省八中模拟】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A. 12e <≤ B. 2e ≥ C. 12e <≤ D. 2e ≥【答案】B2.【2018广东省海珠区一模】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线均与圆22650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为（ ）66355【答案】C【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±，即0bx ay ±=，圆22:650C x y x +-+=化为标准方程()()2234,3,0x y C -+=∴，半径为2， 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切， 2222232,944b b b a b a ∴=∴=++222,944b b a =∴=+()222222224,54b a b c a c a a ∴==-∴-=， 223595,c a c e a ∴=∴==， ∴双曲线离心率对于35，故选C. 3.【2018广西柳州市一模】若双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. 51,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ B. 71,2⎛⎤⎥ ⎝⎦ C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ D. 7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C4.【2018湖南省永州市一模】已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点， 12,F F 分别为双曲线的左右焦点，点I 为12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A. (]1,2 B. ()1,2 C. (]0,2 D. (]2,3 【答案】A【解析】如图，设圆I 与12F F ∆的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点,,E F G ，连接IE 、IF 、IG ，则1212,,IE F F IF PF IG PF ⊥⊥⊥，它们分别是1212,,IF F IPF IPF ∆∆∆的高12112211,2222IPF IPF r r S PF IF PF S PF IG PF ∆∆∴=⨯⨯==⨯⨯=， 121212122IF F rS F F IE F F ∆=⨯⨯=其中r 是12PF F ∆的内切圆的半径，因为121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥所以1212224r r rPF PF F F -≥，两边约去2r 得1212121211,22PF PF F F PF PF F F =+∴-=，根据双曲线定义，得12122,2PF PF a F F c -==， 2a c ∴≥⇒离心率为2ce a=≤，双曲线的离心率取值范围为(]1,2，故选A.5.【2018陕西西工大附中六模】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线28y x =-的准线分别交于,A B 两点， O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为3( )A.7213【答案】B6.【2013课标全国Ⅰ，理4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 【答案】：C【解析】：∵5c e a ==，∴ 22222254c a b e a a +===.∴a 2＝4b 2，1=2b a ±.∴渐近线方程为12b y x x a =±±.7.【2011全国新课标，理7】设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A ．2B 3C ． 2D ． 3【答案】B 【解析】8.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（-33，33） （B ）（-36，36（C ）（23-，223） （D ）（233-，33）【答案】A【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF •= 0000(3,)(3,)x y x y --•- =2220003310x y y +-=-<，解得03333y -<<，故选A. 9.【2018湖南两市九月调研】已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过,F A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲线的离心率为__________．【答案】4310.【2008全国1，理21】双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．。